湖南省郴州市2019-2020学年高三上学期理数第一次教学质量监测（12月)试卷

试卷更新日期：2020-09-15 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 设集合 $A = {x | \frac{1}{2} \leq 2^{x} < \sqrt{2}}$ ， $B = {x | \ln x \leq 0}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $(0, \frac{1}{2})$ B、 $[- 1, 0)$ C、 $[\frac{1}{2}, 1)$ D、 $[- 1, 1]$

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2. 若复数 $z = \frac{a}{1 - i} - 1$ 为纯虚数，则实数 $a =$ （）．

A、-2 B、-1 C、1 D、2

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3. 下列结论中正确的个数是（）．
①在 $△ A B C$ 中，若 $\sin 2 A = \sin 2 B$ ，则 $△ A B C$ 是等腰三角形；②在 $△ A B C$ 中，若 $\sin A > \sin B$ ，则 $A > B$ ③两个向量 $\overset{⇀}{a}$ ， $\overset{⇀}{b}$ 共线的充要条件是存在实数 $λ$ ，使 $\overset{⇀}{b} = λ \overset{⇀}{a}$ ④等差数列的前 $n$ 项和公式是常数项为0的二次函数．

A、0 B、1 C、2 D、3

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4. 已知向量 $\overset{⇀}{a} = (2, 3)$ ， $\vec{b} = (3, m)$ ，且 $\overset{⇀}{a} ⊥ \vec{b}$ ，则向量 $\overset{⇀}{a}$ 在 $\overset{⇀}{a} + \vec{b}$ 方向上的投影为（）

A、 $- \frac{\sqrt{26}}{2}$ B、 $\sqrt{13}$ C、 $\frac{\sqrt{26}}{2}$ D、 $- \sqrt{13}$

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5. 郴州市某校高一（10）班到井冈山研学旅行，决定对甲、乙、丙、丁这四个景馆进行研学体验，但由于是高峰期，景馆为高一（10）班调整了路线，规定不能最先去甲景馆研学，不能最后去乙景馆和丁景馆研学，如果你是该班同学，你能为这次愉快的研学旅行设计多少条路线（）

A、24 B、18 C、16 D、10

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6. 函数y=x+cosx的大致图象是（）

A、 B、 C、 D、

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7. 我国古代的天文学和数学著作《周髀算经》中记载：一年有二十四个节气，每个节气晷（gui）长损益相同（晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长）．二十四个节气及晷长变化如图所示，相邻两个晷长的变化量相同，周而复始．若冬至晷长一丈四尺五寸，夏至晷长二尺五寸（一丈等于十尺，一尺等于十寸），则夏至之后的第三个节气（立秋）晷长是（）

A、五寸 B、二尺五寸 C、五尺五寸 D、四尺五寸

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8. 已知x，y满足约束条件 ${\begin{array}{l} 3 x + y \geq 4 \\ y \leq 4 \\ x - y \leq 2 \end{array}$ ，若 $Z = a x + y$ （ $a > 0$ ）的最大值是16，则a的值为（）

A、2 B、 $\frac{1}{2}$ C、4 D、 $\frac{1}{4}$

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9. 已知双曲线 $x^{2} - \frac{y^{2}}{3} = 1$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，圆 $x^{2} + y^{2} = 1$ 上的点到直线 $x + \sqrt{3} y - 6 = 0$ 的距离最小值为m，若双曲线上一点P，使 $\frac{\sin ∠ P F_{2} F_{1}}{\sin ∠ P F_{1} F_{2}} = m$ ，则 $\overset{⇀}{F_{2} P} \cdot \overset{⇀}{F_{2} F_{1}}$ 的值为（）

A、3 B、2 C、-3 D、-2

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10. 丹麦数学家琴生（Jensen）是19世纪对数学分析做出卓越贡献的巨人，特别是在函数的凹凸性与不等式方面留下了很多宝贵的成果．设函数 $f (x)$ 在 $(a ， b)$ 上的导函数为 $f^{'} (x)$ ， $f^{'} (x)$ 在 $(a ， b)$ 上的导函数为 $f^{″} (x)$ ，若在 $(a ， b)$ 上 $f^{″} (x) < 0$ 恒成立，则称函数 $f (x)$ 在 $(a ， b)$ 上为“凸函数”．已知 $f (x) = e^{x} - x \ln x - \frac{m}{2} x^{2}$ 在 $(1 ， 4)$ 上为“凸函数”，则实数m的取值范围是（）

A、 $(- \infty ， 2 e - 1]$ B、 $[e - 1 ， + \infty)$ C、 $[e^{4} - \frac{1}{4} ， + \infty)$ D、 $(e ， + \infty)$

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11. 已知函数 $f (x) = x + \sin x$ ，若正实数a，b满足 $f (\frac{1}{a}) + f (\frac{2}{b} - 1) = 0$ ，则 $\frac{3 a}{a - 1} + \frac{4 b}{b - 2}$ 的最小值为（）

A、7 B、 $7 + 4 \sqrt{3}$ C、 $5 + 4 \sqrt{3}$ D、 $7 + 2 \sqrt{3}$

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12. 在边长为 $2 \sqrt{3}$ 的菱形ABCD中， $∠ B A D = 60^{\circ}$ ，沿对角边 $B D$ 折成二面角 $A - B D - C$ 为 $120 °$ 的四面体 $A B C D$ ，则四面体 $A B C D$ 外接球表面积为（）

