浙江省十校联盟2019-2020学年高三上学期数学10月月考试卷

试卷更新日期：2020-09-18 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 若集合 $A = {x | - 1 < x < 2}$ ， $B = {- 2, 0, 1, 2}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\emptyset$ B、 ${0, 1}$ C、 ${0, 1, 2}$ D、 ${- 2, 0, 1, 2}$

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2. 已知双曲线 $\frac{x^{2}}{2} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (b > 0)$ 的两条渐近线互相垂直，则 $e =$ （）

A、1 B、 $\sqrt{2}$ C、 $\sqrt{3}$ D、2

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3. 定义在 $R$ 上的奇函数 $f (x)$ 满足 $f (x) = x^{2} - 2 x (x ⩾ 0)$ ，则函数 $f (x)$ 的零点个数为（）

A、0 B、1 C、2 D、3

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4. 若实数 $x ， y$ 满足约束条件 ${\begin{array}{l} x - 2 y - 2 \leq 0 \\ x - y + 1 \geq 0 \\ y \geq 0 \end{array}$ ，则 $z = x + y$ 的取值范围是（）

A、 $[- 7 ， 2]$ B、 $[- 1 ， 2]$ C、 $[- 1 ， + \infty)$ D、 $[2 ， + \infty)$

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5. 由两个 $\frac{1}{4}$ 圆柱组合而成的几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）

A、 $\frac{π}{3}$ B、 $\frac{π}{2}$ C、 $π$ D、 $2 π$

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6. 设 $x \in R$ ，则“ $x \leq 2$ ”是“ $| x + 2 | + 1 \geq 2 x$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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7. 在同一直角坐标系中，函数 $y = a^{1 - x}$ ， $y = \log_{a} (x - 1)$ （ $a > 0$ ，且 $a \neq 1$ ）的图象可能是（）

A、 B、 C、 D、

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8. 用数字0，1，2，3，4，5可以组成没有重复数字的四位奇数的个数是（）

A、72 B、144 C、150 D、180

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9. 在 $△ A B C$ 中，若 $\overset{⇀}{A B} \cdot \overset{⇀}{B C} = \overset{⇀}{B C} \cdot \overset{⇀}{C A} = 2 \overset{⇀}{C A} \cdot \overset{⇀}{A B}$ ，则 $\frac{| \overset{⇀}{A B} |}{| \overset{⇀}{B C} |} =$ （）

A、1 B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{6}}{2}$

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10. 在正方体 $A B C D - A' B' C' D'$ 中，点E，F分别是棱 $C D ， B C$ 上的动点，且 $B F = 2 C E$ .当三棱锥 $C - C^{'} E F$ 的体积取得最大值时，记二面角 $C - E F - C'$ 、 $C' - E F - A'$ 、 $A' - E F - A$ 平面角分别为 $α$ ， $β$ ， $γ$ ，则（）

A、 $α > β > γ$ B、 $α > γ > β$ C、 $β > α > γ$ D、 $β > γ > α$

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二、双空题

11. 复数 $z = \frac{2}{1 + i} (i$ 是虚数单位），则 $| z | =$ ，其共轭复数 $\bar{z} =$ .

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12. ${(1 - 2 \sqrt{x})}^{5}$ 的展开式的各个二项式系数的和为，含 $x \sqrt{x}$ 的项的系数是.

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13. 已知圆 $C : x^{2} + y^{2} = 4$ 与圆 $D : x^{2} + y^{2} - 4 x + 2 y + 4 = 0$ 交于AB两点，则两圆连心线CD的方程为，两圆公共弦AB的长为.

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14. 在 $△ A B C$ 中， $\cos C = - \frac{3}{5}$ ， $B C = 1$ ， $A C = 5$ ，则 $A B =$ ，若D是AB的中点，则 $C D =$ .

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三、填空题

15. 1742年6月7日，哥德巴赫在给大数学家欧拉的信中提出：任一大于2的偶数都可写成两个质数的和.这就是著名的“哥德巴赫猜想”，可简记为“1＋1”.1966年，我国数学家陈景润证明了“1＋2”，获得了该研究的世界最优成果.若在不超过30的所有质数中，随机选取两个不同的数，则两数之和不超过30的概率是.

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16. 已知F是椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的一个焦点，P是C上的任意一点，则 $| F P |$ 称为椭圆C的焦半径.设C的左顶点与上顶点分别为A，B，若存在以A为圆心， $| F P |$ 为半径长的圆经过点B，则椭圆C的离心率的最小值为.

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17. 若数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{n + 1} = \frac{1}{3 - 2 a_{n}}$ ，且对任意 $n \in N^{*}$ ，有 $a_{n + 1} > a_{n}$ ，则 $a_{1}$ 的取值范围是.

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四、解答题

18. 已知角 $α$ 的顶点与原点 $O$ 重合，始边与 $x$ 轴的非负半轴重合，终边经过点 $P (- 1, \sqrt{3})$ .
（Ⅰ）求 $\cos (α + \frac{π}{2})$ 的值；

（Ⅱ）求函数 $f (x) = \sin^{2} (x + α) - \cos^{2} (x - α)$ $(x \in R)$ 的最小正周期与单调递增区间.

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19. 如图，平面 $A B C ⊥$ 平面 $D B C$ ，且 $A B = B C = B D$ ， $∠ A B C = ∠ D B C = 120 °$ ．

(1)、求证： $A D ⊥ B C$ ；

(2)、求直线 $A B$ 与平面 $A D C$ 所成角的余弦值．

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20. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n} (n \in N^{*})$ ，且 $a_{1} + a_{6} = a_{4}$ ， $S_{6} = 9$ .数列 ${b_{n}}$ 满足 $b_{1} = 2$ ， $b_{n} - b_{n - 1} = 2^{n - 1} (n \geq 2, n \in N^{*})$ .
（Ⅰ）求数列 ${a_{n}}$ 和 ${b_{n}}$ 的通项公式；

（Ⅱ）求数列 ${a_{n} b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ ，并求 $T_{n}$ 的最小值.

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21. 已知抛物线 $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 过点 $P (m, 2)$ ，且P到抛物线焦点的距离为2直线 $l$ 过点 $Q (2, - 2)$ ，且与抛物线相交于A，B两点.
（Ⅰ）求抛物线的方程；

（Ⅱ）若点Q恰为线段AB的中点，求直线 $l$ 的方程；

（Ⅲ）过点 $M (- 1, 0)$ 作直线MA，MB分别交抛物线于C，D两点，请问C，D，Q三点能否共线？若能，求出直线 $l$ 的斜率 $k$ ；若不能，请说明理由.

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22. 已知函数 $f (x) = \frac{1}{3} x^{3} + \frac{1}{2} a x^{2} + b x + 1 (a ， b \in R)$ ，其导函数设为 $g (x)$ .
（Ⅰ）求函数 $f (x)$ 的单调区间；

（Ⅱ）若函数 $f (x)$ 有两个极值点 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，试用 $a ， b$ 表示 $f (x_{1}) + f (x_{2})$ ；

（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，若 $g (x)$ 的极值点恰为 $f (x)$ 的零点，试求 $f (x)$ ， $g (x)$ 这两个函数的所有极值之和的取值范围.

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