江西省景德镇2019-2020学年高三上学期理数第一次质检试卷

试卷更新日期：2020-09-16 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | 0 < \log_{4} x < 1}$ ， $B = {x | e^{x - 2} \leq 1}$ ，则 $A \cup B =$ （）

A、 $(- \infty ， 4)$ B、 $(1 ， 4)$ C、 $(1 ， 2)$ D、 $(1 ， 2]$

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2. 已知 $i$ 为虚数单位，若 $\frac{2}{1 + i} = a + b i (a ， b \in R)$ ，则 $a^{2019} + b^{2020} =$ （）

A、 $0$ B、 $1$ C、 $2$ D、 $3$

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3. 在一个坛子中装有10个除颜色外完全相同的玻璃球，其中有1个红球，2个蓝球，3个黄球，4个绿球，现从中任取一球后（不放回），再取一球，则已知第一个球为红色的情况下第二个球为黄色的概率为（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{3}{10}$ C、 $\frac{1}{30}$ D、 $\frac{3}{100}$

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4. 已知 $\cos α = \frac{5}{13}$ ， $α \in (π ， 2 π)$ ，则 $\cos (α + \frac{π}{6}) =$ （）

A、 $\frac{5 + 12 \sqrt{3}}{26}$ B、 $\frac{5 - 12 \sqrt{3}}{26}$ C、 $\frac{12 + 5 \sqrt{3}}{26}$ D、 $\frac{5 \sqrt{3} - 12}{26}$

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5. 如果用 $m ， n$ 表示不同直线， $α ， β ， γ$ 表示不同平面，下列叙述正确的是（）

A、若 $m / / α$ ， $m / / n$ ，则 $n / / α$ B、若 $m / / n$ ， $m \subset α$ ， $n \subset β$ ，则 $α / / β$ C、若 $α ⊥ γ$ ， $β ⊥ γ$ ，则 $α / / β$ D、若 $m ⊥ α$ ， $n ⊥ α$ ，则 $m / / n$

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6. 若变量 $x ， y$ 满足约束条件 ${\begin{array}{l} 2 x - y \leq 0 \\ x + y - 3 \leq 0 \\ x \geq 0 \end{array}$ ，则 ${(x - 1)}^{2} + y^{2}$ 的最小值为（）

A、1 B、 $\frac{4}{5}$ C、 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ D、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$

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7. 我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有蒲生一日，长三尺莞生一日，长一尺蒲生日自半，莞生日自倍.问几何日而长倍？”意思是：“今有蒲草第 $1$ 天长高 $3$ 尺，芜草第 $1$ 天长高 $1$ 尺以后，蒲草每天长高前一天的一半，芜草每天长高前一天的 $2$ 倍.问第几天莞草是蒲草的二倍？”你认为莞草是蒲草的二倍长所需要的天数是（）
（结果采取“只入不舍”的原则取整数，相关数据： $\lg 3 \approx 0.4771$ ， $\lg 2 \approx 0.3010$ ）

A、 $2$ B、 $3$ C、 $4$ D、 $5$

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8. 某正三棱柱各棱长均为2，则该棱柱的外接球表面积为（）

A、 $8 π$ B、 $16 π$ C、 $\frac{16 π}{3}$ D、 $\frac{28 π}{3}$

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9. 已知 $a ， b \in (0 ， + \infty)$ ，且不等式 $a + b \leq m^{2} - 2 m + 6$ 对任意 $m \in [2 ， 3]$ 恒成立，则 $\sqrt{a + 1} + \sqrt{b + 1}$ 的最大值为（）

A、2 B、 $2 \sqrt{2}$ C、4 D、 $4 \sqrt{2}$

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10. 已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a_{1}^{2}} + \frac{y^{2}}{b_{1}^{2}} = 1 (a_{1} > b_{1} > 0)$ ，双曲线 $\frac{x^{2}}{a_{2}^{2}} - \frac{y^{2}}{b_{2}^{2}} = 1 (a_{2} > 0 ， b_{2} > 0)$ 有公共焦点 $F_{1} 、 F_{2}$ ，它们的一个交点为 $P$ ， $∠ F_{1} P F_{2} = 60 °$ ，则 $| F_{1} F_{2} | =$ （）

A、 $\sqrt{3 a_{1}^{2} + a_{2}^{2}}$ B、 $\sqrt{a_{1}^{2} + 3 a_{2}^{2}}$ C、 $\sqrt{3 b_{1}^{2} + b_{2}^{2}}$ D、 $\sqrt{b_{1}^{2} + 3 b_{2}^{2}}$

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11. 函数 $f (x) = 2 \sin (ω x + \frac{π}{6}) (ω > 0)$ 在区间 $(- \frac{π}{4} ， \frac{π}{4})$ 内有最大值无最小值，则 $ω$ 的取值范围是（）

A、 $(\frac{4}{3} ， \frac{8}{3}]$ B、 $(\frac{4}{3} ， \frac{8}{3})$ C、 $(\frac{4}{3} ， \frac{16}{3}]$ D、 $(\frac{4}{3} ， \frac{16}{3})$

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12. 设函数 $f (x) = \frac{a^{2} - a \sin x + 1}{a^{2} - a \cos x + 1} (a \neq 0)$ 的最大值为 $M (a)$ ，最小值为 $m (a)$ ，则（）

A、存在实数 $a$ ，使 $M (a) + m (a) = 2.5$ B、存在实数 $a$ ，使 $M (a) + m (a) = - 2.5$ C、对任意实数 $a$ ，有 $M (a) + m (a) \geq 3$ D、对任意实数 $a$ ，有 $M (a) + m (a) = 2$

