河南省顶级名校2019-2020学年高二上学期理数10月阶段性检测试卷

试卷更新日期：2020-09-11 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 设 $a 、 b 、 c 、 d \in R$ ,且 $a > b ， c < d$ ，则下列结论中正确的是（）

A、 $a + c > b + d$ B、 $a - c > b - d$ C、 $a c > b d$ D、 $\frac{a}{d} > \frac{b}{c}$

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2. 设等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $2 a_{1} - S_{2} = 2$ ．则过点 $A (n, a_{n}), B (n + 1, a_{n + 2})$ 的直线斜率为（）

A、4 B、-4 C、2 D、-2

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3. 已知函数 $f (x) = \sin (w x + \frac{π}{4}) (w > 0)$ 的最小正周期为 $π$ ，则 $f (\frac{π}{8}) =$ （）

A、1 B、 $\frac{1}{2}$ C、-1 D、 $- \frac{1}{2}$

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4. 若不等式 $(m - 1) x^{2} + (m - 1) x + 2 > 0$ 的解集是R，则 $m$ 的范围是（）

A、 $[1, 9)$ B、 $(1, 9)$ C、 $(- \infty, 1] \cup (9, + \infty)$ D、 $(- \infty, 1) \cup (9, + \infty)$

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5. 设 $a > 0$ ， $b > 0$ ， $\sqrt{3}$ 是 $3^{a}$ 与 $3^{b}$ 的等比中项，则 $\frac{1}{a} + \frac{2}{b}$ 的最小值是（）

A、 $4 \sqrt{2}$ B、 $3 + 2 \sqrt{2}$ C、4 D、3

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6. 已知三角形 $A B C$ 中， $A B = A C = 2 \sqrt{2}$ ， $\vec{D B} = 3 \vec{A D}$ ，连接 $C D$ 并取线段 $C D$ 的中点 $F$ ，则 $\vec{A F} \cdot \vec{C D}$ 的值为（）

A、-5 B、 $- \frac{15}{4}$ C、 $- \frac{5}{2}$ D、-2

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7. 已知数列{an}的通项公式为an＝ $n {(\frac{2}{3})}^{n}$ 则数列{an}中的最大项为（）

A、 $\frac{8}{9}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、 $\frac{64}{81}$ D、 $\frac{125}{243}$

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8. 若 $x ， y$ 满足 ${\begin{matrix} x - y + 3 \geq 0 \\ x + y + 1 \geq 0 \\ x \leq k \end{matrix}$ ，且 $z = 2 x + y$ 的最大值为6，则 $k$ 的值为（）

A、-1 B、-7 C、1 D、7

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9. 设函数 $f (x) = {\begin{matrix} \frac{x + 2}{x - 1}, x \neq 1 \\ 1, x = 1 \end{matrix}$ 则 $f (\frac{1}{101}) + f (\frac{2}{101}) + f (\frac{3}{101}) + \dots + f (\frac{201}{101})$ 的值为（）

A、199 B、200 C、201 D、202

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10. 设各项均不为零的等差数列{a_n}的前n项和为S_n ，已知 $a_{10} > a_{9}$ ，且S₁₀＝0，则使不等式 $\frac{1}{a_{1}} + \frac{1}{a_{2}} + \dots + \frac{1}{a_{n}} > 0$ 成立的正整数n的最小值是（）

A、9 B、10 C、11 D、12

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11. 我国古代的《洛书》中记载着世界上最古老的一个幻方：如图，将1，2，…，9填入 $3 \times 3$ 的方格内，使三行，三列和两条对角线上的三个数字之和都等于15.一般地，将连续的正整数 $1 ， 2 ， 3 ， \dots ， n^{2}$ 填入 $n \times n$ 个方格中，使得每行，每列和两条对角线上的数字之和都相等，这个正方形叫做 $n$ 阶幻方.记 $n$ 阶幻方的对角线上的数字之和为 ${\begin{cases} \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 \\ y = k x + m \end{cases}$ ，如图三阶幻方的 $(b^{2} + a^{2} k^{2}) x^{2} + 2 k m a^{2} x + a^{2} m^{2} - a^{2} b^{2} = 0$ ，那么 $N_{9}$ 的值为（）

A、41 B、45 C、369 D、321

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12. 已知两条直线 $l_{1}$ ：y=m和 $l_{2}$ ： y= $\frac{8}{2 m + 1}$ (m＞0)， $l_{1}$ 与函数 $y = | \log_{2} x |$ 的图像从左至右相交于点A，B ， $l_{2}$ 与函数 $y = | \log_{2} x |$ 的图像从左至右相交于C，D .记线段AC和BD在X轴上的投影长度分别为a ，b ，当m 变化时， $\frac{b}{a}$ 的最小值为（）

