重庆市主城区七校2019-2020学年高二下学期数学期末联考试卷

试卷更新日期：2020-09-11 类型：期末考试

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一、单选题

1. 若 $z = \frac{2 i}{1 + i}$ （其中 $i$ 是虚数单位）,则 $| z | =$ （）

A、1 B、2 C、 $\sqrt{2}$ D、4

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2. 为对某组数据进行分析，建立了四种不同的模型进行拟合，现用回归分析原理，计算出四种模型的相关指数R²分别为0.97，0.86，0.65，0.55，则拟合效果最好的回归模型对应的相关指数R²的值是（）

A、0.97 B、0.86 C、0.65 D、0.55

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3. 在某次联考数学测试中，学生成绩 $ξ$ 服从正态分布 $(100, σ^{2}) (σ > 0)$ ，若 $ξ$ 在 $(80, 120)$ 内的概率为0.8，则任意选取一名学生，该生成绩不高于80的概率为（）

A、0.05 B、0.1 C、0.15 D、0.2

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4. 曲线 $y = x^{2} + l n x$ 在点 $(1 ， 1)$ 处的切线方程为（）

A、 $3 x - y - 2 = 0$ B、 $x - 3 y + 2 = 0$ C、 $3 x + y - 4 = 0$ D、 $x + 3 y - 4 = 0$

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5. 某市汽车牌照号码可以上网自编，但规定从左到右第二个号码只能从字母B､C､D中选择，其他四个号码可以从0~9这十个数字中选择(数字可以重复)，某车主第一个号码(从左到右)只想在数字3､5､6､8､9中选择，其他号码只想在1､3､6､9中选择，则他的车牌号码可选的所有可能情况有（）

A、180种 B、360种 C、720种 D、960种

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6. 从装有除颜色外完全相同的3个白球和m个黑球的布袋中随机摸取一球，有放回的摸取5次，设摸得白球数为X，已知 $E (X) = 3$ ，则 $D (X) = ($ $)$

A、 $\frac{8}{5}$ B、 $\frac{6}{5}$ C、 $\frac{4}{5}$ D、 $\frac{2}{5}$

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7. 某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表：
广告费用x(万元)
4
2
3
5
销售额y(万元)
49
26
39
54
根据上表可得回归方程 $\hat{y}$ ＝ $\hat{b}$ x＋ $\hat{a}$ 中的 $\hat{b}$ 为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为（）

A、63.6万元 B、65.5万元 C、67.7万元 D、72.0万元

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8. 我国第一艘航母“辽宁舰”在某次舰载机起降飞行训练中，有5架歼－15飞机准备着舰．如果甲、乙两机必须相邻着舰，而丙、丁两机不能相邻着舰，那么不同的着舰方法有（）

A、12种 B、18种 C、24种 D、48种

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9. 下图是相关变量 $x ， y$ 的散点图，现对这两个变量进行线性相关分析，方案一：根据图中所有数据，得到线性回归方程： $\hat{y} = b_{1} x + a_{1}$ ，相关系数为 $r_{1}$ ；方案二：剔除点 $(10 ， 32)$ ，根据剩下数据，得到线性回归方程： $\hat{y} = b_{2} x + a_{2}$ ，相关系数为 $r_{2}$ ；则（）

A、 $0 < r_{1} < r_{2} < 1$ B、 $0 < r_{2} < r_{1} < 1$ C、 $- 1 < r_{1} < r_{2} < 0$ D、 $- 1 < r_{2} < r_{1} < 0$

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10. 设函数 $f (x)$ 在定义域内可导， $y = f (x)$ 的图像如图所示，则导函数 $y = f^{'} (x)$ 的图像可能为（）

A、 B、 C、 D、

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11. 有6名医生到3个医院去作新冠肺炎治疗经验交流，则每个医院至少去一名的不同分派方法种数为（）

A、216 B、729 C、540 D、420

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12. 已知函数 $f (x) = x^{2} - 3 x + 5$ ， $g (x) = a x - \ln x$ ，若对 $\forall x \in (0 ， e)$ ， $\exists x_{1} ， x_{2} \in (0 ， e)$ 且 $x_{1} \neq x_{2}$ ，使得 $f (x) = g (x_{i}) (i = 1 ， 2)$ ，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(\frac{1}{e} ， \frac{6}{e})$ B、 $[\frac{1}{e} ， e^{\frac{7}{4}})$ C、 $(0 ， \frac{1}{e}] \cup [\frac{6}{e} ， e^{\frac{7}{4}})$ D、 $[\frac{6}{e} ， e^{\frac{7}{4}})$

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二、填空题

13. 若复数 $z = i (3 - 2 i)$ （ $i$ 是虚数单位），则 $\bar{z}$ 的虚部为.

