重庆市2019-2020学年高二下学期数学期末联合检测试卷

试卷更新日期：2020-09-11 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {2, 3, 5, 7}, B = {x | \frac{1}{x - 2} < 1}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、{2} B、{3} C、 ${2, 3}$ D、 ${5, 7}$

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2. 复数 $\frac{10}{3 - i}$ 的共轭复数是（）

A、 $3 + i$ B、 $3 - i$ C、 $- 3 + i$ D、 $- 3 - i$

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3. 在研究某地区高中学生体重与身高间的相关关系的过程中，不会使用到的统计方法是（）

A、随机抽样 B、散点图 C、回归分析 D、独立性检验

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4. 命题“ $\forall x \in R, x^{2} + 2 > 0$ ”的否定为（）

A、 $\forall x \in R, x^{2} + 2 < 0$ B、 $\exists x \in R, x^{2} + 2 ⩽ 0$ C、 $\exists x \in R, x^{2} + 2 ⩾ 0$ D、 $\forall x \in R, x^{2} + 2 ⩽ 0$

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5. 已知函数 $f (x) = a \sin x + b$ 的导函数为 $f^{'} (x)$ ，若 $f^{'} (\frac{π}{3}) = 1$ ，则 $a =$ （）

A、4 B、2 C、1 D、 $\frac{1}{2}$

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6. 设随机变量X服从正态分布 $N (1, σ^{2}) (σ > 0)$ ，若 $P (X < 0) = 0.15$ ，则 $P (0 \leq X \leq 2) =$ （）

A、0.35 B、0.6 C、0.7 D、0.85

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7. 从3位男生､4位女生中选3人参加义工活动，要求男女生都要有，则不同的选法种数为（）

A、24 B、30 C、36 D、40

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8. $(2 x - 1) {(x + 2)}^{5}$ 的展开式中 $x^{3}$ 的系数为（）

A、-80 B、-20 C、120 D、200

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9. 甲､乙､丙三人参加学业水平测试，已知他们通过测试的概率分别为 $\frac{1}{3}, \frac{1}{2}, \frac{2}{3}$ ，且每人是否通过测试相互独立，则这三人中至少有一人通过测试的概率为（）

A、 $\frac{1}{9}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{7}{8}$ D、 $\frac{8}{9}$

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10. 已知曲线 $f (x) = (x + a \ln x) e^{x}$ 在点 $(1 ， e)$ 处的切线经过坐标原点，则 $a =$ （）

A、-e B、-2 C、-1 D、 $e - 2$

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11. 已知函数 $f (x) = a x^{3} + b x + c (b c < 0)$ ，则函数 $y = f (x)$ 的图象可能是（）

A、 B、 C、 D、

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12. 已知 $f^{'} (x)$ 是定义在 $R$ 上的偶函数 $f (x)$ 的导函数，当 $x < 0$ 时， $x f^{'} (x) < 2 f (x)$ ，且 $f (1) = 0$ ，若 $a = \log_{0.5} 3 ， b = {0.5}^{0.3} ， c = \log_{0.5} 0.2$ ，则（）

A、 $f (a) > f (b) > f (c)$ B、 $f (b) > f (a) > f (c)$ C、 $f (c) > f (a) > f (b)$ D、 $f (c) > f (b) > f (a)$

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二、填空题

13. 复数 $z = i (- i - 1)$ 的虚部为.

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14. 已知具有相关关系的两个变量 $x, y$ 的一组观测数据如下表所示，若据此利用最小二乘估计得到回归方程 $\hat{y} = 0.7 x + 0.35$ ，则 $m =$ .

$x$

3

4

5

6

$y$

2.5

$m$

4

4.5

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15. 某旅馆有三人间､两人间､单人间各一间可入住，现有三个成人带两个小孩前来投宿，若小孩不单独入住一个房间(必须有成人陪同)，且三间房都要安排给他们入住，则不同的安排方法有种.

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16. 每次同时抛掷质地均匀的硬币4枚，抛n次 $(n ⩾ 2, n \in N^{*})$ ，各次结果相互独立，记出现至少有1枚硬币面朝上的次数为X，若 $E (X) > 5$ ，则n的最小值为.

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三、解答题

17. 已知二项式 ${(2 \sqrt{x} - \frac{a}{\sqrt{x}})}^{n}$ 的展开式中各项二项式系数的和为256，其中实数a为常数.

(1)、求n的值；

(2)、若展开式中二项式系数最大的项的系数为70，求a的值.

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18.

(1)、已知 $z \in C$ ，解关于z的方程 $(z - 3 i) \cdot \bar{z} = 1 + 3 i$ ；

(2)、已知 $3 + 2 i$ 是关于x的方程 $2 x^{2} + a x + b = 0$ 在复数集内的一个根，求实数a，b的值.

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19. 已知函数 $f (x) = x^{3} - x^{2} - x + 1$ .

(1)、求 $f (x)$ 在点 $(0 ， f (0))$ 处的切线；

(2)、求 $f (x)$ 在区间 $[0 ， 2]$ 上的最大值和最小值.

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20. 新冠病毒肆虐全球，尽快结束疫情是人类共同的期待，疫苗是终结新冠疫情最有力的科技武器，为确保疫苗安全性和有效性，任何疫苗在投入使用前都要经过一系列的检测及临床试验，周期较长.我国某院士领衔开发的重组新冠疫苗在动物猕猴身上进行首次临床试验.相关试验数据统计如下：

	没有感染新冠病毒	感染新冠病毒	总计
没有注射重组新冠疫苗	10	x	A
注射重组新冠疫苗	20	y	B
总计	30	30	60

已知从所有参加试验的猕猴中任取一只，取到“注射重组新冠疫苗”猕猴的概率为 $\frac{5}{12}$ .

(1)、根据以上试验数据判断，能否有99.9%以上的把握认为“注射重组新冠疫苗”有效？

(2)、若从上述已感染新冠病毒的猕猴中任取三只进行病理分析，求至少取到两只注射了重组新冠疫苗的猕猴的概率.

附： $K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (a + c) (c + d) (b + d)}, n = a + b + c + d$

$P (K^{2} ⩾ k)$	0.05	0.010	0.005	0.001
$k$	3.841	6.635	7.879	10.828

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21. 某学校组织教职工运动会，新增加的“趣味乒乓球单打”是这届运动会的热门项目.比赛规则如下：两人对垒，开局前抽签决定由谁先发球(机会均等)，此后均由每个球的赢球者发下一个球.对于每一个球，若发球者赢此球，发球者得1分，对手得0分；若对手赢得此球，发球者得0分，对手得2分；有一人得6分及以上或是两人分差达3分时比赛均结束，得分高者获胜.已知在选手甲和乙的对垒中，甲发球时甲赢得此球的概率是0.6，乙发球时甲赢得此球的概率是0.5，各球结果相互独立.

(1)、假设开局前抽签结果是甲发第一个球，求三次发球后比赛结束的概率；

(2)、在某局3∶3平后，接下来由甲发球，两人又打了X个球后比赛结束，求X的分布列及数学期望.

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22. 已知函数 $f (x) = x^{2} - a \ln x - 2 x$ ， $a \in R$ .

(1)、若函数 $f (x)$ 在 $(0 ， + \infty)$ 内单调递增，求 $a$ 的取值范围；

(2)、若函数 $f (x)$ 存在两个极值点 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，求 $\frac{f (x_{1})}{x_{1}} + \frac{f (x_{2})}{x_{2}}$ 的取值范围.

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$x$	3	4	5	6
$y$	2.5	$m$	4	4.5