江苏省盐城市2019-2020学年高二下学期数学期终考试试卷

试卷更新日期：2020-09-11 类型：期末考试

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一、单选题

1. 设命题p： $\forall x > 0$ ， $x > \sin x$ ，则 $\neg$ p为（）

A、 $\exists x > 0$ ， $x \leq \sin x$ B、 $\forall x > 0$ ， $x \leq \sin x$ C、 $\exists x \leq 0$ ， $x \leq \sin x$ D、 $\forall x \leq 0$ ， $x \leq \sin x$

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2. 已知复数 $z = i + i^{2} + i^{3} + \dots + i^{11}$ ，则 $| z | =$ （）

A、-1 B、1 C、 $\sqrt{5}$ D、11

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3. 在二项式 ${(1 + 2 x)}^{n}$ 的展开式中，有且只有第5项的二项式系数最大，则 $n =$ （）

A、6 B、8 C、7或9 D、10

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4. 低密度脂蛋白是一种运载胆固醇进入外周组织细胞的脂蛋白颗粒，可被氧化成氧化低密度脂蛋白，当低密度脂蛋白，尤其是氧化修饰的低密度脂蛋白过量时，它携带的胆固醇便积存在动脉壁上，久了容易引起动脉硬化，因此低密度脂蛋白被称为“坏的胆固醇”.为了调查某地中年人的低密度脂蛋白浓度是否与肥胖有关，随机调查该地100名中年人，得到2×2列联表如下：

	肥胖	不肥胖	总计
低密度脂蛋白不高于 $3.1 mmol / L$	12	63	75
低密度脂蛋白高于 $3.1 mmol / L$	8	17	25
总计	20	80	100

由此得出的正确结论是（）

A、有10%的把握认为“该地中年人的低密度脂蛋白浓度与肥胖有关” B、有10%的把握认为“该地中年人的低密度脂蛋白浓度与肥胖无关” C、有90%的把握认为“该地中年人的低密度脂蛋白浓度与肥胖有关” D、有90%的把握认为“该地中年人的低密度脂蛋白浓度与肥胖无关”

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5. 著名的斐波那契数列 ${a_{n}}$ 满足： $a_{1} = a_{2} = 1$ ， $a_{n + 2} = a_{n + 1} + a_{n}$ .人们通过研究发现其有许多优美的性质，如：记黄金分割比 $\frac{\sqrt{5} - 1}{2} = k \approx 0.618$ ，若 $\frac{a_{n}}{a_{n + 1}} > k$ ，则 $\frac{a_{n + 1}}{a_{n + 2}} < k$ ；反之亦然.现记 $b_{n} = \frac{a_{n}}{a_{n + 1}}$ ，若从数列 ${b_{n}}$ 的前7项中随机抽取2项，则这2项都大于k的概率为（）

A、 $\frac{4}{7}$ B、 $\frac{1}{7}$ C、 $\frac{5}{7}$ D、 $\frac{2}{7}$

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6. 若平行六面体 $A B C D — A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的底面 $A B C D$ 是边长为2的菱形，且 $∠ B A D = 60 °$ ， $A A_{1}$ ⊥底面ABCD， $A A_{1} = 1$ ，则异面直线 $A C_{1}$ 与 $B_{1} C$ 所成角的余弦值为（）

A、 $\frac{\sqrt{65}}{13}$ B、 $- \frac{\sqrt{65}}{13}$ C、 $\frac{1}{5}$ D、 $- \frac{1}{5}$

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7. $A$ 、 $B$ 、 $C$ 、 $D$ 四名学生报名参加学校的甲、乙、丙、丁四个社团，若学生 $A$ 不参加甲社团， $B$ 不参加乙社团，且四名学生每人报一个社团，每个社团也只有一人报名，则不同的报名方法数有（）

A、14 B、18 C、12 D、4

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8. 下列实数m的取值范围中，能使关于x的不等式 $\ln (x + m) \leq m x$ 恒成立的是（）

A、 $(- 1 ， 1)$ B、 $(0 ， 2)$ C、 $(\frac{\sqrt{2}}{2} ， 1]$ D、 $[1 ， \sqrt{2})$

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9. 设命题p：若 $f (x) > f (0)$ 对任意的x $\in$ (0，2]都成立，则 $f (x)$ 在[0，2]上是增函数，下列函数中能说明命题p为假命题的有（）

A、 $f (x) = \sin x$ B、 $f (x) = x^{2}$ C、 $f (x) = \frac{1}{3} x^{3} - x^{2} + x + 1$ D、 $f (x) = e^{x} - 2 \ln (x + 1)$

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二、多选题

10. 设点F､直线l分别是椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ (a>b>0)的右焦点､右准线，点P是椭圆C上一点，记点P到直线l的距离为d，椭圆C的离心率为e，则 $d > 2 | P F |$ 的充分不必要条件有（）

A、e $\in$ (0， $\frac{1}{2}$ ) B、e $\in$ ( $\frac{1}{8}$ ， $\frac{1}{4}$ ) C、e $\in$ ( $\frac{1}{4}$ ， $\frac{1}{2}$ ) D、e $\in$ ( $\frac{1}{2}$ ，1)

