陕西省延安市洛川县2019-2020学年八年级上学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2020-09-16 类型：期中考试

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一、选择题

1. 国旗是一个国家的象征，观察下面的国旗，是轴对称图形的是（）

A、加拿大、哥斯达黎加、乌拉圭 B、加拿大、瑞典、澳大利亚 C、加拿大、瑞典、瑞士 D、乌拉圭、瑞典、瑞士

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2. 下列运算正确的是（）

A、 ${(a^{4})}^{3} = a^{7}$ B、 $a^{6} \div a^{3} = a^{2}$ C、 ${(2ab)}^{3} = {6a}^{3} b^{3}$ D、 $- a^{5} \cdot a^{5} = - a^{10}$

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3. 点 $(- 3 ， 4)$ 与点 $(a - 1 ， b + 2)$ 关于y轴对称，则 $a^{2} - 2 a b + b^{2}$ 的值为（）

A、4 B、6 C、8 D、12

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4. 如图，在已知的△ABC中，按以下步骤作图：①分别以B，C为圆心，以大于 $\frac{1}{2}$ BC的长为半径作弧，两弧相交于两点M，N；②作直线MN交AB于点D，连接CD.若CD=CA，∠A=50°，则∠B的度数为（）

A、20° B、25° C、30° D、35°

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5. 下列各式因式分解正确的是（）

A、 $a^{3} b - a b = a b (a^{2} - 1)$ B、 $- x^{2} + 4 x y - 4 y^{2} = {(- x + 2 y)}^{2}$ C、 $4 x^{2} - y^{2} = (4 x + y) (4 x - y)$ D、 $x^{2} - 2 x - 3 = (x + 1) (x - 3)$

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6. 在单项式 $x^{2}$ ， $4 x y$ ， $y^{2}$ ， $2 x y$ ， $4 x^{2}$ ， $4 y^{2}$ ， $- 4 x y$ ， $- 2 x y$ 中任选三个作和，能组成完全平方式的个数是（）

A、4 B、5 C、6 D、7

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7. 若 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 为一个三角形的三条边，则 ${(a - c)}^{2} - b^{2}$ 的值（）

A、一定为正数 B、一定为负数 C、可能为0 D、可能为正数，也可能为负数

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8. 已知多项式x-a与x²+2x-1的乘积中不含x²项，则常数a的值是（）

A、-1 B、1 C、2 D、-2

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9. 如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，AB的垂直平分线DE交AC于D，交AB于E，下述结论：①BD平分∠ABC；②AD=BD=BC；③△BDC的周长等于AB+BC；④D是AC中点.其中正确的命题序号是（）

A、①②③ B、①②④ C、②③④ D、①③④

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10. 如图1，从边长为 $a$ 的正方形剪掉一个边长为 $b$ 的正方形；如图2，然后将剩余部分拼成一个长方形．上述操作能验证的等式是（）

A、 $a^{2} - 2 a b + b^{2} = （ a - b ）^{2}$ ． B、 $a^{2} - b^{2} = （ a + b ） (a - b)$ . C、 $a^{2} + a b = a （ a + b ）$ . D、 $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ .

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11. 如图，△ABC是等边三角形，AD是BC边上的高，E是AC的中点，P是AD上的一个动点，当PC与PE的和最小时，∠CPE的度数是（）

A、30° B、45° C、60° D、90°

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12. 如图，平面直角坐标系中存在点A（3，2），点B（1，0），以线段AB为边作等腰三角形ABP，使得点P在坐标轴上.则这样的P点有（）

A、4个 B、5个 C、6个 D、7个

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二、填空题

13. 请写出一个多项式，并用平方差公式将其分解因式：.

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14. 若多项式 $9 x^{2} + k x + 1$ 是一个含 $x$ 的完全平方式，则 $k$ =.

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15. 等腰ΔABC的腰AB边上的中线CD，把ΔABC的周长分成12和15两部分，则底边BC长为.

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16. 如图，在ΔABC中，∠C=90°，DE是AB的垂直平分线，分别交AB，BC于点D，E，若∠B=30°，DE=3，则BC=.

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17. 边长为 $a$ 和 $b$ 的长方形，周长为14，面积为10，则 $a^{2} + b^{2} =$ .

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18. 坐标平面内，点A(－2，3)关于x轴的对称点是B，O为坐标原点，则△AOB的面积是.

