江西省新余市2019-2020学年高三上学期理数第四次段考试卷

试卷更新日期：2020-09-16 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 设集合 $A = {y | y = 3^{x}, x \in R}$ ， $B = {x | y = \sqrt{1 - 2 x}, x \in R}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 ${\frac{1}{2}}$ B、 $(0, 1)$ C、 $(0, \frac{1}{2})$ D、 $(0, \frac{1}{2}]$

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2. 复数 $z_{1} = 1 + i ， z_{2} = i$ ，其中 $i$ 为虚数单位，则 $\frac{\bar{z_{1}}}{z_{2}}$ 的虚部为（）

A、-1 B、1 C、i D、-i

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3. 若 $a = l n 2,$ $b = 5^{- \frac{1}{2}}$ ， $c = \frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos x d x$ ，则 $a, b, c$ 的大小关系（）

A、 $a < b < c$ B、 $b < a < c$ C、 $c < b < a$ D、 $b < c < a$

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4. 给出下列两个命题：命题 $p$ ：“ $a = 0$ ， $b \neq 0$ ”是“函数 $y = x^{2} + a x + b$ 为偶函数”的必要不充分条件；命题 $q$ ：函数 $y = \ln \frac{1 - x}{1 + x}$ 是奇函数，则下列命题是真命题的是（）

A、 $p \land q$ B、 $p \land^{\neg} q$ C、 $p \lor q$ D、 $p \lor^{\neg} q$

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5. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且对任意 $n \in N^{*}$ 都有 $S_{n} = 2 a_{n} - 1$ ，设 $b_{n} = \log_{2} a_{n}$ ，则数列 ${b_{n}}$ 的前5项之和为（）

A、11 B、16 C、10 D、15

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6. 已知向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $| \vec{a} | = \sqrt{2}$ ， $| \vec{b} | = 1$ ，且 $| \vec{b} - \vec{a} | = \sqrt{2}$ 则向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角的余弦值为（）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{4}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{5}$

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7. 已知函数 $f (x)$ 的图象如图所示，则函数 $f (x)$ 的解析式可能是（）

A、 $f (x) = (4^{x} + 4^{- x}) | x |$ B、 $f (x) = (4^{x} - 4^{- x}) \log_{2} | x |$ C、 $f (x) = (4^{x} + 4^{- x}) \log_{2} | x |$ D、 $f (x) = (4^{x} + 4^{- x}) \log_{\frac{1}{2}} | x |$

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8. 若函数 $y = \frac{1}{2} \sin ω x$ 在区间 $[- \frac{π}{8} ， \frac{π}{12}]$ 上单调递减，则 $ω$ 的取值范围是（）

A、 $[- 4 ， 0)$ B、 $[- 2 ， 0)$ C、 $[- 4 ， 0) \cup [4 ， 6]$ D、 $[4 ， 6]$

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9. 已知M是△ABC内的一点，且 $\overset{⇀}{A B} \cdot \overset{⇀}{A C} = 4 \sqrt{3}$ ， $∠ B A C = 30 °$ ，若△MBC，△MCA和△MAB的面积分别为1， $x$ ， $y$ ，则 $\frac{y + 4 x}{x y}$ 的最小值是（）

A、2 B、8 C、6 D、9

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10. 已知函数 $f (x) = \frac{e^{x}}{x^{2}} - k (\frac{2}{x} + \ln x)$ ，若 $x = 2$ 是函数 $f (x)$ 的唯一一个极值点，则实数k的取值范围为（）

A、 $(- \infty ， e]$ B、 $[0 ， e]$ C、 $(- \infty ， e)$ D、 $[0 ， e)$

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11. 抛物线 $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点为 $F$ ，已知点 $A$ 和 $B$ 分别为抛物线上的两个动点，且满足 $∠ A F B = 120^{°}$ ，过弦 $A B$ 的中点 $M$ 作抛物线准线的垂线 $M N$ ，垂足为 $N$ ，则 $| \frac{M N}{A B} |$ 的最大值为（）

A、 $\sqrt{3}$ B、1 C、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$

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12. 已知P，A，B，C是半径为2的球面上的点，PA=PB=PC=2， $∠ A B C = 90 °$ ，点B在AC上的射影为D，则三棱锥 $P - A B D$ 体积的最大值为（）

A、 $\frac{3 \sqrt{3}}{4}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{4}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{8}$ D、 $\frac{3 \sqrt{3}}{8}$

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二、填空题

13. 若实数x，y满足 ${\begin{array}{l} x + 2 y \geq 2 \\ x - y \leq 2 \\ y \leq 2 \end{array}$ ，则 $z = x + y$ 的取值范围为.

