四川省遂宁市2019-2020学年高一下学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2020-09-11 类型：期末考试

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一、单选题

1. 现有这么一列数：1， $\frac{3}{2}$ ， $\frac{5}{4}$ ， $\frac{7}{8}$ ，（）， $\frac{11}{32}$ ， $\frac{13}{64}$ ，…，按照规律，（）中的数应为（）.

A、 $\frac{9}{16}$ B、 $\frac{11}{16}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{11}{18}$

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2. 设 $a, b, c \in R$ ，且 $a > b$ ，则（）

A、 $a c > b c$ B、 $\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$ C、 $\frac{c^{2}}{a - b} \geq 0$ D、 $\frac{1}{a - b} > \frac{1}{a}$

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3. 在△ABC中，点D在边BC上，若 $\overset{⇀}{B D} = 2 \overset{⇀}{D C}$ ，则 $\overset{⇀}{A D} =$ （）

A、 $\frac{1}{4}$ $\overset{⇀}{A B}$ + $\frac{3}{4}$ $\overset{⇀}{A C}$ B、 $\frac{3}{4}$ $\overset{⇀}{A B}$ + $\frac{1}{4}$ $\overset{⇀}{A C}$ C、 $\frac{1}{3}$ $\overset{⇀}{A B}$ + $\frac{2}{3}$ $\overset{⇀}{A C}$ D、 $\frac{2}{3}$ $\overset{⇀}{A B}$ + $\frac{1}{3}$ $\overset{⇀}{A C}$

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4. 设单位向量 $\vec{e} = (\cos α ， \frac{1}{3})$ ，则 $\cos 2 α$ 的值为（）

A、 $\frac{7}{9}$ B、 $- \frac{1}{2}$ C、 $- \frac{7}{9}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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5. 已知 $△ A B C$ 中， $a = 2 \sqrt{3}, b = 2 \sqrt{2}, B = \frac{π}{4}$ ，那么满足条件的 $△ A B C$ （）

A、有一个解 B、有两个解 C、不能确定 D、无解

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6. 已知数列 $1 ， a_{1} ， a_{2} ， 4$ 成等差数列， $1 ， b_{1} ， b_{2} ， b_{3} ， 4$ 成等比数列，则 $\frac{a_{2} - a_{1}}{b_{2}}$ 的值是（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $- \frac{1}{2}$ C、 $\frac{1}{2}$ 或 $- \frac{1}{2}$ D、 $\frac{1}{4}$

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7. 《九章算术》是我国古代内容极为丰富的一部数学专著，书中有如下问题：今有女子善织，日增等尺，七日织28尺，第二日，第五日，第八日所织之和为15尺，则第十四日所织尺数为（）

A、13 B、14 C、15 D、16

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8. 在 $△ A B C$ 中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，其中 $a^{2} \tan B = b^{2} \tan A$ ，那么 $△ A B C$ 一定是（）

A、锐角三角形 B、直角三角形 C、等腰三角形 D、等腰或直角三角形

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9. 已知 $α$ ， $β$ 都是锐角， $\sin α = \frac{3}{5}$ ， $\cos (α + β) = - \frac{5}{13}$ ，则 $\sin β =$ （）

A、 $- \frac{56}{65}$ B、 $- \frac{16}{65}$ C、 $\frac{33}{65}$ D、 $\frac{63}{65}$

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10. 如图所示，隔河可以看到对岸两目标A，B，但不能到达，现在岸边取相距4km的C，D两点，测得∠ACB＝75°，∠BCD＝45°，∠ADC＝30°，∠ADB＝45°(A，B，C，D在同一平面内)，则两目标A，B间的距离为（）km.

A、 $\frac{8 \sqrt{5}}{3}$ B、 $\frac{4 \sqrt{15}}{3}$ C、 $\frac{2 \sqrt{15}}{3}$ D、2 $\sqrt{5}$

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11. 设 $G$ 是 $△ A B C$ 的重心，且 $(\sin A) \vec{G A} + (\sin B) \vec{G B} + (\sin C) \vec{G C} = 0$ ，若 $△ A B C$ 外接圆的半径为1，则 $△ A B C$ 的面积为（）

A、 $\frac{3 \sqrt{3}}{2}$ B、 $\frac{3 \sqrt{3}}{4}$ C、 $\frac{3}{4}$ D、 $\frac{9}{16}$

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12. 当 $x = θ$ 时，函数 $f (x) = s i n x + 2 \cos x$ 取得最小值，则 $\sin (θ + \frac{π}{3})$ 的值为（）

A、- $\frac{2 \sqrt{15} + \sqrt{5}}{10}$ B、 $\frac{2 \sqrt{5} + \sqrt{15}}{10}$ C、- $\frac{\sqrt{10}}{10}$ D、 $\frac{3 \sqrt{10}}{10}$

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二、填空题

13. 当 $x > 1$ 时， $x + \frac{4}{x - 1}$ 的最小值为.

