重庆市渝中区2020年数学中考二模试卷

试卷更新日期：2020-09-14 类型：中考模拟

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一、单选题。

1. 下列各数中，无理数为（）

A、 $- 1$ B、 $0$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\sqrt{2}$

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2. 若分式 $\frac{1}{x + 2}$ 有意义，则x的取值范围是（）

A、 $x \neq 0$ B、 $x \neq - 2$ C、 $x > - 2$ D、 $x < - 2$

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3. 下列图形中不是位似图形的为（）

A、 B、 C、 D、

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4. 如图，数轴上的A、B、C、D四点中，与数﹣ $\sqrt{3}$ 表示的点最接近的是（）

A、点A B、点B C、点C D、点D

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5. 一次函数y=﹣x+2的图象不经过的象限是（　　）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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6. 一个几何体的表面展开图如图所示，则该几何体的形状是（）

A、三棱锥 B、三棱柱 C、四棱锥 D、四棱柱

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7. 已知某用电器的输出功率为P、电阻为R，通过的电流为I，当P为定值时，下面说法正确的是（）

A、 $I$ 是 $R$ 的正比例函数 B、 $I^{2}$ 是 $R$ 的正比例函数 C、 $I$ 是 $R$ 的反比例函数 D、 $I^{2}$ 是 $R$ 的反比例函数

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8. 下列命题中，假命题是（）

A、如果直角三角形中有一个角为 $30^{\circ}$ ，那么它所对的直角边等于斜边的一半 B、如果三角形中有两个角的和等于第三个角，那么这个三角形是直角三角形 C、如果三角形中有两条边的和等于第三条边的平方，那么这个三角形是直角三角形 D、如果三角形中一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形

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9. 我国古代数学著作《增删算法统宗》记载“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托，折回索子却量竿，却比竿子短一托”，其大意为：现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长 $5$ 尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短 $5$ 尺．若设竿长 $x$ 尺，绳索长 $y$ 尺，则符合题意的方程组为（）

A、 ${\begin{matrix} y = x + 5 \\ x = \frac{1}{2} y + 5 \end{matrix}$ B、 ${\begin{matrix} y = x + 5 \\ x = \frac{1}{2} y - 5 \end{matrix}$ C、 ${\begin{matrix} y = x - 5 \\ x = \frac{1}{2} y - 5 \end{matrix}$ D、 ${\begin{matrix} y = x - 5 \\ x = \frac{1}{2} y + 5 \end{matrix}$

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10. 如图，将 $Δ A B C$ 沿 $D E 、 E F$ 翻折，使其顶点 $A 、 B$ 均落在点O处，若 $∠ C D O + ∠ C F O = 72^{\circ}$ ，则 $∠ C$ 的度数为（）

A、 $36^{\circ}$ B、 $54^{\circ}$ C、 $64^{\circ}$ D、 $72^{\circ}$

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11. 已知关于 $x$ 的分式方程 $\frac{a x - 2}{x - 1} + \frac{3}{1 - x} = 1$ 有整数解，且关于 $x$ 的不等式组 ${\begin{matrix} 3 x > 2 (x - 2) \\ 3 x - \frac{x + 1}{2} \leq \frac{1}{2} a \end{matrix}$ 有且只有 $4$ 个整数解，则符合条件的整数 $a$ 的个数有（）

A、 $2$ 个 B、 $3$ 个 C、 $4$ 个 D、 $5$ 个

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12. 如图，已知二次函数 $= a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 的图象与 $x$ 轴交于点 $A (- 1 ， 0)$ ，与 $y$ 轴交于点 $B$ ，且点 $B$ 在两点 $(0 ， 1)$ 和 $(0 ， 2)$ 之间(不包括这两点)，对称轴为直线 $x = 1$ ．现有四个结论：① $a b c > 0$ ；② $4 a c - 8 a > b^{2}$ ；③ $- \frac{2}{3} < a < - \frac{1}{3}$ ； ④ $b > c$ ，其中正确的结论有（）

A、 $1$ 个 B、 $2$ 个 C、 $3$ 个 D、 $4$ 个

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二、填空题。

13. 为阻击新冠肺炎疫情，我国在 $10$ 天内建成了一所建筑面积为 $34000$ 平方米的“火神山”医院，被世界称赞为“中国速度”．其中 $34000$ 这个数用科学记数法表示为．

