浙江省之江教育评价联盟2019-2020学年高三上学期数学第二次联考试卷

试卷更新日期：2020-09-18 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 已知全集 $U = {- 1, 0, 1, 2, 3}$ ，集合 $A = {0, 1, 2}$ ， $B = {- 1, 0, 1}$ ，则 $(∁_{U} A) \cap B =$ （）

A、{-1} B、 ${0, 1}$ C、 ${- 1, 2, 3}$ D、 ${- 1, 0, 1, 3}$

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2. 设函数 $f (x) = {\begin{cases} - 2 x^{2} + 1 ， x \geq 1 \\ \log_{2} (1 - x) ， x < 1 \end{cases}$ ，则 $f [f (4)] =$ （）

A、2 B、3 C、5 D、6

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3. 若实数 $x 、 y$ 满足约束条件 ${\begin{array}{l} 2 x - y \geq 0 \\ x + y - 3 \leq 0 \\ x - 2 y \leq 3 \end{array}$ ，则 $z = x - y$ 的最大值是（）

A、1 B、3 C、-1 D、-3

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4. 已知某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）

A、 $\frac{32}{3}$ B、4 C、 $\frac{16}{3}$ D、8

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5. 若 $a 、 b$ 均为实数，则“ $a b (a - b) > 0$ ”是“ $a > b > 0$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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6. 函数 $y = \frac{\sin x}{x^{2}} + x - 1$ 的部分图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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7. 设 $0 < a < \frac{2}{3}$ ，随机变量 $X$ 的分布列是：

$X$

-1

0

1

$P$

$a$

$\frac{2}{3} - a$

$\frac{1}{3}$

则当 $a$ 在 $(0 ， \frac{2}{3})$ 内增大时（）

A、 $D (X)$ 增大 B、 $D (X)$ 减小 C、 $D (X)$ 先增大后减小 D、 $D (X)$ 先减小后增大

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8. 在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $O$ 是底面 $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的中心， $E$ 是棱 $A B$ 上的点，且 $A E = \frac{1}{4} A B$ ，记直线 $O E$ 与直线 $B C$ 所成角为 $α$ ，直线 $O E$ 与平面 $A B C D$ 所成角为 $β$ ，二面角 $O - A B - C$ 的平面角为 $γ$ ，则（）

A、 $α < β < γ$ B、 $β < α < γ$ C、 $β < γ < α$ D、 $γ < β < α$

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9. 若 $[x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数(如 $[2.5] = 2$ ， $[4] = 4$ ， $[- 2.5] = - 3$ )，已知 $a_{n} = [\frac{2}{7} \times 10^{n}]$ ， $b_{1} = a_{1}$ ， $b_{n} = a_{n} - 10 a_{n - 1} (n \in N^{*}, n \geq 2)$ ，则 $b_{2019} =$ （）

A、2 B、5 C、7 D、8

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10. 已知 $C$ ， $D$ 是以 $A B$ 为直径的圆 $O$ 上的动点，且 $A B = 4$ ，则 $\vec{A C} \cdot \vec{B D}$ 的最大值是（）

A、2 B、 $4 \sqrt{5} - 4 \sqrt{3}$ C、 $2 \sqrt{2}$ D、 $4 \sqrt{3} - 4$

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二、双空题

11. 复数 $z = \frac{i}{i - 1}$ ( $i$ 为虚数单位)，则 $z$ 的虚部为， $| z | =$ .

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12. 已知直线 $l_{1} ： m x - y = 1$ ， $l_{2} ： x - m y - 1 = 0$ .若 $l_{1} / / l_{2}$ ，则 $m$ 的值为；若直线 $l_{1}$ 与圆 $x^{2} + 2 x + y^{2} - 24 = 0$ 交于 $A ， B$ 两点，则 ${| A B |}_{\min} =$ .

