江西省红色七校2019-2020学年高三上学期理数第一次联考试卷

试卷更新日期：2020-09-16 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | x^{2} - 2 x - 3 > 0}$ ，集合 $B = {x | y = \sqrt{x - 1}}$ ，则 $(C_{R} A) \cup B =$ （）

A、 ${x | - 1 ⩽ x ⩽ 3}$ B、 ${x | x \geq 3}$ C、 ${x | x \leq - 1}$ D、 ${x | x \geq - 1}$

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2. 设复数 $z = \frac{1 - i}{1 + i} ， f (x) = x^{2} - x + 1$ ，则 $f (z) = ($ $)$

A、i B、 $- i$ C、 $- 1 + i$ D、 $1 + i$

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3. 命题 $p$ ：曲线 $16 y^{2} = x$ 的焦点为 $(4, 0)$ ；命题 $q$ ：曲线 $x^{2} - 4 y^{2} = 1$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ ；则下列为真命题的是（）

A、 $p \land q$ B、 $\neg p \land q$ C、 $p \land (\neg q)$ D、 $(\neg p) \land (\neg q)$

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4. 在 $Δ A B C$ 中， $| \overset{⇀}{A B} + \overset{⇀}{A C} | = | \overset{⇀}{A B} - \overset{⇀}{A C} |$ ， $A B = 4$ ， $A C = 3$ ，则 $\overset{⇀}{B C}$ 在 $\overset{⇀}{C A}$ 方向上的投影是（）

A、4 B、3 C、-4 D、-3

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5. 若 $a$ ， $b$ ， $c$ ，满足 $2^{a} = 3$ ， $b = \log_{2} 5$ ， $3^{c} = 2$ ，则（）

A、 $c < a < b$ B、 $b < c < a$ C、 $a < b < c$ D、 $c < b < a$

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6. 下表是鞋子的长度与对应码数的关系

长度（ $c m$ ）

24

24.5

25

25.5

26

26.5

码数

38

39

40

41

42

43

如果人的身高 $y (c m)$ 与脚板长 $x (c m)$ 呈线性相关且回归直线方程为 $y = 7 x - 7.6$ .若某人的身高为173，据此模型，估计其穿的鞋子的码数为（）

A、40 B、41 C、42 D、43

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7. 函数 $f (x) = \frac{x^{3}}{e^{x} + e^{- x}}$ （其中 $e$ 为自然对数的底数）在 $[- 6 ， 6]$ 的图像大致为（）

A、 B、 C、 D、

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8. 在正项数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} = 2$ ，且点 $P (\ln a_{n}, \ln a_{n + 1}) (n \in N^{*})$ 位于直线 $x - y + \ln 2 = 0$ 上.若数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ 满足 $S_{n} > 200$ ，则 $n$ 的最小值为（）

A、2 B、5 C、6 D、7

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9. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某三棱锥的三视图如图所示，则该棱锥的外接球的表面积为（）

A、 $4 π$ B、 $6 π$ C、 $8 π$ D、 $12 π$

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10. 若函数 $f (x) = A sin (ω x + φ)$ (其中 $A > 0$ ， $| φ | < \frac{π}{2}$ )图象的一个对称中心为 $(\frac{π}{3} ， 0)$ ，其相邻一条对称轴方程为 $x = \frac{7 π}{12}$ ，该对称轴处所对应的函数值为 $- 1$ ，为了得到 $g (x) = cos 2 x$ 的图象，则只要将 $f (x)$ 的图象（）

A、向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度 B、向左平移 $\frac{π}{12}$ 个单位长度 C、向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度 D、向右平移 $\frac{π}{12}$ 个单位长度

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11. 我国南北朝数学家何承天发明的“调日法”是程序化寻求精确分数来表示数值的算法，其理论依据是：设实数 $x$ 的不足近似值和过剩近似值分别为 $\frac{b}{a}$ 和 $\frac{d}{c}$ （ $a, b, c, d \in N_{+}$ ），则 $\frac{b + d}{a + c}$ 是 $x$ 的更为精确的不足近似值或过剩近似值.我们知道 $e = 2.71828 \dots$ ，若令 $\frac{27}{10} < e < \frac{14}{5}$ ，则第一次用“调日法”后得 $\frac{41}{15}$ 是 $e$ 的更为精确的过剩近似值，即 $\frac{27}{10} < e < \frac{41}{15}$ ，若每次都取最简分数，那么第三次用“调日法”后可得 $e$ 的近似分数为（）

A、 $\frac{109}{40}$ B、 $\frac{68}{25}$ C、 $\frac{19}{7}$ D、 $\frac{87}{32}$

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12. 若函数 $f (x) = x - \sqrt{x} - a \ln x$ 在区间 $(1 ， + \infty)$ 上存在零点，则实数 $a$ 的取值范围为（）