A、 $34 π$ B、 $32 π$ C、 $17 π$ D、 $28 π$

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二、填空题

13. ${(\frac{1}{x} - \sqrt{x})}^{6}$ 展开式中的常数项为．

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14. 设等差数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = 3$ ， $S_{4} = 24$ ， $b_{n} = \frac{1}{a_{n} a_{n + 1}}$ ，则数列 ${b_{n}}$ 的前n项和为．

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15. 如图，B是AC上一点，以AB，BC，AC为直径作半圆．过B作 $B D ⊥ A C$ ，与半圆相交于D， $A C = 8$ ， $B D = \sqrt{15}$ ，在整个图形中随机取一点，则此点取自图中阴影部分的概率是．

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16. 已知直线l： $k x - y - 2 k + 1 = 0$ 与椭圆 $C_{1}$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > b > 0$ ）交于A、B两点，与圆 $C_{2}$ ： ${(x - 2)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = 1$ 交于C、D两点．若存在 $k \in [- \frac{3}{2}, - 1]$ ，使得 $\overset{⇀}{A C} = \overset{⇀}{D B}$ ，则椭圆 $C_{1}$ 的离心率的取值范围是．

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三、解答题

17. 在 $△ A B C$ 中，角 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 所对的边分别为 $a$ 、 $b$ 、 $c$ ，且向量 $\vec{n} = (2 a - c, \cos C)$ 与向量 $\vec{m} = (b, \cos B)$ 共线．

(1)、求角 $B$ 的大小；

(2)、若 $\vec{B D} = 2 \vec{D C}$ ，且 $C D = 1$ ， $A D = \sqrt{7}$ ，求三角形 $A B C$ 的面积．

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18. 如图，在五棱锥 $P - A B C D E$ 中， $P A ⊥$ 平面ABCDE， $A B ∥ C D$ ， $A C ∥ E D$ ， $A E ∥ B C$ ， $∠ A B C = 45^{\circ}$ ， $A B = 2 \sqrt{2}$ ， $B C = 2 A E = 4$ ， $Δ P A B$ 是等腰三角形．

(1)、求证： $C D ⊥$ 平面PAC；

(2)、求由平面PAC与平面PED构成的锐二面角的余弦值．

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19. 郴州某超市计划按月订购一种饮料，每天进货量相同，进货成本每瓶6元，售价每瓶8元，未售出的饮料降价处理，以每瓶3元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间

[20, 25)

，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：

最高气温	$[10$ ， $15)$	[15,20)	$[20$ ， $25)$	[25,20)	$[30$ ，35)	[35， $40)$
天数	2	16	36	25	7	4

以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率．

(1)、求六月份这种饮料一天的需求量X（单位：瓶）的分布列；

(2)、设六月份一天销售这种饮料的利润为Y（单位：元），当六月份这种饮料一天的进货量n（单位：瓶）为多少时，Y的数学期望达到最大值？

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20. 已知点 $M (1, \frac{\sqrt{2}}{2})$ 在椭圆上E： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > b > 0$ ），点 $N (\sqrt{2} a, 2 b)$ 为平面上一点，O为坐标原点．

(1)、当 $| O N |$ 取最小值时，求椭圆E的方程；

(2)、对（1）中的椭圆E，P为其上一点，若过点 $Q (2, 0)$ 的直线l与椭圆E相交于不同的两点S和T，且满足 $\overset{⇀}{O S} + \overset{⇀}{O T} = t \overset{⇀}{O P}$ （ $t \neq 0$ ），求实数t的取值范围．

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21. 设函数 $f (x) = x \ln x - a e^{x}$ ， $ϕ (x) = \frac{1}{2} m x^{2} + x$ ，其中 $a \in R$ ，e是自然对数的底数．

(1)、若 $f (x)$ 在 $(0 ， + \infty)$ 上存在两个极值点，求a的取值范围；

(2)、当 $f^{'} (\frac{1}{e}) = 0$ ，设 $F (x) = f (x) - ϕ (x)$ ， $m \in R$ ，若 $F (x)$ 在 $(0 ， + \infty)$ 上存在两个极值点 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，且 $x_{1} < x_{2}$ ，求证： $x_{1} x_{2} > e^{2}$ ．

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22. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，曲线 $C$ 的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = 1 + \cos θ \\ y = \sin θ \end{array}$ （ $θ$ 为参数，且 $θ \in [0, π]$ ），以原点 $O$ 为极点， $x$ 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 $l$ 的极坐标方程为 $ρ \sin (θ + \frac{π}{6}) = 2$ ．

(1)、求曲线 $C$ 的普通方程与直线的直角坐标方程；

(2)、设点 $M$ 在曲线 $C$ 上，求点 $M$ 到直线 $l$ 距离的最小值与最大值．

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23. 设 $f (x) = | 2 x - 1 | + 2$ ， $g (x) = | x - 2 a | - | x + 1 |$ ．

(1)、求不等式 $f (x) > | x + 4 |$ 的解集；

(2)、若对任意的 $x_{1}, x_{2} \in R$ ，使得 $f (x_{1}) > g (x_{2})$ ，求实数 $a$ 的取值范围．

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