湖南省怀化市2019-2020学年高二下学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2020-09-11 类型：期末考试

进入出卷网下载

一、单选题

1. 设集合 $A = {x \in Z | x^{2} - 3 x - 4 \leq 0}$ ， $B = {x | x - 2 < 1}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 ${- 1 ， 0 ， 1 ， 2}$ B、 $[- 1 ， 2)$ C、 ${- 1 ， 0 ， 1}$ D、 $[- 1 ， 2]$

查看试题解析
2. $i$ 是虚数单位， $z = \frac{4 i}{1 - i}$ 则 $| z | =$ （）

A、2 B、 $2 \sqrt{2}$ C、4 D、 $4 \sqrt{2}$

查看试题解析
3. 设 $a = \log_{2019} \sqrt{2020 ，} b = \log_{2020} \sqrt{2019} ，$ $c = 2019^{\frac{1}{2000}}$ ，则 $a ， b ， c$ 的大小关系是（）

A、 $a > b > c$ B、 $a > c > b$ C、 $c > a > b$ D、 $c > b > a$

查看试题解析
4. 已知各项均为正数的等比数列 ${a_{n}}$ 的前4项和为15，且 $a_{6} = 3 a_{4} + 4 a_{2}$ ，则 $a_{3} =$ （）

A、16 B、8 C、4 D、2

查看试题解析
5. 如图所示的函数图象，对应的函数解析式可能是（）

A、 $y = 2^{x} - x^{2} - 1$ B、 $y = 2 x \sin x$ C、 $y = \frac{x}{\ln x}$ D、 $y = (x^{2} - 2 x) e^{x}$

查看试题解析
6. 下列有关命题的说法正确的是（）

A、若命题 $p$ ： $\exists x_{0} \in R$ ， $e^{x_{0}} < 1$ ，则命题 $\neg p$ ： $\forall x \in R$ ， $e^{x} \geq 1$ B、“ $\sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}$ ”的一个必要不充分条件是“ $x = \frac{π}{3}$ ” C、若 $| \vec{a} + \vec{b} | = | \vec{a} | - | \vec{b} |$ ，则 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ D、 $α$ ， $β$ 是两个平面， $m$ ， $n$ 是两条直线，如果 $m ⊥ n$ ， $m ⊥ α$ ， $n // β$ ，那么 $α ⊥ β$

查看试题解析
7. 设甲、乙两人每次射击命中目标的概率分别为 $34$ 和 $45$ ，且各次射击相互独立，若按甲、乙、甲、乙的次序轮流射击，直到有一人击中目标就停止射击，则停止射击时，甲射击了两次的概率是（）

A、920 B、925 C、380 D、19400

查看试题解析
8. 已知 $f (x)$ 是 $R$ 上的偶函数， $f (x + π) = f (x)$ ，当 $0 \leq x \leq \frac{π}{2}$ 时， $f (x) = \sin x$ ，则函数 $y = f (x) - \lg | x |$ 的零点个数是（）

A、12 B、10 C、6 D、5

查看试题解析

二、多选题

9. 已知抛物线 $x^{2} = \frac{1}{2} y$ 的焦点为 $F$ ， $M (x_{1} ， y_{1})$ ， $N (x_{2} ， y_{2})$ 是抛物线上两点，则下列结论正确的是（）

A、点 $F$ 的坐标为 $(\frac{1}{8} ， 0)$ B、若直线 $M N$ 过点 $F$ ，则 $x_{1} x_{2} = - \frac{1}{16}$ C、若 $\vec{M F} = λ \vec{N F}$ ，则 $| M N |$ 的最小值为 $\frac{1}{2}$ D、若 $| M F | + | N F | = \frac{3}{2}$ ，则线段 $M N$ 的中点 $P$ 到 $x$ 轴的距离为 $\frac{5}{8}$

查看试题解析
10. 已知 $A$ ， $B$ ， $C$ 三点均在球 $O$ 的表面上， $A B = B C = C A = 2$ ，且球心 $O$ 到平面 $A B C$ 的距离等于球半径的 $\frac{1}{3}$ ，则下列结论正确的是（）

A、球 $O$ 的半径为 $\frac{3}{2}$ B、球 $O$ 的表面积为 $6 π$ C、球 $O$ 的内接正方体的棱长为 $\sqrt{6}$ D、球 $O$ 的外切正方体的棱长为 $\sqrt{6}$

查看试题解析
11. 设 $f (x) = a \sin 2 x + b \cos 2 x$ （ $a$ ， $b \in R$ ， $a b \neq 0$ ），若 $f (x) \leq | f (\frac{π}{3}) |$ 对一切 $x \in R$ 恒成立，给出以下结论，其中正确结论为（）

A、函数 $f (x)$ 的周期为 $π$ B、 $f (\frac{π}{12}) = 0$ C、 $| f (\frac{5 π}{12}) | = | f (\frac{11 π}{12}) |$ D、 $f (x)$ 的单调递增区间是 $[k π + \frac{π}{3} ， k π + \frac{5 π}{6}] (k \in Z)$

查看试题解析
12. 已知 $f (x) = \frac{\ln x}{x}$ ，下列结论正确的是（）

A、 $f (x)$ 在 $(0 ， e)$ 上单调递增 B、 $f (2) > f (3)$ C、 $f (x)$ 的图象在点 $(1 ， 0)$ 处的切线方程为 $y = x$ D、若关于 $x$ 的不等式 ${(\frac{1}{x})}^{\frac{λ}{x}} \leq \frac{1}{27}$ 有正整数解，则 $λ \geq 9$

查看试题解析

三、填空题

13. 若 ${(2 - 3 x)}^{6} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + \dots + a_{6} x^{6}$ ，则 $a_{1} + a_{2} + a_{3} + \dots + a_{6}$ 等于.