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11. 为了对变量 $x$ 与 $y$ 的线性相关性进行检验，由样本点 $(x_{1} ， y_{1})$ 、 $(x_{2} ， y_{2})$ 、 $\dots$ 、 $(x_{10} ， y_{10})$ 求得两个变量的样本相关系数为 $r$ ，那么下面说法中错误的有（）

A、若所有样本点都在直线 $y = - 2 x + 1$ 上，则 $r = 1$ B、若所有样本点都在直线 $y = - 2 x + 1$ 上，则 $r = - 2$ C、若 $| r |$ 越大，则变量 $x$ 与 $y$ 的线性相关性越强 D、若 $| r |$ 越小，则变量 $x$ 与 $y$ 的线性相关性越强

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12. 设 $d$ ， $S_{n}$ 分别为等差数列 ${a_{n}}$ 的公差与前 $n$ 项和，若 $S_{10} = S_{20}$ ，则下列论断中正确的有（）

A、当 $n = 15$ 时， $S_{n}$ 取最大值 B、当 $n = 30$ 时， $S_{n} = 0$ C、当 $d > 0$ 时， $a_{10} + a_{22} > 0$ D、当 $d < 0$ 时， $| a_{10} | > | a_{22} |$

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三、填空题

13. 已知随机变量 $X$ 服从正态分布 $N (10 ， σ^{2})$ ， $σ > 0$ ，且 $P (X \leq 16) = 0.76$ ，则 $P (4 < X \leq 10)$ 的值为.

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14. 在二项式 ${(\sqrt{x} + \frac{2}{\sqrt[4]{x}})}^{10}$ 的展开式中，有理项的个数为.

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15. 若正实数x，y满足 $y (x - y) = 1$ ，则2x+y的最小值为.

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四、双空题

16. 设过双曲线C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ (a>0，b>0)的右焦点F(c，0)的直线l与其一条渐近线垂直相交于点A，则点A的横坐标可用a，c表示为；若l与另一条渐近线交于点B，且 $\vec{F B} = 4 \vec{F A}$ ，则C的离心率为.

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五、解答题

17. 设函数 $f (x) = - \ln x + m x^{2} - 2 x$ (m $\in$ R).

(1)、当 $m = 1$ 时，求函数 $f (x)$ 在 $x = 1$ 处的切线方程；

(2)、当 $m = \frac{3}{2}$ 时，求函数 $f (x)$ 的单调增区间.

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18. ① $a_{4} + a_{5} = 16$ ；② $S_{3} = 9$ ；③ $S_{n} = n^{2} + r$ （ $r$ 为常数）这 $3$ 个条件中选择 $1$ 个条件，补全下列试题后完成解答，设等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若数列 ${a_{n}}$ 的各项均为正整数，且满足公差 $d > 1$ ，____________.

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、令 $b_{n} = 2^{a_{n}} + 1$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项的和.

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19. 如图，在斜三棱柱 $A B C — A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，AB=1，AC=2， $A_{1} C = 3$ ，AB⊥AC， $A_{1} C ⊥$ 底面ABC.

(1)、求直线 $B_{1} C$ 与平面 $A C C_{1} A_{1}$ 所成角的正弦值；

(2)、求平面 $A C C_{1} A {}_{1}$ 与平面 $A B_{1} C$ 所成锐二面角的余弦值.

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20. 我国全力抗击“新冠疫情”对全球做出了巨大贡献，广大中小学生在这场“战疫”中也通过各种方式作出了贡献.某校团委准备组织一次“网上战疫”的宣传活动，活动包含4项子活动.现随机抽取了5个班级中的25名同学进行关于活动方案的问卷调查，其中关于4项子活动的赞同情况统计如下：

班级代码	A	B	C	D	E	合计
4项子活动全部赞同的人数	3	4	8	3	2	20
4项子活动不全部赞同的人数	1	1	0	2	1	5
合计问卷调查人数	4	5	8	5	3	25

现欲针对4项子活动的活动内容作进一步采访调研，每项子活动采访1名学生.

(1)、若每项子活动都从这25名同学中随机选取1人采访，求4次采访中恰有1次采访的学生对“4项子活动不全部赞同”的概率；

(2)、若从A班和E班的被问卷调查者中各随机选取2人作为采访调研的对象，记选取的4人中“4项子活动全部赞同”的人数为X，求随机变量X的分布列与数学期望

E (X)

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21. 如图，平面直角坐标系xOy中，已知直线l与抛物线C： $y^{2} = 4 x$ 切于点P( $x_{0}$ ， $y_{0}$ )， $x_{0} \neq 0$ .

(1)、用 $y_{0}$ 表示直线l的斜率；

(2)、若过点P与直线l垂直的直线交抛物线C于另一点Q，且OP⊥OQ，求 $x_{0}$ 的值.

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22. 设函数 $f (x) = e^{x - 1} + a x^{2} - (2 a + 1) x$ （其中 $a$ 为实数）.

(1)、若 $a > 0$ ，求 $f (x)$ 零点的个数；

(2)、求证：若 $x = 1$ 不是 $f (x)$ 的极值点，则 $f (x)$ 无极值点.

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