河南省创新发展联盟2019-2020学年高二上学期理数第三次联考试卷

试卷更新日期：2020-09-11 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 在数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} = 0$ ， $a_{n} = 3 a_{n - 1} + 2 (n \geq 2)$ ，则 $a_{3} =$ （）

A、2 B、6 C、8 D、14

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2. 在 $Δ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ， $A = \frac{π}{6}$ ， $B = \frac{π}{4}$ ， $a = \sqrt{6}$ ，则 $b =$ （）

A、 $2 \sqrt{3}$ B、 $\frac{3 \sqrt{6}}{2}$ C、 $3 \sqrt{3}$ D、 $2 \sqrt{6}$

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3. 命题“ $\exists x_{0} > 0$ ， $x_{0}^{2} - 4 x_{0} + 3 < 0$ ”的否定是（）

A、 $\forall x \leq 0$ ， $x_{0}^{2} - 4 x_{0} + 3 < 0$ B、 $\forall x > 0$ ， $x^{2} - 4 x + 3 \geq 0$ C、 $\exists x_{0} \leq 0$ ， $x_{0}^{2} - 4 x_{0} + 3 \geq 0$ D、 $\exists x_{0} > 0$ ， $x_{0}^{2} - 4 x_{0} + 3 \geq 0$

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4. 抛物线 $y = 2 x^{2}$ 的准线方程是（）

A、 $4 x + 1 = 0$ B、 $4 y + 1 = 0$ C、 $8 x + 1 = 0$ D、 $8 y + 1 = 0$

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5. 设x，y 满足 ${\begin{array}{l} 2 x - y - 2 \leq 0 \\ x - 2 y + 2 \geq 0 \\ x + y + 2 \geq 0 \end{array}$ ，则 $z = x - 3 y$ 的最小值是（）

A、8 B、-2 C、-4 D、-8

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6. “ $- 1 < m < 3$ ”是“方程 $\frac{x^{2}}{m + 1} + \frac{y^{2}}{7 - m} = 1$ 表示椭圆”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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7. 在 $Δ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ， $a \sin^{2} B = b \cos A \cos B$ ，则 $Δ A B C$ 的形状是（）

A、锐角三角形 B、直角三角形 C、钝角三角形 D、不确定

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8. 已知双曲线 $\frac{x^{2}}{9} - \frac{y^{2}}{7} = 1$ 的左、右焦点分别是 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，过 $F_{1}$ 的弦 $A B$ 的长为5，则 $Δ A B F_{2}$ 的周长是（）

A、17 B、20 C、22 D、25

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9. 已知命题 $p$ ：在 $Δ A B C$ 中，若 $A > B$ ，则 $\cos A + \cos B > 0$ ，命题 $q$ ：在等比数列 ${a_{n}}$ 中，若 $a_{2} a_{6} = 16$ ，则 $a_{4} = 4$ .下列命题是真命题的是（）

A、 $p \land (\neg q)$ B、 $(\neg p) \lor q$ C、 $(\neg p) \land (\neg q)$ D、 $p \land q$

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10. 已知椭圆 $E$ ： $\frac{x^{2}}{36} + \frac{y^{2}}{20} = 1$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，定点 $A (1 ， 4)$ ，点 $P$ 是椭圆 $E$ 上的动点，则 $| P A | + | P F_{1} |$ 的最大值是（）

A、7 B、10 C、17 D、19

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11. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ 有最小值，且 $- 1 < \frac{a_{11}}{a_{12}} < 0$ ，则使得 $S_{n} > 0$ 成立的 $n$ 的最小值是（）

A、11 B、12 C、21 D、22

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12. 双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1, (a > 0, b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，渐近线分别为 $l_{1}$ ， $l_{2}$ ，过点 $F_{1}$ 且与 $l_{1}$ 垂直的直线 $l$ 交 $l_{1}$ 于点P，交 $l_{2}$ 于点 $Q$ ，若 $\vec{P Q} = 2 \vec{F_{1} P}$ ，则双曲线的离心率为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\sqrt{3}$ C、2 D、3

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二、填空题

13. 椭圆 $4 x^{2} + 6 y^{2} = 24$ 的短轴长是.