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13. 已知多项式 $x^{3} {(x + 1)}^{2} = {(x - 1)}^{5} + a_{1} {(x - 1)}^{4} + a_{2} {(x - 1)}^{3} +$ $\dots + a_{4} (x - 1) + a_{5}$ ，则 $a_{5} =$ ， $a_{4} =$ .

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14. 在 $△ A B C$ 中，内角 $A 、 B 、 C$ 所对的边分别是 $a 、 b 、 c$ ，已知 $b - c = \frac{1}{4} a$ ， $2 \sin B = 3 \sin C$ ， $△ A B C$ 的面积为 $\frac{3 \sqrt{15}}{4}$ ，则 $\cos A$ 的值为， $a =$ .

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三、填空题

15. 若实数 $x ， y$ 满足 $x > y > 0$ ，且 $\log_{2} x + \log_{2} y = 1$ ，则 $\frac{x - y}{x^{2} + y^{2}}$ 的最大值为.

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16. 已知双曲线 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左右焦点分别为 $F_{1} 、 F_{2}$ ，过 $F_{1}$ 的直线与 $C$ 的两条渐近线分别交于 $A 、 B$ 两点，若 $3 \vec{F_{1} A} = 2 \vec{A B}$ ， $\vec{F_{1} B} \cdot \vec{F_{2} B} = 0$ ，则 $C$ 的离心率为.

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17. 已知函数 $f (x) = x + \frac{2 b}{x} + a ， x \in [a ， + \infty)$ ，其中 $a > 0$ ， $b \in R$ ，记 $m (a ， b)$ 为 $f (x)$ 的最小值，则当 $M (a ， b) = 4$ 时， $b$ 的取值范围为.

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四、解答题

18. 已知函数 $f (x) = \sin^{4} x + \cos^{4} x - \frac{\sqrt{3}}{2} \sin 2 x \cos 2 x$ .

(1)、求 $f (x)$ 的最小正周期；

(2)、当 $x \in [0 ， \frac{π}{4}]$ 时，求 $f (x)$ 的最大值和最小值.

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19. 如图，空间四边形 $A B C D$ 中， $△ A B C$ 是正三角形， $△ A C D$ 是直角三角形，点 $E$ 、 $F$ 分别是 $B D$ 、 $A C$ 的中点，且 $∠ A B D = ∠ C B D$ ， $A B = B D$ .

(1)、求证： $B F ⊥$ 平面 $A C D$ ；

(2)、求 $A E$ 与平面 $B C D$ 所成角的正弦值.

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20. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = 1$ ， $a_{2} = 3$ ，正项数列 ${b_{n}}$ 满足 $\frac{b_{n}}{a_{n}} = a_{n + 1} (n \in Ν^{*})$ ，且 ${b_{n}}$ 是公比为3的等比数列.

(1)、求 $a_{3}, a_{4}, a_{5}, a_{6}$ 及 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设 $S_{n}$ 为 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和，若 $S_{n} > 2019$ 恒成立，求正整数 $n$ 的最小值 $n_{0}$ .

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21. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，原点为 $O$ ，抛物线 $C$ 的方程为 $x^{2} = 4 y$ ，线段 $A B$ 是抛物线 $C$ 的一条动弦.

(1)、求抛物线 $C$ 的准线方程和焦点坐标 $F$ ；

(2)、当 $| A B | = 8$ 时，设圆 $D$ ： $x^{2} + {(y - 1)}^{2} = r^{2} (r > 0)$ ，若存在两条动弦 $A B$ ，满足直线 $A B$ 与圆 $D$ 相切，求半径 $r$ 的取值范围.

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22. 已知函数 $f (x) = \frac{x}{e^{x - 1}} - a$ 的两个零点记为 $x_{1}, x_{2}$ .

(1)、求 $a$ 的取值范围；

(2)、证明： $| x_{1} - x_{2} | > 2 \sqrt{1 - a}$ .

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$X$	-1	0	1
$P$	$a$	$\frac{2}{3} - a$	$\frac{1}{3}$