湖南省百所重点高中2020届高三理数12月大联考试卷

试卷更新日期：2020-09-14 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 若向量 $\overset{⇀}{a} = (3, 2)$ ， $\overset{⇀}{b} = (- 1, m)$ ，且 $\overset{⇀}{a} ⁄ ⁄ \overset{⇀}{b}$ ，则 $m =$ （）

A、 $\frac{2}{3}$ B、 $- \frac{2}{3}$ C、 $\frac{3}{2}$ D、 $- \frac{3}{2}$

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2. 设集合 $A = {x | (\sqrt{x} + 1) (\sqrt{x} - 2) < 0}$ ， $B = {x | - 1 < x < 2}$ ，则（）

A、 $A \cap B = {x | - 1 < x < 2}$ B、 $A \cup B = {x | 0 \leq x < 4}$ C、 $A \cap B = {x | 0 \leq x < 2}$ D、 $A \cup B = {x | - 1 < x < 2}$

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3. 设函数 $f (x) = {\begin{array}{l} \ln (- x), x < 0, \\ g (x) + 1, x > 0, \end{array}$ 若 $f (x)$ 是奇函数，则 $g (e^{2}) =$ （）

A、-3 B、-2 C、-1 D、1

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4. 已知 $α$ ， $β$ ， $γ$ 是三个不同的平面， $m$ ， $n$ 是两条不同的直线，下列判断正确的是 $($ $)$

A、若 $α ⊥ γ$ ， $β ⊥ γ$ ，则 $α / / β$ B、若 $m ⊥ γ$ ， $n ⊥ γ$ ，则 $m / / n$ C、若 $α ⊥ β$ ， $m \subset α$ ， $n \subset β$ ，则 $m ⊥ n$ D、若 $α / / β$ ， $m \subset α$ ， $n \subset β$ ，则 $m / / n$

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5. 函数 $f (x) = 3^{x} + 4 x - 8$ 的零点所在的区间为（）

A、 $(0, 1)$ B、 $(1, \frac{3}{2})$ C、 $(\frac{3}{2}, 2)$ D、 $(2, \frac{5}{2})$

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6. 已知等比数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，且 $S_{5} = 4$ ， $S_{10} = 10$ ，则 $S_{15} =$ （）

A、16 B、19 C、20 D、25

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7. 已知函数 $f (x) = - a \sin 3 x + a + b (a > 0 ， x \in R)$ 的值域为 $[- 5 ， 3]$ ，函数 $g (x) = b - \cos a x$ ，则 $g (x)$ 的图象的对称中心为（）

A、 $(\frac{k π}{4} ， - 5) (k \in Z)$ B、 $(\frac{k π}{4} + \frac{π}{8} ， - 5) (k \in Z)$ C、 $(\frac{k π}{5} ， - 4) (k \in Z)$ D、 $(\frac{k π}{5} + \frac{π}{10} ， - 4) (k \in Z)$

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8. 设 $\tan 211 ° = a$ ，则 $\frac{\sin 17 ° + \cos 17 °}{\sin 17 ° - \cos 17 °} =$ （）

A、 $\frac{2 a}{a^{2} - 1}$ B、 $\frac{2 a}{1 - a^{2}}$ C、 $\frac{a}{a^{2} - 1}$ D、 $\frac{4 a}{a^{2} - 1}$

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9. 已知函数 $f (x) = e^{2 x + 1} - e^{- 2 x} - m x$ 在 $R$ 上为增函数，则 $m$ 的取值范围为（）

A、 $(- \infty ， 2 \sqrt{e}]$ B、 $[2 \sqrt{e} ， + \infty)$ C、 $(- \infty ， 4 \sqrt{e}]$ D、 $[4 \sqrt{e} ， + \infty)$

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10. 在直角坐标系xOy中，直线l： $y = k x + 4$ 与抛物线C： $y = x^{2} - 1$ 相交于A，B两点， $M (0, 1)$ ，且 $| \overset{⇀}{M A} + \overset{⇀}{M B} | = | \overset{⇀}{M A} - \overset{⇀}{M B} |$ ，则 $\overset{⇀}{O A} \cdot \overset{⇀}{O B} =$ （）

A、7 B、8 C、9 D、10

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11. 棱长为 $a$ 的正四面体 $A B C D$ 与正三棱锥 $E - B C D$ 的底面重合，若由它们构成的多面体ABCDE的顶点均在一球的球面上，则正三棱锥 $E - B C D$ 的内切球半径为（）

A、 $\frac{3 \sqrt{2} + \sqrt{6}}{12} a$ B、 $\frac{3 \sqrt{3} - \sqrt{6}}{12} a$ C、 $\frac{3 \sqrt{3} + \sqrt{6}}{12} a$ D、 $\frac{3 \sqrt{2} - \sqrt{6}}{12} a$