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14. 在 $△ A B C$ 中， $\tan A, \tan B$ 是方程 $2 x^{2} + 3 x - 7 = 0$ 的两根，则 $\tan C =$ ．

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15. 如图，在半径为 $3$ 的圆上，C为圆心，A为圆上的一个定点，B为圆上的一个动点，若 $| \vec{A C} + \vec{C B} | = | \vec{A C} - \vec{C B} |$ ，则 $\vec{A B} \cdot \vec{A C} =$ ．

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16. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} + \frac{1}{2} a_{2} +$ … $+ \frac{1}{n} a_{n} = n^{2} + n (n \in N^{*})$ ，设数列 ${b_{n}}$ 满足： $b_{n} = \frac{2 n + 1}{a_{n} a_{n + 1}}$ ，数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ，若 $4 T_{n} \leq \frac{n}{n + 1} λ (n \in N^{*})$ 恒成立，则 $λ$ 的最小值是．

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三、解答题

17. 已知平行四边形ABCD的三个顶点A、B、C的坐标分别是（-2，1）、（-1，3)、(3，4).

(1)、求顶点D的坐标；

(2)、求 $\vec{A C}$ 与 $\vec{B D}$ 所成夹角的余弦值．

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18. 已知数列 ${a_{n}}$ 是公比为2的等比数列，且 $a_{2}, a_{3} + 1, a_{4}$ 成等差数列．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、记 $b_{n} = {\begin{array}{l} a_{n}, n 为奇数 \\ l o g_{2} a_{n}, n 为偶数 \end{array}$ ，数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ，求 $T_{2 n}$ ．

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19. 已知向量 $\vec{m} = (\cos x, \sqrt{3} \sin x)$ ， $\vec{n} = (\cos x, \cos x)$ 且函数 $f (x) = \vec{m} \cdot \vec{n}$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 在 $x \in [- \frac{π}{2}, 0]$ 时的值域；

(2)、设 $α$ 是第一象限角，且 $f (\frac{α}{2} + \frac{π}{6}) = \frac{11}{10}$ 求 $\frac{\sin (α + \frac{π}{4})}{\cos (2 π + 2 α)}$ 的值.

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20. 首届世界低碳经济大会11月17日在南昌召开，本届大会的主题为“节能减排，绿色生态”.某企业在国家科研部门的支持下，投资810万元生产并经营共享单车，第一年维护费为10万元，以后每年增加20万元，每年收入租金300万元.

(1)、若扣除投资和各种维护费，则从第几年开始获取纯利润？

(2)、若干年后企业为了投资其他项目，有两种处理方案：
①纯利润总和最大时，以100万元转让经营权；

②年平均利润最大时以460万元转让经营权，问哪种方案更优？

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21. 已知 $△ A B C$ 的角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足 $(b - a) (\sin B + \sin A) = (b - c) \sin C$ .

(1)、求A；

(2)、从下列条件中：① $a = \sqrt{3}$ ；② $S_{△ A B C} = \sqrt{3}$ 中任选一个作为已知条件，求 $△ A B C$ 周长的取值范围.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

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22. 函数 $f (x)$ 满足：对任意 $α, β \in R$ ，都有 $f (α β) = α g (β) + β f (α)$ ，且 $f (2) = 2$ ，数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{n} = f (2^{n}) (n \in N_{+})$ .

(1)、证明数列 ${\frac{a_{n}}{2^{n}}}$ 为等差数列，并求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、记数列 ${b_{n}}$ 前n项和为 $S_{n}$ ，且 $b_{n} = \frac{n (n + 1)}{a_{n}}$ ，问是否存在正整数m，使得 $(m + 1) (S_{m} - 4) + 19 b_{m} < 0$ 成立，若存在，求m的最小值；若不存在，请说明理由.

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