高中数学人教新课标A版选修2-1 3.2立体几何中的向量方法

试卷更新日期：2020-09-21 类型：同步测试

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一、单选题

1. 如图，在长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，M，N分别是棱BB₁ ， B₁C₁的中点，若∠CMN=90°，则异面直线AD₁和DM所成角为（）

A、30° B、45° C、60° D、90°

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2. 如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠BAC=90°，AB=AC=2，AA₁= $\sqrt{6}$ ，则AA₁与平面AB₁C₁所成的角为（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{4}$ C、 $\frac{π}{3}$ D、 $\frac{π}{2}$

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3. 已知两平面的法向量分别为 $\overset{⇀}{m} = (0 ， 1 ， 0)$ ， $\overset{⇀}{n} = (0 ， 1 ， 1)$ ，则两平面所成的二面角为（）

A、 $45 °$ B、 $135 °$ C、 $45 °$ 或 $135 °$ D、 $90 °$

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4. 在四面体 $A - B C D$ 中，已知棱 $A C$ 的长为 $\sqrt{2}$ ，其余各棱长都为1，则二面角 $A - C D - B$ 的平面角的余弦值为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{3}$

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5. 正方体ABCD—A′B′C′D′中，AB的中点为M，DD′的中点为N，则异面直线B′M与CN所成角的大小为（）

A、0° B、45° C、60 ° D、90°

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6. 如图所示，将等腰直角△ABC沿斜边BC上的高AD折成一个二面角，使得∠B′AC＝60°．那么这个二面角大小是（）

A、30° B、60° C、90° D、120°

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7. 如图，直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的底面是边长为6的等边三角形，侧棱长为2，E是棱BC上的动点，F是棱 $B_{1} C_{1}$ 上靠近 $C_{1}$ 点的三分点，M是棱 $C C_{1}$ 上的动点，则二面角 $A - F M - E$ 的正切值不可能是（）

A、 $\frac{3 \sqrt{15}}{5}$ B、 $\frac{2 \sqrt{15}}{5}$ C、 $\sqrt{6}$ D、 $\sqrt{5}$

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8. 如图，三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 满足棱长都相等且 $A A_{1} ⊥$ 平面 $A B C$ ，D是棱 $C C_{1}$ 的中点，E是棱 $A A_{1}$ 上的动点．设 $A E = x$ ，随着x增大，平面BDE与底面ABC所成锐二面角的平面角是（）

A、先增大再减小 B、减小 C、增大 D、先减小再增大

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9. 如图，正四棱锥S-ABCD中，O为顶点在底面内的投影，P为侧棱SD的中点，且SO=OD，则直线BC与平面PAC的夹角是（）

A、30° B、45° C、60° D、90°

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10. 已知正四面体 $A_{} - B C D$ 中， $P$ 为 $A D$ 的中点，则过点 $P$ 与侧面 $A B C$ 和底面 $B C D$ 所在平面都成 $60^{\circ}$ 的平面共有（）（注：若二面角 $α - l - β$ 的大小为 $120^{\circ}$ ，则平面 $α$ 与平面 $β$ 所成的角也为 $60^{\circ}$ ）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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11. 如图，设矩形 ABCD 所在的平面与梯形 ACEF 所在平面交于 AC ，若 $A B = 1 ，$ $B C = \sqrt{3} ，$ $A F = E F = E C = 1$ ，则下面二面角的平面角大小为定值的是（）

A、 $F - A B - C$ B、 $B - E F - D$ C、 $A - B F - C$ D、 $B - A F - D$

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12. 在三棱锥 $P - A B C$ 中， $∠ A B C = 90^{°}$ ， $B C = 3 A B$ ， P在平面 $A B C$ 的射影O为 $B C$ 的中点，D是 $A C$ 上的动点，M，N是 $P C$ 的两个三等分点， $∠ C O D = θ$ （ $0 < θ < π$ ），记二面角 $N - O D - C$ ， $M - B D - C$ 的平面角分别为 $α$ ， $β$ .若 $α \leq β$ ，则 $θ$ 的最大值为（）

A、 $\frac{5 π}{6}$ B、 $\frac{3 π}{4}$ C、 $\frac{2 π}{3}$ D、 $\frac{π}{2}$

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二、填空题

13. 棱长相等的三棱锥的任意两个面组成的二面角的余弦值是．

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14. 将边长为1的正方形 $A B C D$ 沿对角线 $A C$ 折叠，使得点B和D的距离为1，则二面角 $B - A C - D$ 的大小为.