A、 $16 \sqrt{2}$ B、 $8 \sqrt{2}$ C、 $8 \sqrt{4}$ D、 $4 \sqrt{4}$

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二、填空题

13. 已知 $\vec{a}, \vec{b}$ 是单位向量，且 $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$ ，若 $\vec{c} = 2 \vec{a} - \sqrt{5} \vec{b}$ ，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{c}$ 夹角的正弦值是．

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14. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和是 $S_{n}$ ，如果 $a_{2} a_{5} + a_{8} = 0, S_{9} = 27$ ，则 $S_{10}$ =。

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15. 已知 $x > 0$ ， $y > 0$ ，且 $x + 3 y = x y$ ，若 $t^{2} + t < x + 3 y$ 恒成立，则实数 $t$ 的取值范围是.

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16. 已知函数 $f (x) = 2 \sin x + \sin 2 x$ ，则 $f (x)$ 的最大值是。

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三、解答题

17. 已知等差数列 ${a_{n}}$ ， $n \in N^{*}$ ， $S_{n}$ 为其前 $n$ 项的和， $a_{2} = 0$ ， $a_{5} = 6$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若 $b_{n} = 3^{a_{n}}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项的和 $T_{n}$ .

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18. 在 $Δ A B C$ 中,角 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 所对的边分别为 $a$ 、 $b$ 、 $c$ , $\cos 2 B - 5 \cos (A + C) = 2$ .

(1)、求角 $B$ 的值；

(2)、若 $\cos A = \frac{1}{7}$ , $Δ A B C$ 的面积为 $10 \sqrt{3}$ ,求 $B C$ 边上的中线长.

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19. 已知圆 $M$ 的圆心为 $(0, 2)$ ，且直线 $\sqrt{3} x + y = 0$ 与圆 $M$ 相切，设直线 $l$ 的方程为 $x - 2 y = 0$ ，若点 $P$ 在直线 $l$ 上，过点 $P$ 作圆 $M$ 的切线 $P A, P B$ ，切点为 $A, B$ .

(1)、求圆 $M$ 的标准方程；

(2)、若 $∠ A P B = 60 °$ ，试求点 $P$ 的坐标；

(3)、若点 $P$ 的坐标为 $(2, 1)$ ，过点 $P$ 作直线与圆 $M$ 交于 $C, D$ 两点，当 $| C D | = \sqrt{2}$ 时，求直线 $C D$ 的方程.

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20. 在平行四边形 $A B C D$ 中， $E$ ， $G$ 分别是 $B C$ ， $D C$ 上的点且 $\overset{⇀}{B C} = 3 \overset{⇀}{B E}$ ， $\overset{⇀}{C D} = 3 \overset{⇀}{C G}$ ， $D E$ 与 $B G$ 交于点 $O$ .

(1)、求 $\frac{| \overset{⇀}{O E} |}{| \overset{⇀}{D E} |}$ 的值；

(2)、若平行四边形 $A B C D$ 的面积为21，求 $△ B O C$ 的面积.

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21. 已知递增等比数列 ${a_{n}}$ ， $a_{1} = 1$ ，且 $a_{1}$ ， $a_{2} + 2$ ， $a_{3}$ 成等差数列，设数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，点 $P (n, S_{n})$ 在抛物线 $y = x^{2}$ 上．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ ， ${b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设 $c_{n} = \frac{b_{n}}{a_{n}}$ ，数列 ${c_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ，若 $T_{n} < 2 a - 1 (n \in N^{*})$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围．

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22. 如图，山顶有一座石塔 $B C$ ，已知石塔的高度为 $a$ .

(1)、若以 $B ， C$ 为观测点，在塔顶 $B$ 处测得地面上一点 $A$ 的俯角为 $α$ ，在塔底 $C$ 处测得 $A$ 处的俯角为 $β$ ，用 $a ， α ， β$ 表示山的高度 $h$ ；

(2)、若将观测点选在地面的直线 $A D$ 上，其中 $D$ 是塔顶 $B$ 在地面上的射影. 已知石塔高度 $a = 20$ ，当观测点 $E$ 在 $A D$ 上满足 $D E = 60 \sqrt{10}$ 时看 $B C$ 的视角(即 $∠ B E C$ )最大，求山的高度 $h$ .

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