广东省茂名市五校2019-2020学年高三上学期理数第一次（10月)联考试卷

试卷更新日期：2020-09-18 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | x^{2} - 4 x + 3 \geq 0}$ ， $B = {x | - 2 \leq x \leq 2}$ ，则 $A \cap B =$ （）.

A、 $[2 ， 3]$ B、 $[- 2 ， 1]$ C、 $[1 ， 2]$ D、 $[- 2 ， 3]$

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2. 已知复数Z满足 $Z (1 + i) = 2 + i$ （i为虚数单位），则复数Z的虚部为（）.

A、 $- \frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $- \frac{1}{2} i$ D、 $\frac{1}{2} i$

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3. 设实数 $a = \log_{3} 5$ ， $b = \log_{\frac{1}{5}} \frac{1}{3}$ ， $c = \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \frac{\cos x}{4} d x$ ，则（）

A、 $b > c > a$ B、 $a > c > b$ C、 $a > b > c$ D、 $b > a > c$

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4. 给出以下几个结论：
①命题 $p : \forall x \in R$ ， $1 - x^{2} \leq 1$ ，则 $\neg p : \exists x_{0} \in R$ ， $1 - x_{0}^{2} \leq 1$ ②命题“若 $(x - 1) e^{x} + 1 = 0$ ，则 $x = 0$ ”的逆否命题为：“若 $x \neq 0$ ，则 $(x - 1) e^{x} + 1 \neq 0$ ”③“命题 $p \land q$ 为真”是“命题 $p \lor q$ 为真”的充分不必要条件④若 $0 < x < \frac{π}{2}$ ，则 $\sin x + \frac{4}{\sin x}$ 的最小值为4其中正确结论的个数是（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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5. 中国古代数学著作《算法统宗》中记载了这样的一个问题“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还”，其大意为：有一个人走了378里路，第一天健步行走，从第二天起，因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，问此人前三天共走了（）.

A、48里 B、189里 C、288里 D、336里

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6. 某几何体的三视图如图：其中俯视图是等边三角形，正视图是直角三角形，则这个几何体的体积等于（）.

A、 $3 \sqrt{3}$ B、 $2 \sqrt{3}$ C、 $\sqrt{3}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$

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7. 函数 $y = 3^{| x |} \sin 2 x$ 的图象可能是（）.

A、 B、 C、 D、

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8. 已知函数 $f (x) = \cos ω x - 2 \sqrt{3} \cos^{2} (\frac{π}{4} - \frac{ω x}{2}) (ω > 0)$ 在区间 $[0, \frac{π}{2}]$ 上单调递减，则 $ω$ 的最大值为（）.

A、1 B、 $\frac{6}{5}$ C、 $\frac{4}{3}$ D、 $\frac{3}{2}$

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9. 若正数 $a, b$ 满足 $\frac{2}{a} + \frac{1}{b} = 1$ ，则 $\frac{4}{a - 2} + \frac{8}{b - 1}$ 的最小值为（）

A、4 B、8 C、 $8 \sqrt{2}$ D、16

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10. 已知函数 $f (x) = (x^{2} - 4 x) sin (x - 2) + x + 1$ 在 $[- 1, 5]$ 上的最大值为 $M$ ，最小值为 $m$ ，则 $M + m =$ （）

A、0 B、2 C、4 D、6

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11. 在等腰直角三角形 $A B C$ 中， $∠ C = \frac{π}{2} ， C A = 2 \sqrt{2}$ ， $D$ 为 $A B$ 的中点，将它沿 $C D$ 翻折，使点 $A$ 与点 $B$ 间的距离为 $2 \sqrt{3}$ ，此时四面体 $A B C D$ 的外接球的表面积为（）.

