河南省豫南九校2019-2020学年高二上学期理数第二次联考试卷

试卷更新日期：2020-09-22 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 不等式 $4 x^{2} - 4 x - 3 \leq 0$ 的解集是（）

A、 $(- \infty, - \frac{1}{2}] \cup^{} [\frac{3}{2}, + \infty)$ B、 $[- \frac{1}{2}, \frac{3}{2}]$ C、 $(- \infty, - \frac{3}{2}] \cup^{} [\frac{1}{2}, + \infty)$ D、 $[- \frac{3}{2}, \frac{1}{2}]$

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2. 命题“ $\forall x \in (0, 1),$ $x^{2} - x < 0$ ”的否定是（）

A、 $\exists x_{0} \notin (0, 1),$ $x_{0}^{2} - x_{0} \geq 0$ B、 $\exists x_{0} \in (0, 1),$ $x_{0}^{2} - x_{0} \geq 0$ C、 $\forall x_{0} \notin (0, 1),$ $x_{0}^{2} - x_{0} < 0$ D、 $\forall x_{0} \in (0, 1),$ $x_{0}^{2} - x_{0} \geq 0$

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3. 在 $Δ A B C$ 中， $c = 10, a = 5 \sqrt{2}, A = 30 °$ 则 $B =$ （）

A、105° B、60° C、15° D、105°或15°

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4. 记 $S_{n}$ 为等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和，若 $a_{1} = 1$ ， $2 S_{3} = 2 a_{4} + S_{2}$ ，则 $a_{8} =$ （）

A、8 B、9 C、16 D、15

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5. 已知a、b、c分别是△ABC的内角A、B、C的对边，若 $\frac{\sin C}{\sin B} < \cos A$ ，则 $Δ A B C$ 的形状为（）

A、钝角三角形 B、直角三角形 C、锐角三角形 D、等边三角形

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6. 已知等比数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和的乘积记为 $T_{n}$ ，若 $T_{2} = T_{9} = 512$ ，则 $T_{8} =$ （）

A、 $1024$ B、 $2048$ C、 $4096$ D、 $8192$

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7. 设 $m = {log}_{0.3} 0.6, n = \frac{1}{2} {log}_{2} 0.6$ ，则（）

A、 $m - n > m n > m + n$ B、 $m - n > m + n > m n$ C、 $m n > m - n > m + n$ D、 $m + n > m - n > m n$

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8. 不等式组 ${\begin{array}{l} x + y \geq 1 ， \\ x - 2 y \leq 4 \end{array}$ 表示的平面区域为 $D$ ，则（）

A、 $\forall (x ， y) \in D ， x + 2 y \geq 2$ B、 $\forall (x ， y) \in D ， x + 2 y \leq 2$ C、 $\exists (x ， y) \in D ， x + 2 y \geq - 2$ D、 $\exists (x ， y) \in D ， x + 2 y \leq - 2$

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9. 我国南宋著名数学家秦九韶提出了由三角形三边求三角形面积的“三斜求积”，设 $Δ A B C$ 的三个内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，面积为 $S$ ，则“三斜求积”公式为 $S = \sqrt{\frac{1}{4} [a^{2} c^{2} - {(\frac{a^{2} + c^{2} - b^{2}}{2})}^{2}]}$ ，若 $a^{2} \sin C = 2 \sin A$ ， ${(a + c)}^{2} = 6 + b^{2}$ ，则用“三斜求积”公式求得 $Δ A B C$ 的面积为（）

A、 $\sqrt{3}$ B、1 C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $\frac{1}{2}$

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10. “对任意正整数 $n$ ，不等式 $n \lg a < (n + 1) \lg a^{a} (a > 1)$ 都成立”的一个必要不充分条件是（）

A、 $a > 0$ B、 $a > 1$ C、 $a > 2$ D、 $a > 3$

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11. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $2 a_{1} + 2^{2} a_{2} + ... + 2^{n} a_{n} = n (n \in N^{*})$ ，数列 ${\frac{1}{\log_{2} a_{n} \log_{2} a_{n + 1}}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，则 $S_{1} \cdot S_{2} \cdot S_{3} \cdot ... \cdot S_{10} =$ （）