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14. 已知 $a > b > 0$ ，且 $a + b = 2$ ，则 $\frac{5}{a} + \frac{1}{5 b}$ 的最小值是.

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15. 从某建筑物的正南方向的 $A$ 处测得该建筑物的顶部 $C$ 的仰角是 $45 °$ ，从该建筑物的北偏东 $30 °$ 的 $B$ 处测得该建筑物的顶部 $C$ 的仰角是 $30 °$ ， $A$ ， $B$ 之间的距离是35米，则该建筑物的高为米.

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16. 已知抛物线 $C$ ： $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点为 $F$ ，过点 $F$ 的直线 $l$ 与抛物线 $C$ 在第一象限交于点 $M$ ，与抛物线 $C$ 的准线交于点 $N$ ，过点 $M$ 作抛物线 $C$ 的准线的垂线，垂足为 $H$ .若 $| M F | = 2 | N F |$ ， $| N H | = 6 \sqrt{5}$ ，则抛物线 $C$ 的标准方程是.

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三、解答题

17. 已知 $p$ ：函数 $f (x) = | a x - m | (a \neq 0)$ 在区间 $[1, + \infty)$ 上单调递增， $q$ ：关于 $x$ 的不等式 $x^{2} + m x + m \leq 0$ 的解集非空.

(1)、当 $a = 3$ 时，若 $p$ 为真命题，求 $m$ 的取值范围；

(2)、当 $a > 0$ 时，若 $p$ 为假命题是 $q$ 为真命题的充分不必要条件，求 $a$ 的取值范围.

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18. 已知抛物线 $C$ ： $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点为 $F$ ，且抛物线 $C$ 与直线 $y = 2 x$ 的一个交点是 $M (m, 2)$ .

(1)、求抛物线 $C$ 的方程；

(2)、若直线 $l$ ： $y = x + n (n \neq 0)$ 与抛物线 $C$ 交于 $A$ ， $B$ 两点，且 $O A ⊥ O B$ （ $O$ 为坐标原点），求 $n$ .

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19. 在 $Δ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，已知 $a = 2 \sqrt{3}$ ，且 $(2 b - c) \cos A = a \cos C$ .

(1)、求 $Δ A B C$ 面积的最大值；

(2)、若 $Δ A B C$ 的面积为 $\frac{3}{2}$ ，求 $Δ A B C$ 的周长.

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20. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $2 S_{n} = 3 a_{n} - a_{1} (n \in N^{*})$ ，数列 ${b_{n}}$ 满足 $b_{1} = 4$ ， $b_{n} = 2 S_{n} + n a_{n} + 1 (n \in N^{*})$ .

(1)、求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、求 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

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21. 某轮船公司年初以200万元购进一艘轮船，以每年40万元的价格出租给海运公司.轮船公司负责轮船的维护，第一年维护费为4万元，随着轮船的使用与磨损，以后每年的维护费比上一年多2万元，同时该轮船第 $x (x \in N^{*}, x \leq 12)$ 年末可以以 $(151 - 5 x)$ 万元的价格出售.

(1)、写出轮船公司到第 $x$ 年末所得总利润 $y$ 万元关于 $x$ 的函数解析式，并求 $y$ 的最大值；

(2)、为使轮船公司年平均利润最大，轮船公司应在第几年末出售轮船？

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22. 设椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，下顶点为 $A$ ，椭圆 $C$ 的离心率是 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ， $Δ A F_{1} F_{2}$ 的面积是 $\sqrt{3}$ .

(1)、求椭圆 $C$ 的标准方程.

(2)、直线 $l$ 与椭圆 $C$ 交于 $B$ ， $D$ 两点（异于 $A$ 点），若直线 $A B$ 与直线 $A D$ 的斜率之和为1，证明：直线 $l$ 恒过定点，并求出该定点的坐标.

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