广东省百校2019-2020学年高三上学期理数10月联考试卷

试卷更新日期：2020-09-18 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | x + 1 < 2}$ ， $B = {x | x^{2} < 9}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $(1, 3)$ B、 $(- \infty, 1)$ C、 $(- 3, 3)$ D、 $(- 3, 1)$

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2. 复数 $z = \frac{2 i^{3}}{1 + i}$ 的虚部为（）．

A、-1 B、1 C、-i D、i

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3. 已知 $a = {(\frac{2}{3})}^{\frac{1}{3}}, b = {(\frac{3}{2})}^{\frac{1}{3}}, c = \log_{3} \frac{1}{2}$ ，则（）

A、 $c < b < a$ B、 $a < c < b$ C、 $b < a < c$ D、 $c < a < b$

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4. 已知向量 $\vec{a} = (\frac{\sqrt{3}}{2} ， \frac{1}{2})$ ， $\vec{b} = (- 2 ， - 2 \sqrt{3})$ ，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $($ $)$

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{5 π}{6}$ C、 $\frac{π}{3}$ D、 $\frac{2 π}{3}$

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5. 若各项均为正数的等比数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{3} = 3 a_{1} + 2 a_{2}$ ，则公比 $q =$ （）

A、1 B、2 C、3 D、4

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6. 执行下面的程序框图，若输入的 $A = 1$ ，则输出的 $A$ 的值为（）

A、7 B、-17 C、31 D、-65

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7. ${(2 x - 1)}^{8}$ 的展开式中 $x^{3}$ 的系数为（）

A、﹣448 B、﹣56 C、56 D、448

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8. 函数 $f (x) = \frac{x^{3}}{\ln | x |}$ 的图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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9. 若函数 $f (x) = 3 x - l n x$ ，则 $f (x)$ 的 $($ $)$

A、最大值为 $1 - l n 3$ B、最大值为 $1 + l n 3$ C、最小值为 $1 - l n 3$ D、最小值为 $1 + l n 3$

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10. 在长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = 3$ ， $A D = 1$ ， $A A_{1} = \sqrt{2}$ ，点O为长方形 $A B C D$ 对角线的交点，E为棱 $C C_{1}$ 的中点，则异面直线 $A D_{1}$ 与 $O E$ 所成的角为（）

A、30° B、45° C、60° D、90°

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11. 从A地到B地有三条路线：1号路线，2号路线，3号路线.小王想自驾从A地到B地，因担心堵车，于是向三位司机咨询，司机甲说:“2号路线不堵车，3号路线不堵车，”司机乙说:“1号路线不堵车，2号路线不堵车，”司机丙说:“1号路线堵车，2号路线不堵车.”如果三位司机只有一位说法是完全正确的，那么小王最应该选择的路线是（）

A、1号路线 B、2号路线 C、3号路线 D、2号路线或3号路线

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12. 已知抛物线 $y^{2} = 16 x$ 的焦点为F，过点F作直线 $l$ 交抛物线于M，N两点，则 $\frac{| N F |}{9} - \frac{4}{| M F |}$ 的最小值为（）

A、 $\frac{2}{3}$ B、- $\frac{2}{3}$ C、- $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{1}{3}$

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二、填空题

13. 设 $S_{n}$ 是等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和，且 $a_{5} = a_{4} + 2$ ，则 $S_{4} - 4 a_{1} =$ ．

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14. 已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的右焦点 $F_{2}$ 到其中一条渐近线 $y = \frac{b}{a} x$ 的距离等于 $2 a$ ，则双曲线的离心率为．

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15. 十二生肖，又称十二属相，中国古人拿十二种动物来配十二地支，组成子鼠、丑牛、寅虎、卯兔、辰龙、已蛇、午马、未羊、申猴、西鸡、戌狗、亥猪十二属相现有十二生肖吉祥物各一件，甲、乙、丙三位同学依次随机抽取一件作为礼物，甲同学喜欢马、牛，乙同学喜欢马、龙、狗，丙同学除了鼠不喜欢外其他的都喜欢，则这三位同学抽取的礼物都喜欢的概率是．

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三、双空题

16. 已知函数 $f (x) = 2 \cos^{2} x$ ，将 $f (x)$ 的图象上所有的点向左平移 $\frac{π}{4}$ 个单位长度得到 $g (x)$ 的图象，则函数 $y = f (x) + g (x)$ 的最小正周期是，最大值是.

