河南省八市重点高中联盟2019-2020学年高二上学期数学“领军考试”试卷

试卷更新日期：2020-09-11 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 在 $Δ A B C$ 中， $a$ 、 $b$ 、 $c$ 分别是内角 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 的对边，且 $c^{2} = a^{2} + b^{2} + a b$ ，则角 $C$ 的大小为（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{5 π}{6}$ D、 $\frac{2 π}{3}$

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2. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前4项为： $- \frac{1}{2}$ ， $\frac{3}{4}$ ， $- \frac{5}{8}$ ， $\frac{7}{16}$ ，则数列 ${a_{n}}$ 的通项公式是（）

A、 $a_{n} = \frac{2 n - 1}{2^{n}}$ B、 $a_{n} = \frac{{(- 1)}^{n} \cdot (2 n - 1)}{2^{n}}$ C、 $a_{n} = \frac{2 n + 1}{2^{n}}$ D、 $a_{n} = \frac{{(- 1)}^{n} \cdot (2 n + 1)}{2^{n}}$

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3. 已知 $S_{n}$ 是等比数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和，若 $a_{2} = - 8$ ， $\frac{S_{6}}{S_{3}} = \frac{7}{8}$ ，则 $a_{3} a_{5} a_{7} =$ （）

A、-1 B、 $- \frac{1}{2}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、1

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4. 在 $Δ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，若 $\sqrt{3} a = b = 3$ ， $B = 60^{\circ}$ ，则 $Δ A B C$ 的面积为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $\sqrt{3}$ C、 $\frac{3 \sqrt{3}}{2}$ D、 $3 \sqrt{3}$

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5. 已知 $S_{n}$ 是等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和，若 $a_{1} + a_{5} + a_{9} = 15$ ， $S_{7} = 28$ ，则 $\frac{S_{2020}}{2021} =$ （）

A、1009 B、1010 C、2020 D、2021

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6. 已知 $Δ A B C$ 中， $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别是 $a$ ， $b$ ， $c$ ，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 成等差数列，且 $\frac{c}{a} = \frac{\sin B}{\sin A}$ ，则该三角形的形状是（）

A、直角三角形 B、等腰三角形 C、等边三角形 D、钝角三角形

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7. 在 $Δ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ， $(b - c) (\sin B + \sin C) = a (\sin A + \sqrt{3} \sin C)$ ，则 $B =$ （）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{2 π}{3}$ D、 $\frac{5 π}{6}$

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8. 已知 $S_{n}$ 是等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和，若 $a_{1} = 17$ ，且 $a_{2} + 1$ ， $a_{5} - 1$ ， $a_{8} + 1$ 成等比数列，则 $S_{n}$ 的最大值为（）

A、77 B、79 C、81 D、83

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9. 已知数列 ${a_{n}}$ 是正项等比数列，若数列 ${b_{n}}$ 满足： $b_{n} = a_{2 n - 1}$ ， $b_{2 n + 1} = a_{2 n}^{2}$ ，且 $a_{1} + b_{2} = 90$ ，则 $b_{n} =$ （）

A、 $3^{2 n}$ B、 $3^{2 n - 1}$ C、 $3^{n}$ D、 $3^{n - 1}$

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10. 如图， $A D$ 是某防汛抗洪大坝的坡面，大坝上有一高为20米的监测塔 $B D$ ，若某科研小组在坝底 $A$ 点测得 $∠ B A D = 15^{\circ}$ ，沿着坡面前进40米到达 $E$ 点，测得 $∠ B E D = 45^{\circ}$ ，则大坝的坡角（ $∠ D A C$ ）的余弦值为（）

A、 $\sqrt{3} - 1$ B、 $\frac{\sqrt{3} - 1}{2}$ C、 $\sqrt{2} - 1$ D、 $\frac{\sqrt{2} - 1}{2}$