A、 $(0 ， \frac{1}{2})$ B、 $(\frac{1}{2} ， e)$ C、 $(0 ， + \infty)$ D、 $(\frac{1}{2} ， + \infty)$

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二、填空题

13. 若 $x$ ， $y$ 满足 ${\begin{matrix} \begin{array}{l} y \geq 0 ， \\ x - y + 1 \geq 0 ， \end{array} \\ x + y - 1 \leq 0 ， \end{matrix}$ 则 $z = x - 2 y$ 的最大值为

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14. $(x - 2 y + 1) {(2 x + y)}^{6}$ 展开式中 $x^{4} y^{3}$ 的系数为．

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15. 如图所示的程序框图，满足 $| x | + | y | \leq 2$ 的输出有序实数对 $(x ， y)$ 的概率为．

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16. 双曲线 $C ： x^{2} - \frac{y^{2}}{3} = 1$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ ，点 $P$ 在 $C$ 上且 $\tan ∠ F_{1} P F_{2} = 4 \sqrt{3}$ ， $O$ 为坐标原点，则 $| O P | =$ ．

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三、解答题

17. 在 $Δ A B C$ 中， $A, B, C$ 对应的边为 $a, b, c$ ，已知 $a \cos C + \frac{1}{2} c = b$ .

(1)、求角 $A$ 的值；

(2)、若 $b = 4$ ， $c = 6$ ，求 $\cos B$ 的值.

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18. 如图1，梯形 $A B C D$ 中， $A B ∥ C D$ ，过 $A ， B$ 分别作 $A E ⊥ C D$ ， $B F ⊥ C D$ ，垂足分别为 $E$ 、 $F$ . $A B = A E = 2$ ， $C D = 5$ ，已知 $D E = 1$ ，将梯形 $A B C D$ 沿 $A E$ ， $B F$ 同侧折起，得空间几何体 $A D E - B C F$ ，如图2.

(1)、若 $A F ⊥ B D$ ，证明： $D E ⊥$ 平面 $A B F E$ ；

(2)、在（1）的条件下，若 $D E ∥ C F$ ，求二面角 $D - A F - C$ 的余弦值.

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19. 已知数列 ${a_{n}}$ 有 $a_{n} \neq 0$ ， $S_{n}$ 是它的前 $n$ 项和， $a_{1} = 3$ 且 $S_{n}^{2} = 3 n^{2} a_{n} + S_{n - 1}^{2}, n \geq 2$ ．

(1)、求证：数列 ${a_{n} + a_{n + 1}}$ 为等差数列.

(2)、求 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ .

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20. 随着小汽车的普及，“驾驶证”已经成为现代人“必考”的证件之一.若某人报名参加了驾驶证考试，要顺利地拿到驾驶证，他需要通过四个科目的考试，其中科目二为场地考试.在一次报名中，每个学员有5次参加科目二考试的机会（这5次考试机会中任何一次通过考试，就算顺利通过，即进入下一科目考试；若5次都没有通过，则需重新报名），其中前2次参加科目二考试免费，若前2次都没有通过，则以后每次参加科目二考试都需要交200元的补考费.某驾校对以往2000个学员第1次参加科目二考试进行了统计，得到下表：

考试情况	男学员	女学员
第1次考科目二人数	1200	800
第1次通过科目二人数	960	600
第1次未通过科目二人数	240	200

若以上表得到的男、女学员第1次通过科目二考试的频率分别作为此驾校男、女学员每次通过科目二考试的概率，且每人每次是否通过科目二考试相互独立.现有一对夫妻同时在此驾校报名参加了驾驶证考试，在本次报名中，若这对夫妻参加科目二考试的原则为：通过科目二考试或者用完所有机会为止.

(1)、求这对夫妻在本次报名中参加科目二考试都不需要交补考费的概率；

(2)、若这对夫妻前2次参加科目二考试均没有通过，记这对夫妻在本次报名中参加科目二考试产生的补考费用之和为

X

元，求

X

的分布列与数学期望.

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21. 已知椭圆中心在原点，焦点在x轴上，离心率 $e = \frac{\sqrt{2}}{2}$ ，过椭圆的右焦点且垂直于长轴的弦长为 $\sqrt{2}$
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；

（Ⅱ）已知直线 $l$ 与椭圆相交于 $A 、 B$ 两点，且坐标原点 $O$ 到直线 $l$ 的距离为 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ ， $∠ A O B$ 的大小是否为定值？若是求出该定值，不是说明理由.

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22. 已知函数 $f (x) = \frac{1}{2} x^{2} - 4 x + 3 \ln x$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、若 $f (x_{1}) = f (x_{2}) = f (x_{3})$ ， $(x_{1} < x_{2} < x_{3})$ ，试证： $x_{3} - x_{1} < 4$ .

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长度（ $c m$ ）	24	24.5	25	25.5	26	26.5
码数	38	39	40	41	42	43