浙江省之江教育联盟2019-2020学年高三上学期数学9月第一次联考试卷

试卷更新日期：2020-09-18 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | x < 1}, B = {x | x < 0}$ ，则（）

A、 $A \cap B = {x | x < 0}$ B、 $A \cup B = R$ C、 $A \cup B = {x | x > 1}$ D、 $A \cap B = \emptyset$

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2. 若双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > 0$ ， $b > 0$ ）的离心率为 $\sqrt{2}$ ，则其渐近线方程为（）

A、 $y = \pm 2 x$ B、 $y = \pm x$ C、 $y = \pm \sqrt{2} x$ D、 $y = \pm \frac{\sqrt{2}}{2} x$

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3. 若实数满足约束条件 ${\begin{cases} 2 x + 3 y - 3 \leq 0 \\ 2 x - 3 y + 3 \geq 0 \\ y + 1 \geq 0 \end{cases}$ ，则 $z = 2 x + y$ 的最大值是（）

A、-5 B、-9 C、5 D、9

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4. 某几何体的三视图如图所示（单位： $cm$ ），则该几何体的表面积（单位： $cm$ ）是（）

A、 $\frac{4}{3} π + 20 + 12 \sqrt{11}$ B、 $4 π + 20 + 12 \sqrt{11}$ C、 $\frac{4}{3} π + 20 + 12 \sqrt{10}$ D、 $4 π + 20 + 12 \sqrt{10}$

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5. 在同一平面直角坐标系中，函数 $f (x) = x^{a} (x > 0)$ ， $g (x) = \log_{\frac{1}{a}} (x + \frac{1}{2})$ （ $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ）的部分图象可能是（）

A、 B、 C、 D、

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6. “ $a > 3$ ”是“关于x的不等式 $| 2 x + 1 | + | x - 1 | < a$ 有解”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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7. 在四面体 $A B C D$ 中， $A B ⊥ B C$ ， $B C ⊥ C D$ ， $A B = B C = C D = 1$ ， $A D = \sqrt{3}$ ，点E为线段 $A B$ 上动点（包含端点），设直线 $D E$ 与 $B C$ 所成角为 $θ$ ，则 $\cos θ$ 的取值范围为（）

A、 $[0 ， \frac{\sqrt{3}}{3}]$ B、 $[0 ， \frac{\sqrt{2}}{2}]$ C、 $[\frac{\sqrt{2}}{2} ， \frac{\sqrt{5}}{3}]$ D、 $[\frac{\sqrt{3}}{3} ， \frac{\sqrt{2}}{2}]$

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8. 设椭圆C的两个焦点是 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，过点 $F_{1}$ 的直线与椭圆C交于点P，Q， $| P F_{2} | = | F_{1} F_{2} |$ ，且 $3 | P F_{1} | = 4 | Q F_{1} |$ 则椭圆C的离心率为（）

A、 $- \frac{1}{3}$ B、 $\frac{5}{7}$ C、 $\frac{3}{5}$ D、 $\frac{3}{4}$

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9. 已知数列 ${a_{n}}$ ，满足 $a_{1} = 3$ ， $\frac{a_{n + 1}}{a_{n}} = a_{n} + 2$ （ $n \in N^{*}$ ），则使 $a_{n} > 4^{2020}$ 成立的最小正整数n为（）

A、10 B、11 C、12 D、13

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10. 设函数 $f (x) = \sqrt{\ln x + x - a}$ （ $a \in R$ ），若存在 $x_{0} \in [2, 3]$ ，使得 $f [f (x_{0})] = x_{0}$ ，则a的取值范围为（）

A、 $[\ln 3 - 3, \ln 2 - 2]$ B、 $[\ln 3 - 6, \ln 2 - 2]$ C、 $[\ln 3 - 6, \ln 2 - 4]$ D、 $[\ln 2 + 2, \ln 3 + 3]$

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二、双空题

11. 设复数z满足 $(1 - i) z = i$ ，则 $z =$ ， $| z | =$ .

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12. 过点 $P (3, 1)$ 作圆C： ${(x - 1)}^{2} + y^{2} = 1$ 的两条切线，切点分别为 $A$ ， $B$ ，则 $| P A | =$ ，直线 $A B$ 的方程为.

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13. 等比数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} = \sqrt{2}$ ， $a_{2} = \sqrt[3]{3}$ ，则 $\frac{a_{2} + a_{2013}}{a_{8} + a_{2019}} =$ ， $a_{1} a_{2} a_{3} a_{4} =$ ．

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14. 已知函数 $f (x) = \sin^{2} x - \sin^{2} (x - \frac{π}{6})$ ， $x \in R$ ，则 $f (x)$ 的最小正周期为，单调递增区间为.

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三、填空题

15. 设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线 $y^{2} = 2 p x$ （ $p > 0$ ）上任意一点，Q是线段 $P F$ 上的点，且 $2 | \vec{P Q} | = | \vec{Q F} |$ ，则直线 $O Q$ 的斜率的最大值为.

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16. 已知 $| \vec{A B} | = | \vec{A C} | = 1$ ， $\vec{A B}$ 与 $\vec{A C}$ 所成角为 $60 °$ ，点P满足 $| \vec{A P} - \vec{A C} | \leq 1$ ，若 $\vec{A P} = x \vec{A B} + y \vec{A C}$ ，则 $x + y$ 的最大值为.

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17. 当 $x \in [1 ， 4]$ 时，不等式 $0 \leq a x^{3} + b x^{2} + 4 a \leq 4 x^{2}$ 恒成立，则 $7 a + b$ 的取值范围是．

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四、解答题

18. △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为 $\frac{a^{2}}{3 s i n A}$ ．

(1)、求sinBsinC；

(2)、若6cosBcosC=1，a=3，求△ABC的周长．

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19. 如图，已知三棱锥 $P - A B C$ ，平面 $P A C ⊥$ 平面 $A B C$ ， $A B = B C = P A = \frac{1}{2} P C = 2$ ， $∠ A B C = 120 °$ ．

(1)、证明： $P A ⊥ B C$ ；

(2)、设点 $E$ 为 $P C$ 中点，求直线 $A E$ 与平面 $P B C$ 所成角的正弦值．

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20. 已知各项均为正数的数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，且 $4 S_{n} = a_{n}^{2} + 2 a_{n}$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的前n项和 $S_{n}$ ；

(2)、求证： $\frac{n^{2} + n}{2} < \sqrt{S_{1}} + \sqrt{S_{2}} + \sqrt{S_{3}} + \dots + \sqrt{S_{n}} < \frac{n^{2} + 2 n}{2}$

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21. 已知抛物线 $y^{2} = 2 p x$ （ $p > 0$ ）上的两个动点 $A (x_{1} ， y_{1})$ 和 $B (x_{2} ， y_{2})$ ，焦点为F.线段AB的中点为 $M (3 ， y_{0})$ ，且A，B两点到抛物线的焦点F的距离之和为8.

(1)、
求抛物线的标准方程；

(2)、若线段AB的垂直平分线与x轴交于点C，求 $△ A B C$ 面积的最大值.

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22. 已知函数 $f (x) = \ln x - a x^{2} - b x (a ， b \in R)$ .

(1)、当 $a = - 1$ 时，设 $x_{1}$ ， $x_{2}$ 为 $f (x)$ 的两个不同极值点，证明： $f (x_{1}) + f (x_{2}) < - 3 - \ln 2$ ；

(2)、设 $x_{1}$ ， $x_{2}$ 为 $f (x)$ 的两个不同零点，证明： $f (x_{1} + x_{2}) < x_{1} + x_{2} - 3$ .

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