四川省遂宁市2019-2020学年高二下学期理数期末考试试卷

试卷更新日期：2020-09-11 类型：期末考试

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一、单选题

1. 函数 $f (x) = \ln 2 + \cos x$ 的导数为（）

A、 $\frac{1}{2} - \sin x$ B、 $- \sin x$ C、 $\sin x$ D、 $\frac{1}{2} + \sin x$

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2. 命题“ $\exists x_{0} \leq 0, x_{0}^{2} \geq 0$ ”的否定是（）

A、∀x≤0，x²<0 B、∀x≤0，x²≥0 C、 $\exists x_{0} > 0, x_{0}^{2} > 0$ D、 $\exists x_{0} < 0, x_{0}^{2} < 0$

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3. 随着我国经济实力的不断提升，居民收入也在不断增加.抽样发现赤峰市某家庭2019年全年的收入与2015年全年的收入相比增加了一倍，实现翻番.同时该家庭的消费结构随之也发生了变化，现统计了该家庭这两年不同品类的消费额占全年总收入的比例，得到了如下折线图：

则下列结论中正确的是（）

A、该家庭2019年食品的消费额是2015年食品的消费额的一半 B、该家庭2019年教育医疗的消费额是2015年教育医疗的消费额的1.5倍 C、该家庭2019年休闲旅游的消费额是2015年休闲旅游的消费额的六倍 D、该家庭2019年生活用品的消费额与2015年生活用品的消费额相当

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4. 双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的一条渐近线方程为 $y = x$ ，则此双曲线的离心率为（）

A、2 B、 $\sqrt{2}$ C、3 D、 $\sqrt{3}$

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5. 已知a，b为实数，则“a³＜b³”是“2^a＜2^b”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分又不必要条件

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6. 曲线 $f (x) = x^{3} - x$ 在点 $(- 1, f (- 1))$ 处的切线方程为（）

A、 $2 x + y + 2 = 0$ B、 $2 x + y - 2 = 0$ C、 $2 x - y + 2 = 0$ D、 $2 x - y - 2 = 0$

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7. 椭圆 $2 x^{2} - m y^{2} = 1$ 的一个焦点坐标为 $(0, - \sqrt{2})$ ，则实数m=（）

A、2 B、 $\frac{2}{5}$ C、 $- \frac{2}{3}$ D、 $- \frac{2}{5}$

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8. 若 $f (x) = x^{2} + m \ln x$ 在 $(2 ， + \infty)$ 是增函数，则实数 $m$ 的取值范围为（）

A、 $[- 8 ， + \infty)$ B、 $(- 8 ， + \infty)$ C、 $(- \infty ， - 8)$ D、 $(- \infty ， - 8]$

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9. 执行如图所示的程序框图，若输入 $t \in [- 1 ， 3]$ ，则输出 $s$ 的取值范围是（）

A、 $[e^{- 2} ， 1]$ B、 $[1 ， e]$ C、 $[0 ， 1]$ D、 $[e^{- 2} ， e]$

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10. 阿基米德（公元前287年---212年）是古希腊伟大的物理学家、数学家、天文学家，不仅在物理学方面贡献巨大，还享有“数学之神”的称号.抛物线上任意两点A、B处的切线交于点P，称△ $P A B$ 为“阿基米德三角形”，当线段AB经过抛物线焦点F时，△ $P A B$ 具有以下特征：（1）P点必在抛物线的准线上；（2）△ $P A B$ 为直角三角形，且 $P A ⊥ P B$ ；（3） $P F ⊥ A B$ .若经过抛物线 $y^{2} = 4 x$ 焦点的一条弦为AB，阿基米德三角形为△ $P A B$ ，且点P的纵坐标为4，则直线AB的方程为（）

A、x-2y-1=0 B、2x+y-2=0 C、x+2y-1=0 D、2x-y-2=0

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11. 已知椭圆 $T : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 长半轴为2，且过点M(0，1).若过点M引两条互相垂直的两直线 $l_{1} 、 l_{2}$ ，若P为椭圆上任一点，记点P到两直线的距离分别为 $d_{1} 、 d_{2}$ ，则 $\sqrt{d_{1}^{2} + d_{2}^{2}}$ 的最大值为（）

A、2 B、 $\frac{4 \sqrt{3}}{3}$ C、5 D、 $\frac{16}{3}$

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12. 已知函数 $f (x) = \frac{\ln x}{x} - a$ ， $g (x) = \frac{3 (\ln x - a x)}{\ln x}$ ，若方程 $f (x) = g (x)$ 有2不同的实数解，则实数a的取值范围是（）

A、 $(- \infty ， e)$ B、 $(0 ， \frac{1}{e})$ C、 $(- \infty ， 0) \cup (e ， + \infty)$ D、 $(e ， + \infty)$

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二、填空题

13. 抛物线 $x^{2} = 4 y$ 的焦点坐标是．

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14. 在 ${(1 - 2 x)}^{6}$ 的展开式中， $x^{2}$ 的系数为.（用数字作答）