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14. 观察下列式子： $1 + \frac{1}{2^{2}} < \frac{3}{2} ， 1 + \frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{3^{2}} < \frac{5}{3} ， 1 + \frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{3^{2}} + \frac{1}{4^{2}} \leq \frac{7}{4}$ ，…，根据上述规律，第n个不等式应该为．

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15. 设定义域为 $R$ 的函数 $f (x)$ 满足 $f^{'} (x) > f (x)$ ，则不等式 $e^{x - 1} f (x) < f (2 x - 1)$ 的解集为．

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16. 设 $Δ A B C$ 的内角 $A ， B ， C$ 的对边长 $a ， b ， c$ 成等比数列， $\cos (A - C) - \cos B = \frac{1}{2}$ ，延长 $B C$ 至 $D$ ，若 $B D = 2$ ，则 $Δ A C D$ 面积的最大值为.

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三、解答题

17. 已知在递增的等差数列 ${a_{n}} 中, a_{1} = 2, a_{3} 是 a_{1} 和 a_{9}$ 的等比中项
(I)求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(II)若 $b_{n} = \frac{1}{(n + 1) a_{n}}$ ， $S_{n}$ 为数列 ${b_{n}}$ 的前n项和，求 $S_{n}$ ．

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18. 在 $Δ A B C$ 中，设内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且 $\frac{2 a - c}{b} = \frac{\cos C}{\cos B}$ .

(1)、求角 $B$ 的大小；

(2)、求 $\sqrt{3} \cos^{2} \frac{C}{2} - \sin \frac{A}{2} \cos \frac{A}{2}$ 的取值范围.

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19. 已知在多面体 $A B C D E$ 中， $D E ∥ A B$ ， $A C ⊥ B C$ ， $B C = 2 A C = 4$ ， $A B = 2 D E$ ， $D A = D C$ 且平面 $D A C ⊥$ 平面 $A B C$ .

(1)、设点 $F$ 为线段 $B C$ 的中点，试证明 $E F ⊥$ 平面 $A B C$ ；

(2)、若直线 $B E$ 与平面 $A B C$ 所成的角为 $60^{\circ}$ ，求二面角 $B - A D - C$ 的余弦值.

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20. 高尔顿（钉）板是在一块竖起的木板上钉上一排排互相平行、水平间隔相等的圆柱形铁钉（如图），并且每一排钉子数目都比上一排多一个，一排中各个钉子恰好对准上面一排两相邻铁钉的正中央.从入口处放入一个直径略小于两颗钉子间隔的小球，当小球从两钉之间的间隙下落时，由于碰到下一排铁钉，它将以相等的可能性向左或向右落下，接着小球再通过两铁钉的间隙，又碰到下一排铁钉.如此继续下去，在最底层的5个出口处各放置一个容器接住小球.

（Ⅰ）理论上，小球落入4号容器的概率是多少？

（Ⅱ）一数学兴趣小组取3个小球进行试验，设其中落入4号容器的小球个数为 $X$ ，求 $X$ 的分布列与数学期望.

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21. 设椭圆 $C : \frac{x^{2}}{2} + y^{2} = 1$ 的右焦点为 $F$ ，过 $F$ 的直线 $l$ 与 $C$ 交于 $A, B$ 两点，点 $M$ 的坐标为 $(2, 0)$ .

(1)、当 $l$ 与 $x$ 轴垂直时，求直线 $A M$ 的方程；

(2)、设 $O$ 为坐标原点，证明： $∠ O M A = ∠ O M B$ .

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22. 已知函数 $f (x) = \frac{e^{x}}{x^{2} - a x + 1} (a \geq 0)$ ，

(1)、试讨论函数 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、若不等式 $f (x) \geq x$ 对于任意的 $x \in [0, a + 1]$ 恒成立，求 $a$ 的取值范围．

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