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14. 计算： ${(1 - \sqrt{3})}^{0} - | - 2 | =$ ．

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15. “五一”节期间，刘杰老师准备自驾从甲地经过乙地到丙地旅游．其中甲地到乙地有两条路线，乙地到丙地有三条路线．如甲果刘杰老师从中任选一条从甲地到丙地的路线，则这条路线恰好是最短路线的概率为．

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16. 如图，正方形 $A B C D$ 的边长为1，分别以A、D为圆心，1为半径画弧BD、AC ，两弧相交于点F ，则图中阴影部分的面积为．

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17. 某公司销售 $A, B, C$ 三种电子产品，在去年的销售中，产品 $C$ 的销售额占总的销售额的 $60 %$ ，由于受新冠肺炎疫情的影响，估计今年 $A, B$ 两种产品的销售额都将比去年减少 $45 %$ ，公司将产品 $C$ 定为今年销售的重点，要使今年的总销售额与去年持平，那么今年产品 $C$ 的销售额应比去年增加．

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18. 武汉疫情爆发期间，大学生小玲和小丽应聘成为了阳光小区的疫情防控志愿者．一天早晨，小玲从阳光小区出发骑三轮车匀速到距离 $7500$ 米处的区疾病防控中心领取防疫物资，出发一段时间后，小丽发现小玲忘记带了社区介绍信，立即骑自行车沿小玲行驶的路线匀速行驶去追赶，当小丽追上小玲后，立即将介绍信交给了她，并用 $2$ 分钟时间与小玲核对了下防疫物资的清单，然后小玲继续以原速度前往区疾病防控中心，而小丽则按原路以原来一半的速度匀速返回阳光小区．设小丽与小玲之间的距离 $y$ (米)与小玲从阳光小区出发后的时间 $x$ (分)之间的关系如图所示．当小丽刚好返回到阳光小区时小玲离区疾病防控中心的距离还有米．

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三、计算题。

19. 计算：

(1)、解方程： $5 x - (7 - 2 x) = 0$ ；

(2)、化简： ${(a - 1)}^{2} - a (a - 2)$

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四、解答题。

20. 如图，已知 $A B$ 是⊙O的直径，弦 $C D ⊥ A B$ 于点 $E$ ， $∠ C = 30^{\circ}$ ， $O C = 2$

(1)、求 $∠ A D C$ 的度数

(2)、求弦CD的长

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21. 为宣传防护知识，增强免疫能力，某校开展了“防疫知识测试”活动，并随机抽取了

30

名学生的测试成绩如下(单位：分)：

76 ， 83 ， 86 ， 85 ， 90 ， 94 ， 100 ， 92 ， 89 ， 90 ， 74 ， 78 ， 81 ， 84 ， 86

，

88 ， 92 ， 89 ， 90 ， 83 ， 79 ， 81 ， 85 ， 86 ， 89 ， 97 ， 93 ， 89 ， 95 ， 93

，整理上边的数据得到如下频数分布直方表和频数分布直方图：

成绩（分）	频数
$75.5 \leq x < 80.5$	4
$80.5 \leq x < 85.5$	$a$
$85.5 \leq x < 90.5$	$11$
$90.5 \leq x < 95.5$	$b$
$95.5 \leq x < 100.5$	$2$

根据图表回答下列问题

(1)、抽取的

30

个数据中，中位数是；频数分布表中

a =

；

b =

(2)、补全频数分布直方图；

(3)、若测试成绩不低于

86

分为优秀，则估计该校

3000

名学生中，达到优秀等级的人数有多少？

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22. 学习函数知识后，我们可以借助函数的图象求某些较为复杂不等式的解集．比如，求不等式 $x - 1 > \frac{2}{x}$ 的解集，可以先构造两个函数 $y_{1} = x - 1$ 和 $y_{2} = \frac{2}{x}$ ，再在同一坐标系中画出这两个函数的图象(如图 $1$ 所示)，通过观察所画函数的图象可知：它们交 $A (- 1 ， - 2)$ 、 $B (2 ， 1)$ 两点，当 $- 1 < x < 0$ 或 $x > 2$ 时， $y_{1} > y_{2}$ ，由此得到不等式 $x - 1 > \frac{2}{x}$ 的解集为 $- 1 < x < 0$ 或 $x > 2$ ，根据上述说明，解答下列问题

