四川省宜宾市2019-2020学年高一下学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2020-09-11 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知向量 $\vec{a} = (- 3, 2)$ ， $\vec{b} = (2, 3)$ ，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ （）

A、平行且同向 B、垂直 C、平行且反向 D、不垂直也不平行

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2. 不等式 $x^{2} \leq 3 x$ 的解集为（）

A、 $[0 ， 3]$ B、 $(- \infty, 3]$ C、 $(0, 3)$ D、 $(- \infty, 3)$

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3. 若 $a < b$ ，则下列不等式成立的是（）

A、 $\frac{1}{a} > \frac{1}{b}$ B、 $a^{2} < b^{2}$ C、lga<lgb D、 $3^{a} < 3^{b}$

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4. 若正数 $a, b$ 满足 $a + b = 6$ ，则 $a b$ 的最大值为（）

A、5 B、6 C、7 D、9

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5. 在等腰直角 $△ A B C$ 中， $D$ 是斜边 $B C$ 的中点， $A B = 2$ ，则 $\vec{A B} \cdot \vec{A D}$ 的值为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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6. 若x，y满足约束条件 ${\begin{matrix} x + y - 2 \leq 0 \\ 2 x - y - 4 \leq 0 \\ x \geq 0 \begin{matrix} \end{matrix} \end{matrix}$ ，则z=2x+y的最大值为（）

A、2 B、3 C、4 D、-4

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7. 在△ $A B C$ 中， $A C = \sqrt{5}$ ， $B C = 3$ ， $\cos A = \frac{\sqrt{10}}{10}$ ，则 $∠ B =$ （）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{4}$ C、 $\frac{π}{3}$ D、 $\frac{π}{2}$

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8. 河南洛阳的龙门石窟是中国石刻艺术宝库之一，现为世界文化遗产，龙门石窟与莫高窟、云冈石窟、麦积山石窟并称中国四大石窟.在龙门石窟的某处“浮雕象”共有7层，每一层的数量是它下一层的2倍，这些“浮雕象”构成一幅优美的图案.已知该处共有1016个“浮雕象”，则正中间那层的“浮雕象”的数量为（）

A、508 B、256 C、128 D、64

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9. 已知等比数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{n + 1} < a_{n}$ ， $a_{3} = 1$ ， $2 a_{12} + a_{11} = a_{10}$ ，若 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，则 $S_{3}$ 为（）

A、1或7 B、-1 C、7 D、1

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10. 在 $△ A B C$ 中，若 $A B = \sqrt{37}$ ， $B C = 4$ ， $C = \frac{2 π}{3}$ ，则 $△ A B C$ 的面积 $S$ = （）

A、 $3 \sqrt{3}$ B、 $3 \sqrt{2}$ C、6 D、4

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11. 设等差数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，若 $a_{1010} < 0 ， a_{1010} + a_{1011} > 0$ ，则满足 $S_{n} > 0$ 的最小正整数 $n$ 的值为（）

A、1010 B、1011 C、2020 D、2021

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12. 如图，在平面四边形 $A B C D$ 中， $A B ⊥ B C$ ， $∠ B C D = 60^{\circ}$ ， $∠ A D C = 150^{\circ}$ ， $\vec{B E} = 3 \vec{E C}$ ， $C D = \frac{2 \sqrt{3}}{3} ， B E = \sqrt{3}$ ，若点F为边 $A D$ 上的动点，则 $\vec{E F} \cdot \vec{B F}$ 的最小值为（）

A、1 B、 $\frac{15}{16}$ C、 $\frac{31}{32}$ D、2

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二、填空题

13. 在等差数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{3} = 1$ ， $a_{6} = 4$ ，则 $a_{9} =$ .

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14. 已知向量 $\vec{a} ， \vec{b}$ 满足 $| \vec{a} | = 2$ ， $| \vec{b} | = \sqrt{3}$ ， $\vec{b} \cdot (\vec{a} - \vec{b}) = 0$ ，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为.

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15. 若正数 $a, b$ 满足 $a + b = 1$ ，则 $\frac{9}{a} + \frac{1}{b}$ 的最小值为.

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16. 一渔船在 $A$ 处望见正北方向有一灯塔 $B$ ，在北偏东 $45^{\circ}$ 方向的 $C$ 处有一小岛，渔船向正东方向行驶 $2$ 海里后到达 $D$ 处，这时灯塔 $B$ 和小岛 $C$ 分别在北偏西 $30^{\circ}$ 和北偏东 $15^{\circ}$ 的方向，则灯塔 $B$ 和小岛 $C$ 之间的距离为海里.

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三、解答题

17. 已知函数 $f (x) = x^{2} - a x + a + 3$ .

(1)、当 $a = 7$ 时，解不等式 $f (x) > 0$ ；

(2)、当 $x \in R$ 时， $f (x) \geq 0$ 恒成立，求 $a$ 的取值范围.

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18. 在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，已知 $\frac{\cos B}{b} = \frac{\cos A}{2 c - a}$ .

(1)、求 $B$ 的大小；

(2)、若 $a = 3$ ，且 $△ A B C$ 的面积为 $3 \sqrt{3}$ ，求 $b$ .

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19. 在公差不为零的等差数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} + a_{3} = 8$ ，且 $a_{1} ， a_{3} ， a_{9}$ 成等比数列.

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设 $b_{n} = \frac{1}{a_{n}^{2} - 1}$ ，数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，求证： $S_{n} < \frac{1}{2}$ .

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20. 因新冠肺炎疫情影响，呼吸机成为紧缺商品，某呼吸机生产企业为了提高产品的产量，投入90万元安装了一台新设备，并立即进行生产，预计使用该设备前 $n (n \in N_{+})$ 年的材料费、维修费、人工工资等共为（ $\frac{5}{2} n^{2} + 5 n$ ）万元，每年的销售收入55万元.设使用该设备前 $n$ 年的总盈利额为 $f (n)$ 万元.

(1)、写出 $f (n)$ 关于 $n$ 的函数关系式，并估计该设备从第几年开始盈利；

(2)、使用若干年后，对该设备处理的方案有两种：案一：当总盈利额达到最大值时，该设备以10万元的价格处理；方案二：当年平均盈利额达到最大值时，该设备以50万元的价格处理；问哪种方案处理较为合理？并说明理由.

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21. 在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，向量 $\vec{m} = (a + c, b - \sqrt{2} c)$ ， $\vec{n} = (c - a, b)$ ，且 $\vec{m} ⊥ \vec{n}$ .

(1)、求 $A$ 的大小；

(2)、若 $△ A B C$ 为锐角三角形，且 $a = 2 \sqrt{2}$ ， $A D ⊥ B C$ ， $A D$ 交 $B C$ 于D，求 $A D$ 的取值范围.

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22. 若数列 ${a_{n}}$ 满足 $\frac{1}{3 a_{1}} + \frac{1}{5 a_{2}} + \frac{1}{7 a_{3}} + \dots + \frac{1}{(2 n + 1) a_{n}} = \frac{n}{2 n + 1}$ .

(1)、求 $a_{1}, a_{2}, a_{3}$ 及 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若 $b_{n} = \frac{a_{n} + 1}{2^{a_{n}}}$ ，数列{ $b_{n}$ }的前项和 $S_{n}$ .
①求 $S_{n}$ ；

②对于任意 $n \in N_{+}$ ，均有 $(3 n + 4) m \geq (2 n - 5) (\frac{16}{9} - S_{n}) \cdot 2^{n}$ 恒成立，求 $m$ 的取值范围.

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