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14. 篮子里装有2个红球，3个白球和4个黑球.某人从篮子中随机取出两个球，记事件 $A =$ “取出的两个球颜色不同”，事件 $B =$ “取出一个红球，一个白球”，则 $P (B | A) =$ .

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15. 若 $(1 + x) {(1 - 2 x)}^{7} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + \dots + a_{8} x^{8}$ ，则 $a_{1} + a_{2} + \dots + a_{7}$ 的值为．

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16. 已知某超市为顾客提供四种结账方式：现金、支付宝、微信、银联卡，若顾客甲只带了现金，顾客乙只用支付宝或微信付款，顾客丙、丁用哪种方式结账都可以，这四名顾客购物后，恰好用了其中三种结账方式，则他们结账方式的可能情况有种．

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三、解答题

17. 已知二项式 ${(\sqrt[3]{x} + \frac{1}{x})}^{n}$ 的展开式中各项的系数和为 $256$ .

(1)、求 $n$ ；

(2)、求展开式中的常数项．

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18. 某银行规定，一张银行卡若在一天内出现3次密码尝试错误，该银行卡将被锁定，小王到银行取钱时，发现自己忘记了银行卡的密码，但是可以确定该银行卡的正确密码是他常用的6个密码之一，小王决定从中不重复地随机选择1个进行尝试.若密码正确，则结束尝试；否则继续尝试，直至该银行卡被锁定.
（Ⅰ）求当天小王的该银行卡被锁定的概率；

（Ⅱ）设当天小王用该银行卡尝试密码次数为X，求X的分布列和数学期望．

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19. 已知函数 $f (x) = e^{x} (a x + b) - x^{2} - 4 x$ ，曲线 $y = f (x)$ 在点 $(0 ， f (0))$ 处切线方程为 $y = 4 x + 4$ ．

(1)、求 $a ， b$ 的值；

(2)、讨论 $f (x)$ 的单调性，并求 $f (x)$ 的极大值．

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20. 对甲、乙两名篮球运动员分别在100场比赛中的得分情况进行统计，作出甲的得分频率分布直方图如图所示，列出乙的得分统计表如表所示：

分值

$[0 ， 10)$

$[10 ， 20)$

$[20 ， 30)$

$[30 ， 40)$

场数

10

20

40

30

(1)、估计甲在一场比赛中得分不低于20分的概率.

(2)、判断甲、乙两名运动员哪个成绩更稳定.（结论不要求证明）

(3)、在甲所进行的100场比赛中，以每场比赛得分所在区间中点的横坐标为这场比赛的得分，试计算甲每场比赛的平均得分.

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21. 随着网络和智能手机的普及与快速发展，许多可以解答各学科问题的搜题软件走红.有教育工作者认为：网搜答案可以起到拓展思路的作用，但是对多数学生来讲，容易产生依赖心理，对学习能力造成损害.为了了解网络搜题在学生中的使用情况，某校对学生在一周时间内进行网络搜题的频数进行了问卷调查，并从参与调查的学生中抽取了男、女学生各50人进行抽样分析，得到如下样本频数分布表：

一周时间内进行网络搜题的频数区间	男生频数	女生频数
$[0, 10]$	18	4
$(10, 20]$	10	8
$(20, 30]$	12	13
$(30, 40]$	6	15
$(40, 50]$	4	10

将学生在一周时间内进行网络搜题频数超过20次的行为视为“经常使用网络搜题”，不超过20次的视为“偶尔或不用网络搜题”.

参考公式： $x^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ .

参考数据：

$P (x^{2} \geq m)$	0.050	0.010	0.001
$m$	3.841	6.635	10.828

(1)、根据已有数据，完成下列

2 \times 2

列联表（单位：人）中数据的填写，并判断是否在犯错误的概率不超过

1

%的前提下有把握认为使用网络搜题与性别有关？

	经常使用网络搜题	偶尔或不用网络搜题	合计
男生
女生
合计

(2)、将上述调查所得到的频率视为概率，从该校所有参与调查的学生中，采用随机抽样的方法每次抽取一个人，抽取

4

人，记经常使用网络搜题的人数为

X

，若每次抽取的结果是相互独立的，求随机变量

X

的分布列和数学期望.

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22. 已知函数 $f (x) = \ln (x - 1) - k (x - 1) + 1 (k \in R)$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、若 $f (x) \leq 0$ 在定义域内恒成立，求实数 $k$ 的取值范围；

(3)、证明： $\frac{\ln 2}{3} + \frac{\ln 3}{4} + \frac{\ln 4}{5} + \dots + \frac{\ln n}{n + 1} < \frac{n^{2} - n}{4} (n \geq 2 ， n \in N^{*})$ .

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分值	$[0 ， 10)$	$[10 ， 20)$	$[20 ， 30)$	$[30 ， 40)$
场数	10	20	40	30

广告费用x(万元)	4	2	3	5
销售额y(万元)	49	26	39	54