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二、填空题

13. 在 ${(2 x - \frac{1}{\sqrt{x}})}^{5}$ 的展开式中， $x^{2}$ 的系数为．

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14. 已知 $F_{1} ， F_{2}$ 分别为椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左右焦点， $P$ 为椭圆上的一点， $O$ 为坐标原点，且 $\overset{⇀}{P F_{1}} \cdot \overset{⇀}{P F_{2}} = 0$ ， $| \overset{⇀}{P F_{1}} | = 3 | \overset{⇀}{P F_{2}} |$ ，则该椭圆的离心率为．

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15. 在 $Δ A B C$ 中， $A B = 1$ ， $A C = 2$ ，点 $D$ 为 $B C$ 中点.若点 $M$ 为 $Δ A B C$ 的外心，则 $\overset{⇀}{A D} \cdot \overset{⇀}{A M} =$ ．

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16. 已知函数 $f (x) = x^{- \frac{2}{3}} + {0.5}^{x^{4} + x^{2}}$ ，则不等式 $f (\log_{3} x) \geq \frac{5}{2} - f (\log_{\frac{1}{3}} x)$ 的解集为．

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三、解答题

17. 数列 ${a_{n}}$ 满足： $a_{1} + a_{2} + a_{3} + \dots$ $+ a_{n} = \frac{1}{2} (3^{n} - 1)$

(1)、求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若数列 ${b_{n}}$ 满足 $a_{n} = 3^{a_{n} b_{n}}$ ，求 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

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18. 如图所示，在四棱锥 $A - B C D E$ 中， $Δ A B E$ 是正三角形，四边形 $B C D E$ 为直角梯形，点 $M$ 为 $C D$ 中点，且 $B C / / D E$ ， $B C ⊥ B E$ ， $A B = B C = 2$ ， $D E = 4$ ， $A M = 2 \sqrt{3}$ .

(1)、求证：平面ABE⊥平面BCDE；

(2)、求二面角 $B - A M - E$ 的余弦值.

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19. 2019年1月1日，“学习强国”学习平台在全国上线，“学习强国”学习平台是由中宣部主管，以习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神为主要内容，立足全体党员，面向全社会的优质平台，某企业为响应国家号召，组织员工参与学习、答题，答题环节包括“每日答题”、“每周答题”、“专项答题”和“挑战答题”.
参考数据： $\sum_{i = 1}^{5} x_{i}^{2} = 135$ ； $\sum_{i = 1}^{5} y_{i}^{2} = 91050$ ； $\sum_{i = 1}^{5} x_{i} \cdot y_{i} = 3505$

参考公式： $b = \frac{\sum_{i = 1}^{n} x_{i} \cdot y_{i} - n \bar{x} \cdot \bar{y}}{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}}$ ； $a = \bar{y} - b \bar{x}$

(1)、参与一轮“每日答题”环节，该环节共5题，全答对获2分；若答对2到4题获1分；若只答对1题或全没答对不得分.已知员工甲每题答对的概率均为 $\frac{2}{3}$ ，且每道题答对与否互不影响，求其参与一轮“每日答题”答题后获得分数 $X$ 的分布列和期望；

(2)、随着学习的深入进行，员工甲统计了自己学习积分与学习天数的情况：

学习天数

3

4

5

6

7

总得分

80

100

135

155

180

依照线性回归方程拟合数据，估计甲第9天的总得分.

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20. 抛物线 $x^{2} = 2 p y (p > 0)$ 的焦点为 $F$ ， $C ， D$ 是抛物线上关于 $y$ 轴对称的两点，点 $E$ 是抛物线准线 $l$ 与 $y$ 轴的交点， $Δ E C D$ 是面积为 $4$ 的直角三角形.

(1)、求抛物线的方程；

(2)、点 $A (x_{0} ， y_{0})$ 在抛物线上， $P ， Q$ 是直线 $y = x - 2$ 上不同的两点，且线段 $A P ， A Q$ 的中点都在抛物线上，试用 $x_{0}$ 表示 $| P Q |$ .

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21. 已知函数 $f (x) = \frac{a x + 1}{x} \ln \frac{a x + 1}{a}$ （ $x > 0$ ）.

(1)、证明：当 $a \geq 1$ 时， $f (x)$ 在 $(0 ， + \infty)$ 上是增函数；

(2)、是否存在实数 $k$ ，只有唯一正数 $a$ ，对任意正数 $x$ ，使不等式 $f (x) \leq k (x + \frac{1}{a})$ 恒成立？若存在，求出这样的 $a$ ；若不存在，请说明理由.

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22. 在直角坐标系中，曲线 $C_{1} ： x^{2} + y^{2} - 2 y = 0$ ， $C_{2} ： x^{2} + y^{2} - 2 \sqrt{3} x = 0$ ，以原点 $O$ 为极点，以 $x$ 正半轴为极轴建立极坐标系，直线 $l ： θ = α$ （ $ρ \neq 0$ ， $0 \leq α \leq π$ ）.

(1)、写出曲线 $C_{1}$ 和 $C_{2}$ 的极坐标方程；

(2)、若直线 $l$ 与曲线 $C_{1}$ 和 $C_{2}$ 分别相交于 $A ， B$ ，求 $| A B |$ 的最大值.

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23. 已知函数 $f (x) = | x - \frac{a^{2} + 1}{a} | + | x - 1 |$ （ $a > 0$ ）， $g (x) = 4 - | x - 1 |$

(1)、当 $a = 1$ 时，求不等式 $f (x) \geq 3$ 的解集；

(2)、若关于 $x$ 的不等式 $f (x) \leq g (x)$ 的解集包含 $[0 ， 1]$ ，求 $a$ 的取值范围.

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学习天数	3	4	5	6	7
总得分	80	100	135	155	180