江苏省连云港市2019-2020学年高二下学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2020-09-11 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知 $i$ 为虚数单位，复数 $z = 4 - 5 i$ ，则 $z$ 的虚部是（）

A、 $5 i$ B、5 C、 $- 5 i$ D、-5

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2. 已知随机变量Z~N(0，1)，且P(Z＜2)＝a，则P(﹣2＜Z＜2)＝（）

A、2a B、2a﹣1 C、1﹣2a D、2(1﹣a)

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3. 若4名学生报名参加数学、物理、化学兴趣小组，每人选报1项，则不同的报名方式有（）

A、3⁴种 B、4³种 C、 $A_{3}^{3}$ 种 D、 $A_{4}^{3}$ 种

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4. 设随机变量X的概率分布如下表所示，且E(X)＝2.5，则a﹣b＝（）

A、 $\frac{3}{4}$ B、 $\frac{3}{8}$ C、 $\frac{3}{16}$ D、 $\frac{3}{32}$

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5. 如图，在正四棱柱ABCD—A₁B₁C₁D₁中，AB＝2BB₁ ， P为B₁C₁的中点.则异面直线AC与BP所成的角为（）

A、90° B、60° C、45° D、30°

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6. 甲、乙两人投篮，投中的概率分别为0.6，0.7，若两人各投2次，则两人投中次数不等的概率是（）

A、0.6076 B、0.7516 C、0.3924 D、0.2484

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7. 4个不同的小球放入编号为1，2，3，4的4个盒子中，则恰有2个空盒的放法有（）

A、144种 B、120种 C、84种 D、60种

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8. 已知函数 $f (x) = e^{x} - a x^{2}$ (a $\in$ R)有三个不同的零点，则实数a的取值范围是（）

A、( $\frac{e}{4}$ ， $+ \infty$ ) B、( $\frac{e}{2}$ ， $+ \infty$ ) C、( $\frac{e^{2}}{4}$ ， $+ \infty$ ) D、( $\frac{e^{2}}{2}$ ， $+ \infty$ )

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二、多选题

9. 已知m，n是两条不重合的直线， $α$ ， $β$ ， $γ$ 是三个两两不重合的平面，下列命题是真命题的有（）

A、若m⊥ $α$ ，m⊥ $β$ ，则 $α$ ∥ $β$ B、若m $\subset$ $α$ ，n $\subset$ $β$ ，m∥n，则 $α$ ∥ $β$ C、若m，n是异面直线，m $\subset$ $α$ ，m∥ $β$ ，n $\subset$ $β$ ，n∥ $α$ ，则 $α$ ∥ $β$ D、若 $α$ ⊥ $γ$ ， $β$ ⊥ $γ$ ，则 $α$ ∥ $β$

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10. 关于排列组合数，下列结论正确的是（）

A、 $C_{n}^{m} = C_{n}^{n - m}$ B、 $C_{n + 1}^{m} = C_{n}^{m - 1} + C_{n}^{m}$ C、 $A_{n}^{m} = m A_{n - 1}^{m - 1}$ D、 $A_{n}^{m} + m A_{n}^{m - 1} = A_{n + 1}^{m}$

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11. 为弘扬我国古代的“六艺文化”，某夏令营主办单位计划利用暑期开设“礼”“乐”“射”“御”“书”“数”六门体验课程，每周一门，连续开设六周.则（）

A、某学生从中选3门，共有30种选法 B、课程“射”“御”排在不相邻两周，共有240种排法 C、课程“礼”“书”“数”排在相邻三周，共有144种排法 D、课程“乐”不排在第一周，课程“御”不排在最后一周，共有504种排法

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12. 已知函数 $f (x) = \ln x + \frac{1}{x}$ ，则（）

A、函数 $f (x)$ 的递减区间是( $- \infty$ ，1) B、函数 $f (x)$ 在(e， $+ \infty$ )上单调递增 C、函数 $f (x)$ 的最小值为1 D、若 $f (m) = f (n) (m \neq n)$ ，则m＋n＞2

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三、填空题

13. 已知i为虚数单位，设 $z_{1} = 2 + 3 i$ ， $z_{2} = m - i (m \in R)$ ，若 $\frac{z_{1}}{z_{2}}$ 为实数，则m＝.

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14. 已知函 $f (x)$ ＝tanx，那么 $f^{'} (\frac{π}{6})$ ＝.

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15. 若 ${(x - \frac{1}{a x})}^{6}$ 的二项展开式中常数项为 $- \frac{5}{2}$ ，则常数a的值是.

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四、双空题

16. 棱长为12的正四面体ABCD与正三棱锥E—BCD的底面重合，若由它们构成的多面体ABCDE的顶点均在一球的球面上，则正三楼锥E—BCD的体积为，该正三棱锥内切球的半径为.

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五、解答题

17. 江苏省新高考方案要求考生在物理、历史科目中选择一科，我市在对某校高一年级学生的选科意愿调查中，共调查了100名学生，其中男、女生各50人，男生中选历史15人，女生中选物理10人.
附： $x^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ .

$P (χ^{2} \geq x_{0})$

0.010

0.005

0.001

$x_{0}$

6.635

7.879

10.828

(1)、请根据以上数据建立一个 $2 \times 2$ 列联表；

(2)、判断性别与选科是否相关.

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18. 已知 ${(3 x - 1)}^{n}$ 的展开式中，第5项与第3项的二项式系数之比为14：3.

(1)、求正整数n；

(2)、若 ${(3 x - 1)}^{n} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + \dots + a_{n} x^{n}$ ，求 $\sum_{i = 1}^{n} | a_{i} |$ .

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19. 今年年初，我市某医院计划从3名医生、5名护士中随机选派4人参加湖北新冠肺炎疫情狙击战.

(1)、求选派的4人中至少有2名医生的概率；

(2)、设选派的4人中医生人数为X，求X的概率分布和数学期望.

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20. 已知函数 $f (x) = \frac{1}{3} a x^{3} - \frac{1}{2} x^{2} + 1 (a > 0)$ .

(1)、若函数 $f (x)$ 的图象与直线6x﹣3y﹣7＝0相切，求实数a的值；

(2)、求 $f (x)$ 在区间[﹣1，1]上的最大值.

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21. 如图，在三棱柱ABC—A₁B₁C₁中，已知∠A₁AC＝60°，∠BAC＝45°，A₁B＝A₁A＝AC＝2，AB＝ $\sqrt{2}$ .

(1)、求证：平面ACC₁A₁⊥平面ABC；

(2)、求二面角B₁—A₁B—C大小的余弦值.

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22. 已知函数 $f (x) = x \ln (x + 1) - a x^{2} + 1 (a \in R)$

(1)、若 $h (x) = f^{'} (x)$ 在(﹣1， $+ \infty$ )上是单调递增函数，求实数a的取值范围；

(2)、若 $f (x)$ 在(﹣1， $+ \infty$ )上是单调递减函数，求实数a的取值集合.

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$P (χ^{2} \geq x_{0})$	0.010	0.005	0.001
$x_{0}$	6.635	7.879	10.828