(1)、要求不等式 $x^{2} - 2 x - 1 > - \frac{2}{x}$ 的解集，可先构造出哪两个函数？

(2)、请在给定的平面直角坐标系(图 $2$ )中，作出你所构造的两个函数的图象；

(3)、观察所作函数的图象，求出不等式 $x^{2} - 2 x - 1 > - \frac{2}{x}$ 的解集

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23. 某企业拟投资共购买 $10$ 条 $N 95$ 口罩生产线和平面口罩生产线已知购买一条平面口罩生产线需要资金为 $100$ 万元，购买一条 $N 95$ 口罩生产线所需资金是一条平面口罩生产线所需资金的 $2$ 倍；一条平面口罩生产线每小时比一条 $N 95$ 口罩生产线多生产 $4200$ 只口罩，且一条平面口罩生产线生产 $36000$ 只口罩与一条 $N 95$ 口罩生产线生产15000只口罩所用时间相同．

(1)、如果计划用于购买 $N 95$ 口罩生产线的资金不超过用于购买平面口罩生产线的资金，那么该企业最多可购买几条 $N 95$ 口罩生产线？

(2)、该企业按照（1）中的最大值购买 $N 95$ 口罩生产线，所有 $10$ 条生产线全部正常投产后按照每天工作 $8$ 小时计算，问该企业每天可以生产 $N 95$ 口罩和平面口罩的总和为多少只？

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24. 阅读理解：把几个数用大括号括起来，中间用逗号断开，比如： ${3 ， 2}$ ， ${- 2 ， 0 ， - 1}$ ，我们称之为集合，其中大括号内的数称为该集合的元素．如果一个集合满足：只要其中有一个元素 $a$ ，使得 $- 2 a + 3$ 也是这个集合的元素，我们把这样的集合称为自闭集合．例如：集合 ${- 2 ， 9 ， 7}$ ，因为 $- 2 \times (- 2) + 3 = 7$ ， $7$ 恰好是这个集合的元素，所以 ${- 2 ， 9 ， 7}$ 是自闭集合．再如：集合 ${- 1 ， 3}$ ，因为 $- 2 \times (- 1) + 3 = 5$ ，而 $5$ 不是这个集合的元素，且 $- 2 \times 3 + 3 = - 3$ ，而 $- 3$ 也不是这个集合的元素，所以 ${- 1 ， 3}$ 不是自闭集合

(1)、判断：集合 ${2 ， 4 ， - \frac{1}{2}}$ 自闭集合；（选填“是”或“不是”）

(2)、若集合 ${3 ， x}$ 和集合 ${- y}$ 都是自闭集合，求 $x + y$ 的值

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25. 如图，抛物线 $y = x^{2} + b x + c$ 与 $x$ 轴交于 $A (1 ， 0) ， B (m ， 0)$ 两点，与 $y$ 轴交于点 $C (0 ， 3)$ ，过点 $C$ 作 $C D$ ∥x轴交抛物线于点D，连接BC

(1)、求这个抛物线的解析式

(2)、设 $P$ 为抛物线上的一点，且在直线 $B C$ 的下方，连接 $P B 、 P C$ ，当 $Δ P B C$ 的面积最大时，线段 $A B$ 在 $x$ 轴上左右移动得到线段 $A^{'} B^{'}$ ，求 $P A^{'} + A^{'} B^{'} + B^{'} D$ 的最小值．

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26. 如图，在 $Δ A B C$ 中， $∠ A C B = 90^{\circ}$ ， $A B = B C$ ， $C D ⊥ A B$ 于点 $D$ ， $E$ 为线段 $C D$ 上一点(不含端点)，连接 $A E$ ，设 $F$ 为 $A E$ 的中点，作 $C G ⊥ C F$ 交 $A B$ 的延长线于点 $G$ .

(1)、猜想：线段 $A G 、 B C 、 E C$ 之间有何等量关系？并加以证明

(2)、如果将题设中的条件“ $E$ 为线段 $C D$ 上一点（不含端点）”改变为“ $E$ 为直线 $C D$ 上任意一点”，试探究发现线段 $A G 、 B C 、 E C$ 之间有怎样的等量关系，请直接写出你的结论，不用证明．

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