河南省驻马店市2019-2020学年高二下学期理数期末考试试卷

试卷更新日期：2020-09-11 类型：期末考试

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一、单选题

1. 设 $z = - 2 + 3 i$ ，则在复平面内 $\bar{z}$ 对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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2. 若双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的离心率为2，则其渐近线方程为（）

A、 $y = \pm \sqrt{2} x$ B、 $y = \pm \sqrt{3} x$ C、 $y = \pm 2 x$ D、 $y = \pm 3 x$

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3. 在下列结论中，正确的是（）

A、“ $x < 2$ ”是“ $x^{2} - 5 x + 6 > 0$ ”的必要不充分条件 B、若 $p \lor q$ 为真命题，则p，q均为真命题 C、命题“若 $x^{2} - 3 x + 2 = 0$ ，则 $x = 1$ ”的否命题为“若 $x^{2} - 3 x + 2 = 0$ ，则 $x \neq 1$ ” D、已知命题 $p : \forall x \in (0, + \infty)$ ，都有 $x^{2} + x - 1 > 0$ ，则 $\neg p : \exists x_{0} \in (0, + \infty)$ ，使 $x_{0}^{2} + x_{0} - 1 \leq 0$

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4. 用数学归纳法证明： $(n + 1) (n + 2) \dots (n + n) = 2^{n} \times 1 \times 3 \times \dots \times (2 n - 1) (n \in N^{*})$ 时，从“ $n = k$ 到 $n = k + 1$ ”等式左边的变化结果是（）

A、增乘一个因式 $(2 k + 1)$ B、增乘两个因式 $(2 k + 1)$ 和 $(2 k + 2)$ C、增乘一个因式 $2 (2 k + 1)$ D、增乘 $(2 k + 1)$ 同时除以 $(k + 1)$

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5. 若两条不重合直线 $l_{1}$ 和 $l_{2}$ 的方向向量分别为 $\vec{ν_{1}} = (1, 0, - 1)$ ， $\vec{ν_{2}} = (- 2, 0, 2)$ ，则 $l_{1}$ 和 $l_{2}$ 的位置关系是（）

A、平行 B、相交 C、垂直 D、不确定

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6. 在对具有线性相关的两个变量 $x$ 和 $y$ 进行统计分析时，得到如下数据：
$x$
4
$m$
8
10
12
$y$
1
2
3
5
6
由表中数据求得 $y$ 关于 $x$ 的回归方程为 $\hat{y} = 0.65 x - 1.8$ ，则 $(4 ， 1)$ ， $(m ， 2)$ ， $(8 ， 3)$ 这三个样本点中落在回归直线下方的有（）个

A、1 B、2 C、3 D、0

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7. 设函数 $f (x) = {(x + a)}^{n}$ 其中 $n = 6 \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos x d x$ ， $\frac{f^{'} (0)}{f (0)} = - 3$ ，则 $f (x)$ 的展开式中 $x^{2}$ 的系数为（）

A、-60 B、60 C、-240 D、240

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8. 在△ $A B C$ 中，若 $\sin A : \sin B : \sin C = 2 : \sqrt{7} : 3$ ，则△ $A B C$ 的最大内角与最小内角的和为（）

A、 $\frac{7 π}{12}$ B、 $\frac{5 π}{6}$ C、 $\frac{3 π}{4}$ D、 $\frac{2 π}{3}$

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9. 已知正实数x，y满足 $x + 2 y = 2 x y$ .则 $x + y$ 的最小值为（）

A、4 B、 $\sqrt{2}$ C、 $\sqrt{3}$ D、 $\sqrt{2} + \frac{3}{2}$

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10. 2020年教育部决定在部分高校中开展基础学科招生考试试点（也称为强基计划），某高校计划让参加“强基计划”招生的学生从8个试题中随机挑选4个进行作答，至少答对3个才能通过初试.已知在这8个试题中甲能够答对6个，则甲通过初试的概率为（）