A、 $5 π$ B、 $\frac{20 \sqrt{5}}{3} π$ C、 $12 π$ D、 $20 π$

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12. 已知函数 $f (x) = \frac{1}{4} x^{4} - \frac{2 e}{3} x^{3} + \frac{1}{2} a x^{2} + x - x \ln x$ 在 $(0 ， + \infty)$ 上单调递增，则实数a的取值范围是（）

A、 $[e^{2} + \frac{1}{e} ， + \infty)$ B、 $(0 ， e]$ C、 $[2 - e - \frac{1}{e^{2}} ， + \infty)$ D、 $[2 e - 1 ， + \infty)$

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二、填空题

13. 已知两个向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $| \vec{a} | = 1$ ， $| 2 \vec{a} - \vec{b} | = \sqrt{7}$ ，且 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $\frac{π}{3}$ ，则 $| \vec{b} | =$ ．

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14. 已知动点 $P (x ， y)$ 满足 ${\begin{cases} 2 x - y ⩾ 0 \\ y ⩾ 0 \\ x + y - 3 ⩽ 0 \end{cases}$ ，则 $\frac{y + 1}{x + 2}$ 的取值范围是.

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15. 设正项等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ， $a_{2}$ 和 $a_{n - 1}$ 是函数 $f (x) = \ln x + \frac{1}{2} x^{2} - 4 n x$ 的极值点，则数列 ${{(- 1)}^{n} S_{n}}$ 的前 $2 n$ 项和为.

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16. 已知定义在R上的可导函数 $f (x)$ 的导函数为 $f^{'} (x)$ ，满足 $f^{'} (x) > f (x)$ 且 $y = f (x + 1)$ 是偶函数， $f (0) = 2 e^{2}$ ，则不等式 $f (x) < 2 e^{x}$ 的解集为．

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三、解答题

17. 已知向量 $\vec{m} = (\cos x ， \sin x) ， \vec{n} = (\cos x ， \sqrt{3} \cos x)$ ，函数 $f (x) = \vec{m} \cdot \vec{n} - \frac{1}{2}$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的最小正周期；

(2)、若 $α \in （ \frac{π}{6} ， \frac{π}{2} ）， f (α) = \frac{3}{5}$ ，求 $\cos 2 α$ 的值；

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18. 在数列 ${a_{n}}$ 中， $S_{n}$ 为 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和， $2 S_{n} + 2 n = 3 a_{n} (n \in N^{*})$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设 $b_{n} = \frac{1 + a_{n}}{a_{n} \cdot a_{n}_{+ 1}}$ ，数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ，证明 $T_{n} < \frac{1}{4}$ .

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19. $△ A B C$ 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 $2 c \cos A = 2 b - a$ ．

(1)、求角C；

(2)、若D是边BC的中点， $\cos B = \frac{11}{14}$ ， $A D = \sqrt{21}$ ，求 $△ A B C$ 的面积 $S$ ．

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20. 在多面体ABCDPE中，四边形ABCD是直角梯形， $A D / / B C$ ， $A D ⊥ A B$ ，平面 $P A D ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $P E / / C D$ ， $A B = B C = 2$ ， $A D = 4$ ， $P D = 2 \sqrt{5}$ ， $∠ P D A$ 的余弦值为 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ ， $P E = \frac{1}{2} C D$ ，F为BE中点，G为PD中点．

(1)、求证： $F G / /$ 平面ABCD；

(2)、求平面BCE与平面ADE所成角(锐角)的余弦值．

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21. 已知函数 $f (x) = \ln x - a x^{2} + (2 - a) x$ ， $a \in R$ ．

(1)、讨论函数 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若函数 $f (x)$ 有两个零点，求实数a的取值范围．

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22. 已知函数 $f (x) = x \sin x + a \sin x + b$ ， $g (x) = e^{x} \cos x + \sqrt{2} e^{x}$ ，曲线 $f (x)$ 在点 $(0 ， f (0))$ 处的切线方程为 $y = x$ ．

(1)、求实数a，b的值；

(2)、当 $x > 0$ ，证明： $g (x) > f (x)$ ．

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