A、 $\frac{1}{10}$ B、 $\frac{1}{11}$ C、 $\frac{2}{11}$ D、 $\frac{1}{5}$

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12. 在 $Δ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对应的边分别为 $a, b, c$ ，若 $a c = 4$ ， $\sin B + 2 \sin C \cos A = 0$ ，则 $Δ A B C$ 面积的最大值为（）

A、1 B、 $\sqrt{3}$ C、2 D、4

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二、填空题

13. 在 $Δ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别是 $a$ ， $b$ ， $c$ ，若 $b = 3$ ， $c = 2$ ， $\cos A = \frac{1}{3}$ ，则 $a =$ .

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14. 在 $Δ A B C$ 中，内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对应的边长分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且 $\cos C = \frac{2 \sqrt{2}}{3}$ ， $b \cos A + a \cos B = 2$ ，则 $Δ A B C$ 的外接圆面积为．

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15. 已知变量 $x ， y$ 满足条件 ${\begin{array}{l} x \geq 1 \\ x - y \leq 0 \\ x + 2 y - 9 \leq 0 \end{array}$ ，若目标函数 $z = a x + y$ 仅在点（3，3）处取得最小值，则 $a$ 的取值范围是.

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16. 已知正项等比数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ．若 $S_{9} = S_{3} + 2 S_{6}$ ，则 $S_{6} + \frac{1}{S_{3}}$ 取得最小值时， $S_{9}$ 的值为．

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三、解答题

17. 在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ，且满足 $a \cos C = b - \frac{\sqrt{3}}{2} c$ .
(Ⅰ)求角 $A$ 的大小；

(Ⅱ)若 $B = \frac{π}{6}$ ， $b = 4$ ，求 $B C$ 边上的中线 $A M$ 的长.

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18. 已知 $m \in R$ ，命题 $p ：$ 对任意 $x \in [0 ， 1]$ ，不等式 $\log_{2} (x + 1) - 2 \geq m^{2} - 3 m$ 恒成立；命题 $q ：$ 存在 $x \in [- 1 ， 1]$ ，使得 $m \leq {(\frac{1}{2})}^{x} - 1$ 成立.

(1)、若 $p$ 为真命题，求 $m$ 的取值范围；

(2)、若 $p \land q$ 为假， $p \lor q$ 为真，求 $m$ 的取值范围.

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19. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $S_{n} = 2 a_{n} - n$ .

(1)、证明数列 ${a_{n} + 1}$ 是等比数列，并求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、记 $b_{n} = \frac{1}{a_{n + 1}} + \frac{1}{a_{n} a_{n + 1}}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

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20. 已知向量 $\overset{⇀}{m} = (\sqrt{3} \sin x, \sin x)$ ， $\overset{⇀}{n} = (\cos x, \sin x)$ ，函数 $f (x) = \overset{⇀}{m} \cdot \overset{⇀}{n} - \frac{1}{2}$ （ $x \in R$ ）.
（Ⅰ）求函数 $f (x)$ 的最大值和最小正周期；

（Ⅱ）在 $Δ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，满足 $b^{2} = a c$ ，且 $f (B) = \frac{1}{2}$ ，求 $\frac{1}{\tan A} + \frac{1}{\tan C}$ 的值.

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21. 在 $Δ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ,且 $\frac{asin A + b \sin B - csin C}{\sin B \sin C} - \frac{2 \sqrt{3}}{3} a = 0$ .

(1)、求角C；

(2)、若 $Δ A B C$ 的中线CE的长为1，求 $Δ A B C$ 的面积的最大值.

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22. 设数列 ${a_{n}}$ 是等差数列，数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ ，满足 $S_{n} = \frac{3}{2} (b_{n} - 1)$ 且 $a_{2} = b_{1}, a_{5} = b_{2}$ ．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 和 ${b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设 $T_{n}$ 为数列 ${n S_{n}}$ 的前 $n$ 项和，求 $T_{n}$ ．

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