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四、解答题

17. 已知 $Δ A B C$ 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 ${(a + b)}^{2} = c^{2} + a b$ .

(1)、求角C；

(2)、若 $c = 4$ ，求当 $Δ A B C$ 的面积最大时a，b的长，并求出最大面积.

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18. 某手机软件研发公司为改进产品，对软件用户每天在线的时间进行调查，随机抽取40名男性与20名女性对其每天在线的时间进行了调查统计，并绘制了如图所示的条形图，其中每天的在线时间4h以上（包括4h）的用户被称为“资深用户”．

附： $K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中n＝a+b+c+d．

P（K²≥k₀）	0.25	0.15	0.10	0.05	0.025
k₀	1.323	2.072	2.706	3.841	5.024

(1)、根据上述样本数据，完成下面的2×2列联表，并判定是否有95%的把握认为是否为“资深用户”与性别有关；

	“资深用户”	非“资深用户”	总计
男性
女性
总计

(2)、用样本估计总体，若从全体用户中随机抽取3人，设这3人中“资深用户”的人数为X，求随机变量X的分布列与数学期望．

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19. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面ABCD为直角梯形， $A B / / C D ，$ $A B ⊥ A D$ ， $P A ⊥$ 平面ABCD，E是棱PC上的一点.

(1)、证明：平面 $A D E ⊥$ 平面 $P A B$ .

(2)、若 $P E = 4 E C$ ，F是PB的中点， $A D = 3$ ， $A B = A P = 2 C D = 2$ ，求直线DF与平面 $A D E$ 所成角的正弦值.

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20. 设椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右顶点分别为 $A_{1}$ ， $A_{2}$ ，上顶点为 $B$ ，右焦点为 $F (c, 0)$ ，已知 $| A_{2} F | = 1$ ．

(1)、证明： $b^{2} - 2 c = 1$ ．

(2)、已知直线 $B F$ 的倾斜角为 $120 °$ ，设 $P$ 为椭圆 $C$ 上不同于 $A_{1}$ ， $A_{2}$ 的一点， $O$ 为坐标原点，线段 $O A_{2}$ 的垂直平分线交 $A_{2} P$ 于 $M$ 点，过 $M$ 且垂直于 $A_{2} M$ 的直线交 $y$ 轴于 $Q$ 点，若 $F P ⊥ F Q$ ，求直线 $A_{2} P$ 的方程．

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21. 已知函数 $f (x) = (a x - 2) e^{2 x}$ ．

(1)、讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、当 $x > 1$ 时， $f (x) > e^{2} f (a - 2)$ 恒成立，求 $a$ 的取值范围．

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22. 在直角坐标系 $x O y$ 中，直线 $l$ 的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = 2 - \frac{\sqrt{2}}{2} t \\ y = - 3 + \frac{\sqrt{2}}{2} t \end{array} (t$ 为参数）．以坐标原点为极点， $x$ 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 $C$ 的极坐标方程为 $ρ = 4 \sqrt{2} \cos (θ + \frac{π}{4})$ ．

(1)、求直线 $l$ 的普通方程和曲线 $C$ 的直角坐标方程；

(2)、若直线 $l$ 与曲线 $C$ 交于 $A$ ， $B$ 两点， $P (2, - 3)$ ，求 $\frac{1}{| P A |} + \frac{1}{| P B |}$ ．

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23. 已知 $f (x) = | 2 x + 3 | + | 2 x - 1 |$

(1)、求不等式 $f (x) < 10$ 的解集

(2)、若对任意 $x \in R$ ， $f (x) ⩾ | a - 1 |$ 恒成立，求实数a的取值范围

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