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11. 梅赛德斯-奔驰（Mercedes-Benz）创立于1900年，是世界上最成功的高档汽车品牌之一，其经典的“三叉星”商标象征着陆上、水上和空中的机械化.已知该商标由1个圆形和6个全等的三角形组成（如图），点 $O$ 为圆心， $∠ O A B = 15^{\circ}$ ，若在圆内任取一点，则此点取自阴影部分的概率为（）

A、 $\frac{2 \sqrt{3} - 3}{2 π}$ B、 $\frac{2 \sqrt{3} - 3}{4 π}$ C、 $\frac{6 \sqrt{3} - 9}{2 π}$ D、 $\frac{6 \sqrt{3} - 9}{4 π}$

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12. 已知数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} = 1$ ， $\frac{1}{a_{n + 1}} = [1 - \frac{1}{{(n + 1)}^{2}}] \cdot \frac{1}{a_{n}}$ ，若 $b_{n} = \frac{a_{n}}{n^{2}}$ ，数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，则 $S_{100} =$ （）

A、 $\frac{100}{101}$ B、 $\frac{200}{101}$ C、 $\frac{300}{101}$ D、 $\frac{400}{101}$

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二、填空题

13. 已知等比数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{2} = 2$ ， $a_{5} = 6$ ，则 $a_{8} =$ .

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14. 在 $Δ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，若 $\sin A : \sin B : \sin C = 2 : 3 : 4$ ，则 $\cos A =$ .

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15. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = 2$ ， $a_{n + 1} = \frac{a_{n} - 1}{a_{n} + 1}$ ，则 $a_{2019} =$ .

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16. 在 $Δ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别 $a$ ， $b$ ， $c$ ， $A C$ ， $A B$ 边上的中点分别为 $D$ ， $E$ ，若 $2 b = 3 c$ ，则 $\frac{B D}{C E}$ 的取值范围是.

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三、解答题

17. 在 $Δ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 对应的边分别是 $a$ ， $b$ ， $c$ ， $\cos C = \frac{1}{4}$ ， $2 a = b = 2$ .
（Ⅰ）判断 $Δ A B C$ 的形状；

（Ⅱ）求 $\cos (A - B)$ 的值.

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18. 设公差不为零的等差数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{2} = - 1$ ，且 $a_{2}$ ， $a_{1}$ ， $a_{3}$ 成等比数列.
（Ⅰ）求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

（Ⅱ）求数列 ${a_{n} - 3^{n - 1}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ .

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19. 在圆内接四边形 $A B C D$ 中， $A B = 1$ ， $\cos ∠ B A C = \frac{2 \sqrt{7}}{7}$ ， $Δ A B C$ 的面积为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .
（Ⅰ）求 $∠ A B C$ ；

（Ⅱ）若 $A B ⊥ A D$ ，求 $B D$ 的长.

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20. 已知 $S_{n}$ 是数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和，满足： $a_{1} = 2$ ， $S_{n} - 2 a_{n} + 2 = 0$ .
（Ⅰ）求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

（Ⅱ）设 $b_{n} = \frac{n - 1}{a_{n}}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

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21. 在 $Δ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 对应的边分别是 $a$ ， $b$ ， $c$ ，已知 $\frac{\cos A + 2}{a} = \frac{2 \cos B - \cos C}{c}$ .
（Ⅰ）求角 $A$ 的大小；

（Ⅱ）若 $A D$ ， $A E$ 分别为 $B C$ 边上的高和中线， $a = 4 \sqrt{3}$ ， $b + c = 2 \sqrt{14}$ ，求 $\frac{| \overset{⇀}{A D} |}{| \overset{⇀}{A E} |}$ 的值.

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22. 已知数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} = 1$ ， $a_{n - 1} - a_{n} = 2 a_{n} a_{n - 1} (n \geq 2)$ .
（Ⅰ）求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

（Ⅱ）设 $b_{n} = \frac{a_{n}}{2 n + 1}$ ，数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，证明：对任意的 $n \in N^{*}$ ，都有 $\frac{1}{3} \leq S_{n} < \frac{1}{2}$ .

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