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15. 如图，在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，直线 $B C_{1}$ 与平面 $B B_{1} D_{1} D$ 所成的角等于．

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16. 四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A ⊥$ 平面ABCD， $∠ B A D = 90^{\circ}$ ， $P A = A B = B C = \frac{1}{2} A D = 1$ ，BC//AD，已知Q是四边形ABCD内部一点，且二面角 $Q - P D - A$ 的平面角大小为 $\frac{π}{4}$ ，若动点Q的轨迹将ABCD分成面积为 $S_{1} ， S_{2} (S_{1} < S_{2})$ 的两部分，则 $S_{1} ： S_{2}$ = ．

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三、解答题

17. 在三棱锥A—BCD中，已知CB=CD= $\sqrt{5}$ ，BD=2，O为BD的中点，AO⊥平面BCD，AO=2，E为AC的中点．

(1)、求直线AB与DE所成角的余弦值；

(2)、若点F在BC上，满足BF= $\frac{1}{4}$ BC，设二面角F—DE—C的大小为θ，求sinθ的值．

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18. 如图，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，已知 $A B ⊥ A C$ ， $A B = 2$ ， $A C = 4$ ， $A A_{1} = 3$ .D是线段 $B C$ 的中点.

(1)、求直线 $D B_{1}$ 与平面 $A_{1} C_{1} D$ 所成角的正弦值；

(2)、求二面角 $B_{1} - A_{1} D - C_{1}$ 的大小的余弦值.

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19. 如图，在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A_{1} B ⊥$ 平面 $A B C$ ， $A B ⊥ A C$ ，且 $A B = A C = A_{1} B = 2$ .

(1)、求棱 $A A_{1}$ 与 $B C$ 所成的角的大小；

(2)、在棱 $B_{1} C_{1}$ 上确定一点 $P$ ，使二面角 $P - A B - A_{1}$ 的平面角的余弦值为 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ .

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20. 如图，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A C = 3$ ， $B C = 4$ ， $A B = 5$ ， $A A_{1} = 4$ .

(1)、设 $\vec{A D} = λ \vec{A B}$ ，异面直线 $A C_{1}$ 与 $C D$ 所成角的余弦值为 $\frac{9 \sqrt{10}}{50}$ ，求 $λ$ 的值；

(2)、若点D是 $A B$ 的中点，求二面角 $D - C B_{1} - B$ 的余弦值.

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21. 如图，在三棱锥 $D - A B C$ 中， $D A ⊥$ 平面 $A B C$ ， $∠ C A B = 90 °$ ，且 $A C = A D = 1$ ， $A B = 2$ ，E为 $B D$ 的中点．

(1)、求异面直线 $A E$ 与 $B C$ 所成角的余弦值；

(2)、求二面角 $A - C E - B$ 的余弦值．

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22. 如图所示，等边三角形 $A B C$ 的边长为3，点 $D$ ， $E$ 分别是边 $A B$ ， $A C$ 上的点，满足 $A D = 1$ ， $D E ⊥ A B$ ．将 $△ A D E$ 沿 $D E$ 折起到 $△ A_{1} D E$ 的位置，使二面 $A_{1} - D E - B$ 为二面角，连接 $A_{1} B$ ， $A_{1} C$ ．

(1)、求二面角 $C - A_{1} B - D$ 的余弦值；

(2)、线段 $A_{1} E$ 上是否存在点 $P$ ，使得直线 $C P$ 与平面 $A_{1} B C$ 所成的角为60°？若存在，求出 $A_{1} P$ 的长；若不存在，请说明理由．

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一、单选题

二、填空题

三、解答题

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