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19. 如图，A，B，C三点在同一直线上，分别以AB，BC（AB>BC）为边，在直线AC的同侧作等边ΔABD和等边ΔBCE，连接AE交BD于点M，连接CD交BE于点N，连接MN. 以下结论：①AE=DC，②MN//AB，③BD⊥AE，④∠DPM=60°，⑤ΔBMN是等边三角形.其中正确的是（把所有正确的序号都填上）.

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20. 请看杨辉三角(1)，并观察下列等式(2)

根据前面各式的规律，则(a+b)⁶= 。

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三、解答题

21. 化简下列各式

(1)、 $x^{4} \cdot x^{3} \cdot x - {(x^{4})}^{2} + {(- 2 x)}^{3} \cdot x^{5}$

(2)、 $[6 x^{2} (x y + y^{2}) - 3 x (x^{2} y - x y^{2})] \div 3 x^{2} y$

(3)、 $(x + 2 y - 1) (x - 2 y - 1)$

(4)、 ${(2 x + 3 y)}^{2} - (2 x + y) (2 x - y)$

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22. 在计算 $(x + a) (x + b)$ 时，甲把错 $b$ 看成了6，得到结果是： $x^{2} + 8 x + 12$ ；乙错把 $a$ 看成了 $- a$ ，得到结果： $x^{2} + x - 6$ .

(1)、求出 $a, b$ 的值；

(2)、在（1）的条件下，计算 $(x + a) (x + b)$ 的结果.

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23. 如图，是3×3的正方形网格，将其中两个方格涂黑，使得涂黑后的整个图案是轴对称图形.请在以下备用网格中画出四个不同的图案（如果绕正方形的中心旋转，能重合的图案视为同一种，例如，下列四个图形就属于同一种）.

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24. 如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，BE与CD交与点O，给出下列四个条件：①∠DBO=∠ECO，②∠BDO=∠CEO，③BD=CE，④OB=OC.

(1)、从上述四个条件中，任选两个为条件，可以判定△ABC是等腰三角形？写出所有可能的情况.

(2)、选择（1）中的某一种情形，进行说明.

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25. 数形结合是数学学习的一种重要思想方法，我们学习平方差公式、完全平方公式等公式时，课本上用图形面积法验证了公式的正确性。观察下列4个全等的Rt△。

(1)、用4个全等的Rt△拼成如图1所示的大正方形，大正方形的面积可以表示为 ${(a + b)}^{2}$ ，还可以表示为，所以 ${(a + b)}^{2} =$ ，将 ${(a + b)}^{2}$ 展开整理后，可进一步的得到等式：.

(2)、用4个全等的Rt△还可以拼成如图2所示的大正方形，请利用图2证明（1）中等式成立.

(3)、若已知Rt△中， $a = 8 ， b = 6$ ，利用你得到的等式求 $c$ 的值.

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26. 先阅读下列材料，再解答下列问题：
题：分解因式： ${(a + b)}^{2} - 2 (a + b) + 1$

解：将“a+b”看成整体，设 $M = a + b$ ，则原式＝ $M^{2} - 2 M + 1$ $= {(M - 1)}^{2}$

再将“ $M$ ”还原，得原式＝ ${(a + b - 1)}^{2}$ .

上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法，请你仿照上面的方法解答下列问题：

(1)、因式分解： ${(2 a + b)}^{2} - 9 a^{2} =$ ； ${(3 a + 2 b)}^{2} - {(2 a + 3 b)}^{2} =$ .

(2)、因式分解： ${(x - y)}^{2} + 2 （ x - y) + 1 =$ ； $(a + b) (a + b - 4) + 4 =$ .

(3)、求证：若 $n$ 为正整数，则式子 $(n + 1) (n + 2) (n^{2} + 3 n) + 1$ 的值一定是某一个正整数的平方.

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27. 如图①，△ABC中，AB=AC ， ∠B、∠C的平分线交于O点，过O点作EF∥BC交AB、AC于E、F.

(1)、图①中有几个等腰三角形?猜想：EF与BE、CF之间有怎样的关系.

(2)、如图②，若AB≠AC ，其他条件不变，图中还有等腰三角形吗?如果有，分别指出它们.在第(1)问中EF与BE、CF间的关系还存在吗?

(3)、如图③，若△ABC中∠B的平分线BO与三角形外角平分线CO交于O ，过O点作OE∥BC交AB于E ，交AC于F.这时图中还有等腰三角形吗?EF与BE、CF关系又如何?说明你的理由.

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