查看试题解析
14. 已知 $S_{n}$ 是等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和，若 $a_{1} = - 2$ ， $\frac{S_{2020}}{2020} - \frac{S_{2018}}{2018} = 2$ ，则 $\frac{S_{2019}}{2019} =$ .

查看试题解析
15. 已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的离心率为2，过右焦点且垂直于 $x$ 轴的直线与双曲线交于 $A ， B$ 两点. 设 $A ， B$ 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为 $d_{1}$ 和 $d_{2}$ ，且 $d_{1} + d_{2} = 6$ ，则双曲线的方程为．

查看试题解析

四、双空题

16. 在面积为1的平行四边形 $A B C D$ 中， $∠ D A B = \frac{π}{6}$ ，则 $\vec{A B} \cdot \vec{B C} =$ ；点P是直线 $A D$ 上的动点，则 ${\vec{P B}}^{2} + {\vec{P C}}^{2} - \vec{P B} \cdot \vec{P C}$ 的最小值为.

查看试题解析

五、解答题

17. 已知等比数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{2} = 2$ ，且 $a_{2}$ ， $a_{3} + 1$ ， $a_{4}$ 成等差数列.

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设 $b_{n} = a_{n} - 2 n + 1$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

查看试题解析
18. 已知 $△ A B C$ 中，内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ， $a \cos C + c \cos A = b \sin B$ ， $b = 2 c$ ，

(1)、求角 $C$ 的大小；

(2)、若点 $D$ 与点 $B$ 在 $A C$ 两侧，且满足 $A D = 2$ ， $A B = 1$ ，求平面四边形 $A B C D$ 面积的最大值.

查看试题解析
19. 如图，在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A A_{1} ⊥$ 底面 $A B C$ ， $Δ A B C$ 是边长为2的正三角形， $A A_{1} = 3$ ，D，E分别为 $A B$ ， $B C$ 的中点.

(1)、求证： $C D ⊥$ 平面 $A A_{1} B_{1} B$ ；

(2)、求二面角 $B - A E - B_{1}$ 的余弦值.

查看试题解析

20. 近年来，我国大学生毕业人数基数大而且增长不断加快，大学毕业生的就业压力非常大，大学生就业已经成为社会关注的热点问题.在某大型公司的赞助下，某大学就业部从该大学2019届已就业的

A

，

B

两个专业的大学本科毕业生中随机抽取了200人进行月薪情况的问卷调查，经统计发现他们的月薪收入在3000元到9000元之间，具体统计数据如下表：

月薪/百元	$[30 ， 40)$	$[40 ， 50)$	$[50 ， 60)$	$[60 ， 70)$	$[70 ， 80)$	$[80 ， 90)$
人数	20	36	44	50	40	10

将月薪不低于7000元的毕业生视为“高薪收入群体”，月薪低于7000元的毕业生视为“非高薪收入群体”，并将频率视为概率，已知该校2019届大学本科毕业生小明参与了本次调查问卷，其月薪为3500元.

附：

$P (K^{2} \geq k_{0})$	0.025	0.010	0.005
$k_{0}$	5.024	6.635	7.879

$K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (a + c) (c + d) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ ， $\sqrt{190} \approx 14$ .

(1)、请根据上述表格中的统计数据填写下面的

2 \times 2

列联表，并通过计算判断，能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为“高薪收入群体”与所学专业有关.

	非高薪收入群体	高薪收入群体	合计
$A$ 专业
$B$ 专业		20	110
合计

(2)、经统计发现该大学2019届的大学本科毕业生月薪

X

（单位：百元）近似地服从正态分布

N (μ ， 190)

，其中

μ

近似为样本平均数

\bar{x}

（每组数据取区间的中点值作代表）.若

X

落在区间

(μ - 2 σ ， μ + 2 σ)

外的左侧，则可认为该本科毕业生属于“就业不理想”的学生，学校将联系本人，咨询月薪过低的原因，为以后的毕业生就业提供更好的指导.

①试判断小明是否属于“就业不理想”的学生；

②该大型公司为这次参与调查的大学本科毕业生制定了赠送话费的活动，赠送方式为：月薪低于 $μ$ 的获赠两次随机话费；月薪不低于 $μ$ 的获赠一次随机话费.每次赠送的话费 $Z$ 及对应的概率如下：

赠送话费 $Z$ /元	60	120	180
概率	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{3}$	$\frac{1}{6}$

求小明获得的话费总金额的数学期望.

查看试题解析

21. 已知函数 $f (x) = \ln x - \frac{x - 1}{a}$ .

(1)、当 $a = 1$ 时，求 $f (x)$ 的最大值.

(2)、若 $f (x)$ 在区间 $(2 ， e)$ 上存在零点，求实数 $a$ 的取值范围.

查看试题解析
22. 如图，设椭圆 $x 2 a 2 + y 2 = 1$ （a＞1）. $| A P | = 1 + k 2 | x 1 - x 2 | = 2 a 2 | k | 1 + a 2 k 2 \cdot 1 + k 2$

（Ⅰ）求直线y=kx+1被椭圆截得的线段长（用a、k表示）；

（Ⅱ）若任意以点A（0，1）为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点，求椭圆离心率的取值范围.

查看试题解析