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15. 两对夫妇各带一个小孩乘坐6个座位的游览车，游览车每排只有一个座位.为安全起见，车的首尾两座一定要坐两位爸爸，两个小孩一定要相邻.那么，这6人的排座方法种数为（用数字作答）

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16. 已知双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左焦点为 $F$ ，过点 $F$ 作双曲线 $C$ 的一条渐近线的垂线 $l$ ，垂足为 $H$ ，垂线 $l$ 与双曲线的另一条渐近线相交于点 $P$ ， $O$ 为坐标原点.若 $△ P O F$ 为等腰三角形，则双曲线的离心率为．

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三、解答题

17. 已知抛物线 $C$ ： $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点 $F$ ， $C$ 上一点 $(3, m)$ 到焦点的距离为5．

(1)、求 $C$ 的方程；

(2)、过 $F$ 作直线 $l$ ，交 $C$ 于 $A$ ， $B$ 两点，若直线 $A B$ 中点的纵坐标为-1，求直线 $l$ 的方程．

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18. 已知函数 $f (x) = x^{3} + a x^{2} + b x + c$ 在 $x = - \frac{2}{3}$ 与 $x = 1$ 时都取得极值．

(1)、求 $a, b$ 的值与函数 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、若对 $x \in [- 1, 2]$ ,不等式 $f (x) < c^{2}$ 恒成立，求 $c$ 的取值范围．

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19. 流行性感冒（简称流感）是流感病毒引起的急性呼吸道感染，是一种传染性强、传播速度快的疾病．其主要通过空气中的飞沫、人与人之间的接触或与被污染物品的接触传播．流感每年在世界各地均有传播，在我国北方通常呈冬春季流行，南方有冬春季和夏季两个流行高峰．儿童相对免疫力低，在幼儿园、学校等人员密集的地方更容易被传染．某幼儿园将去年春期该园患流感小朋友按照年龄与人数统计，得到如下数据：

年龄（x）

2

3

4

5

6

患病人数（y）

22

22

17

14

10

参考数据： $\sqrt{30} \approx 5.477$ ．

参考公式： $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i} - n \bar{x y}}{\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} - n {\bar{x}}^{2}}$ ，

相关系数 $r = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sqrt{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2} \cdot \sum_{i = 1}^{n} {(y_{i} - \bar{y})}^{2}}}$ ．

(1)、求y关于x的线性回归方程；

(2)、计算变量x、y的相关系数r（计算结果精确到 $0.01$ ），并回答是否可以认为该幼儿园去年春期患流感人数与年龄负相关很强？（若 $| r | \in [0.75, 1]$ ，则x、y相关性很强；若 $| r | \in [0.3, 0.75)$ ，则x、y相关性一般；若 $| r | \in [0, 0.25]$ ，则x、y相关性较弱．）

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20. 2020年新年伊始，新型冠状病毒来势汹汹，疫情使得各地学生在寒假结束之后无法返校，教育部就此提出了线上教学和远程教学，停课不停学的要求也得到了家长们的赞同．各地学校开展各式各样的线上教学，某地学校为了加强学生爱国教育，拟开设国学课，为了了解学生喜欢国学是否与性别有关，该学校对100名学生进行了问卷调查，得到如下列联表：

	喜欢国学	不喜欢国学	合计
男生	20		50
女生		10
合计			100

(1)、请将上述列联表补充完整，并判断能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为喜欢国学与性别有关系？

(2)、针对问卷调查的100名学生，学校决定从喜欢国学的人中按分层抽样的方法随机抽取6人成立国学宣传组，并在这6人中任选2人作为宣传组的组长，设这两人中女生人数为

X

，求

X

的分布列和数学期望．

参考数据：

$P (K^{2} ⩾ k_{0})$	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
$k_{0}$	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

$K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ， $n = a + b + c + d$ ．

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21. 已知 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 是椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左右两个焦点，过 $F_{2}$ 的直线与 $C$ 交于 $P$ ， $Q$ 两点（ $P$ 在第一象限）， $Δ P F_{1} Q$ 的周长为8， $C$ 的离心率为 $\frac{1}{2}$ .

(1)、求 $C$ 的方程；

(2)、设 $A_{1}$ ， $A_{2}$ 为 $C$ 的左右顶点，直线 $P A_{1}$ 的斜率为 $k_{1}$ ， $Q A_{2}$ 的斜率为 $k_{2}$ ，求 $k_{1}^{2} - \frac{1}{3} k_{2}$ 的取值范围.

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22. 已知函数 $f (x) = a x - (a + 2) \ln x - \frac{2}{x} - \ln a (a > 0)$ .

(1)、讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若 $f (x)$ 存在两个极值点 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，求 $f (x_{1}) + f (x_{2})$ 的最小值.

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年龄（x）	2	3	4	5	6
患病人数（y）	22	22	17	14	10