A、 $\frac{11}{14}$ B、 $\frac{13}{15}$ C、 $\frac{3}{4}$ D、 $\frac{5}{6}$

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11. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{16} = 1$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ ，点P在椭圆上且异于长轴端点，点M，N在△ $P F_{1} F_{2}$ 所围区域之外，且始终满足 $\vec{M P} \cdot \vec{M F_{1}} = 0$ ， $\vec{N P} \cdot \vec{N F_{2}} = 0$ ，则 $| M N |$ 的最大值为（）

A、8 B、7 C、10 D、9

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12. 已知函数 $f (x) = e^{x} - x - 1$ ，数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且满足 $a_{1} = \frac{1}{2}$ ， $a_{n + 1} = f (a_{n})$ ，则下列有关数列 ${a_{n}}$ 的叙述正确的是（）

A、 $a_{2} > \frac{1}{4}$ B、 $a_{6} < a_{7}$ C、 $S_{100} < 26$ D、 $a_{5} > | 4 a_{2} - 3 a_{1} |$

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二、填空题

13. 已知函数 $f (x) = 2 x^{2} - \ln x + 1$ ，则 $f (x)$ 的单调减区间为.

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14. 平面几何中直角三角形勾股定理是我们熟知的内容，即“在 $Rt △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ，则 $A C^{2} + B C^{2} = A B^{2}$ ”；在立体几何中类比该性质，在三棱锥 $P - A B C$ 中，若平面PAB，平面PAC，平面PBC两两垂直，记 $△ P A B$ ， $△ P A C$ ， $△ P B C$ ， $△ A B C$ 的面积分别是 $S_{1}$ ， $S_{2}$ ， $S_{3}$ ， $S_{4}$ ，则 $S_{1}$ ， $S_{2}$ ， $S_{3}$ ， $S_{4}$ 关系为.

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15. 某医疗研究所为了了解某种血清预防感冒的作用，把500名使用过该血清的人与另外500名未使用该血清的人一年中的感冒记录作比较，提出假设H₀：“这种血清不能起到预防感冒的作用”．已知利用2×2列联表计算得K²≈3.918，经查临界值表知P(K²≥3.841)≈0.05.则下列结论中，正确结论的序号是．
①有95%的把握认为“这种血清能起到预防感冒的作用”；②若某人未使用该血清，那么他在一年中有95%的可能性得感冒；③这种血清预防感冒的有效率为95%；④这种血清预防感冒的有效率为5%.

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16. 在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，E，F分别为线段 $A_{1} B_{1}$ ，AB的中点，O为四棱锥 $E - C_{1} D_{1} D C$ 的外接球的球心，点M，N分别是直线 $D D_{1}$ ，EF上的动点，记直线OC与MN所成的角为 $θ$ ，则当 $θ$ 最小时， $\tan θ =$ .

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三、解答题

17. 已知 ${a_{n}}$ 是单调递减的等比数列， $a_{2} = \frac{1}{4}$ ，且 $a_{1}, a_{2} + \frac{1}{16}, a_{3}$ 成等差数列．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设 $b_{n} = \frac{2}{\log_{2} a_{2 n - 1} \cdot \log_{2} a_{2 n + 1}}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前50项和 $T_{50}$ ．

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18. 如图，在五面体 $A B C D E F$ 中，四边形 $A B C D$ 为矩形， $△ A B F$ 为等边三角形，且平面 $A B F ⊥$ 平面 $A D E F$ ， $B C = \sqrt{2} A B$ .

(1)、证明：平面 $A B F ⊥$ 平面 $A B C D$ ；

(2)、若 $A E ⊥ C E$ ，求二面角 $E - C D - A$ 的余弦值.