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12. 设 $f (x)$ 是定义在 $(- \frac{π}{2} ， 0) \cup (0 ， \frac{π}{2})$ 上的奇函数，其导函数为 $f^{'} (x)$ ，当 $x \in (0 ， \frac{π}{2})$ 时， $f^{'} (x) - f (x) \frac{\cos x}{\sin x} < 0$ ，则不等式 $f (x) < \frac{2 \sqrt{3}}{3} f (\frac{π}{3}) \sin x$ 的解集为（）

A、 $(- \frac{π}{3} ， 0) \cup (0 ， \frac{π}{3})$ B、 $(- \frac{π}{3} ， 0) \cup (\frac{π}{3} ， \frac{π}{2})$ C、 $(- \frac{π}{2} ， - \frac{π}{3}) \cup (\frac{π}{3} ， \frac{π}{2})$ D、 $(- \frac{π}{2} ， - \frac{π}{3}) \cup (0 ， \frac{π}{3})$

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二、填空题

13. 设向量 $\overset{⇀}{a} = (1, 2 \sqrt{2})$ ， $| \overset{⇀}{b} | = 2$ ， $\cos \overset{⇀}{a}, \overset{⇀}{b} = - \frac{1}{3}$ ，则 $\overset{⇀}{a} \cdot (\overset{⇀}{a} + \overset{⇀}{b}) =$ ．

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14. 现有下列四个结论，其中所有正确结论的编号是．
①若 $0 < x < 1$ ，则 $\lg x + \log_{x} 10$ 的最大值为-2；

②若 $a$ ， $3 a - 1$ ， $a - 1$ 是等差数列 ${a_{n}}$ 的前3项，则 $a_{4} = - 1$ ；

③“ $2 x > 3$ ”的一个必要不充分条件是“ $x > \log_{2} 3$ ”；

④若 $x - y \leq 0$ 且 $x + y \geq 4$ ，则 $x + 2 y \geq 6$ ．

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15. 若函数 $f (x) = \sin (ω x - \frac{π}{6}) (ω > 0)$ 在 $(0 ， 2 π)$ 内存在唯一的 $x_{0}$ ，使得 $f (x_{0}) = - 1$ ，则 $f (x)$ 的最小正周期的取值范围为．

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16. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P D ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $A B ⊥ A D$ ， $A B / / C D$ ， $A D = C D = P D = 2$ ， $A B = 1$ ， $E ， F$ 分别为棱 $P C ， P B$ 上一点，若 $B E$ 与平面 $P C D$ 所成角的正切值为2，则 ${(A F + E F)}^{2}$ 的最小值为.

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三、解答题

17. 设函数 $f (x) = e^{x} - 1$ ．

(1)、若曲线 $y = f (x)$ 与x轴的交点为A，求曲线 $y = f (x)$ 在点A处的切线方程；

(2)、证明： $f (x) \geq x$ ．

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18. 已知四棱锥 $P - A B C D$ 的直观图如图所示，其中 $A B$ ， $A P$ ， $A D$ 两两垂直， $A B = A D = A P = 2$ ，且底面 $A B C D$ 为平行四边形.

(1)、证明： $P A ⊥ B D$ .

(2)、如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是该四棱锥的正视图与俯视图，请在网格纸上用粗线画出该四棱锥的侧视图，并求四棱锥 $P - A B C D$ 的体积.

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19. 在 $△ A B C$ 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知 $\frac{a}{2 b - c} = \frac{\cos A}{\cos C}$ ．

(1)、求角A的大小；

(2)、求 $2 \sin B - \sin C$ 的取值范围．

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20. 如图，在三棱锥 $A - B C D$ 中， $B D ⊥ B C ， B D = B C = 2 ， A B = A D = \sqrt{5}$ ，二面角 $A - B D - C$ 的大小为120°，点 $E$ 在棱 $A C$ 上，且 $C E = 2 E A$ ，点 $G$ 为 $Δ B C D$ 的重心.

(1)、证明： $G E / /$ 平面 $A B D$ ；

(2)、求二面角 $B - A C - D$ 的正弦值.

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21. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1}^{4} + a_{2}^{4} + a_{3}^{4} + \dots + a_{n}^{4} = \frac{1}{3} n (4 n^{2} - 1)$ ．

(1)、证明：数列 ${a_{n}^{2}}$ 为等差数列；

(2)、设 $b_{n} = a_{n}^{2} \cdot (1 + 3^{n})$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ ．

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22. 已知函数 $f (x) = a \sin (1 - x) + \frac{b}{2} \ln x - x$ ．

(1)、设函数 $h (x) = f (x) - a \sin (1 - x)$ ，讨论 $h (x)$ 的单调性；

(2)、当 $a = - \frac{1}{2}$ 时，若存在 $x_{1}$ ， $x_{2} \in (0 ， 1)$ ， $x_{1} \neq x_{2}$ ，使 $f (x_{1}) = f (x_{2})$ ，证明： $b > \frac{x_{1} - x_{2}}{\ln x_{1} - \ln x_{2}}$ ．

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