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19. 在直角坐标系xOy中，已知点 $A (- 3, 3)$ ， $B (3, 3)$ ，直线AM，BM交于点M，且直线AM与直线BM的斜率满足： $k_{A M} - k_{B M} = - 2$ ．

(1)、求点M的轨迹C的方程；

(2)、设直线l交曲线C于P，Q两点，若直线AP与直线AQ的斜率之积等于 $- 3$ ，证明：直线l过定点．

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20. 已知函数 $f (x) = m \ln x - 2 x^{2} (m \in R)$ ．

(1)、若 $m = 2$ ，求 $y = f (x)$ 在 $x = 1$ 处的切线方程；

(2)、若对 $\forall x \in [1 ， + \infty)$ ，不等式 $f (x) \leq - 2$ 恒成立，求实数 $m$ 的取值范围．

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21. 甲、乙两厂均生产某种零件.根据长期检测结果：甲、乙两厂生产的零件质量（单位：

g

）均服从正态分布

N (μ, σ^{2})

，在出厂检测处，直接将质量在

(μ - 3 σ, μ + 3 σ)

之外的零件作为废品处理，不予出厂；其它的准予出厂，并称为正品.

(1)、出厂前，从甲厂生产的该种零件中抽取10件进行检查，求至少有1片是废品的概率；

(2)、若规定该零件的“质量误差”计算方式为：该零件的质量为

x g

，则“质量误差”

| x - x_{0} | g

.按标准，其中“优等”、“一级”、“合格”零件的“质量误差”范围分别是

[0, 0.3)

，

[0.3, 0.6)

、

[0.6, 1.0]

（正品零件中没有“质量误差”大于

1.0 g

的零件），每件价格分别为75元、65元、50元.现分别从甲、乙两厂生产的正品零件中随机抽取100件，相应的“质量误差”组成的样本数据如下表（用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率）：

质量误差	$[0, 0.1)$	$[0.1, 0.2)$	$[0.2, 0.3)$	$[0.3, 0.4)$	$[0.4, 0.5)$	$[0.5, 0.6)$	$[0.6, 0.7]$
甲厂频数	10	30	30	5	10	5	10
乙厂频数	25	30	25	5	10	5	0

（ⅰ）记甲厂该种规格的2件正品零件售出的金额为 $X$ （元），求 $X$ 的分布列及数学期望 $E (X)$ ；

（ⅱ）由上表可知，乙厂生产的该规格的正品零件只有“优等”、“一级”两种，求5件该规格零件售出的金额不少于360元的概率.

附：若随机变量 $Z \sim N (μ, σ^{2})$ .则 $P (μ - 3 σ < Z < μ + 3 σ) = 0.9974$ ； ${0.9974}^{10} \approx 0.9743$ ， ${0.8}^{4} = 0.4096$ ， ${0.8}^{5} = 0.32768$ .

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22. 在平面直角坐标系xOy中，直线 $C_{1}$ 的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = - 2 \sqrt{3} + t \cos α \\ y = t \sin α \end{array}$ （t为参数， $α$ 为倾斜角），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 $C_{2}$ 的极坐标方程为 $ρ^{2} = \frac{4}{1 + 3 \sin^{2} θ}$ ，在平面直角坐标系xOy中，将曲线 $C_{2}$ 上所有点的横坐标不变，纵坐标伸长为原来的2倍，再向上平移2个单位长度得到曲线 $C_{3}$ ．

(1)、求曲线 $C_{2}$ 、 $C_{3}$ 的直角坐标方程；

(2)、直线 $C_{1}$ 与曲线 $C_{3}$ 相交于E，F两个不同的点，点P的极坐标为 $(2 \sqrt{3} ， π)$ ，若 $2 | E F | = | P E | + | P F |$ ，求直线 $C_{1}$ 的普通方程．

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23. 已知函数 $f (x) = m - | x - 1 | - 2 | x + 1 |$ ．

(1)、当 $m = 5$ 时，求不等式 $f (x) > 1$ 的解集；

(2)、若两函数 $y = x^{2} + 2 x + 2$ 与 $y = f (x)$ 的图象恒有公共点，求实数m的取值范围．

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$x$	4	$m$	8	10	12
$y$	1	2	3	5	6