2020年江苏省中考数学分类汇编专题13 锐角三角函数

试卷更新日期：2020-09-10 类型：二轮复习

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一、单选题

1. 下列选项错误的是（）

A、 $\cos 60 ° = \frac{1}{2}$ B、 $a^{2} \cdot a^{3} = a^{5}$ C、 $\frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ D、 $2 (x - 2 y) = 2 x - 2 y$

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2. 如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，点A，B，C都在格点上，以AB为直径的圆经过点C、D，则 $\sin ∠ A D C$ 的值为（）

A、 $\frac{2 \sqrt{13}}{13}$ B、 $\frac{3 \sqrt{13}}{13}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{3}{2}$

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3. 如图，小明想要测量学校操场上旗杆 $A B$ 的高度，他作了如下操作：（1）在点C处放置测角仪，测得旗杆顶的仰角 $∠ A C E = α$ ；（2）量得测角仪的高度 $C D = a$ ；（3）量得测角仪到旗杆的水平距离 $D B = b$ .利用锐角三角函数解直角三角形的知识，旗杆的高度可表示为（）

A、 $a + b \tan α$ B、 $a + b \sin α$ C、 $a + \frac{b}{\tan α}$ D、 $a + \frac{b}{\sin α}$

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二、填空题

4. 如图， $∠ M O N = 30 °$ ，在 $O M$ 上截取 $O A_{1} = \sqrt{3}$ .过点 $A_{1}$ 作 $A_{1} B_{1} ⊥ O M$ ，交 $O N$ 于点 $B_{1}$ ，以点 $B_{1}$ 为圆心， $B_{1} O$ 为半径画弧，交 $O M$ 于点 $A_{2}$ ；过点 $A_{2}$ 作 $A_{2} B_{2} ⊥ O M$ ，交 $O N$ 于点 $B_{2}$ ，以点 $B_{2}$ 为圆心， $B_{2} O$ 为半径画弧，交 $O M$ 于点 $A_{3}$ ；按此规律，所得线段 $A_{20} B_{20}$ 的长等于.

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5. 如图，测角仪CD竖直放在距建筑物AB底部5m的位置，在D处测得建筑物顶端A的仰角为50°.若测角仪的高度是1.5m，则建筑物AB的高度约为m.（结果保留小数点后一位，参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19）

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6. 如图，工人师傅用扳手拧形状为正六边形的螺帽，现测得扳手的开口宽度 $b = 3cm$ ，则螺帽边长 $a =$ cm.

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7. 数学家笛卡尔在《几何》一书中阐述了坐标几何的思想，主张取代数和几何中最好的东西，互相以长补短.在菱形 $A B C D$ 中， $A B = 2 ， ∠ D A B = 120 °$ .如图，建立平面直角坐标系 $x O y$ ，使得边 $A B$ 在x轴正半轴上，点D在y轴正半轴上，则点C的坐标是.

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8. 如图，点C在线段 $A B$ 上，且 $A C = 2 B C$ ，分别以 $A C$ 、 $B C$ 为边在线段 $A B$ 的同侧作正方形 $A C D E$ 、 $B C F G$ ，连接 $E C$ 、 $E G$ ，则 $\tan ∠ C E G =$ .

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9. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ B = 45 ° ， A B = 6 \sqrt{2}$ ，D、E分别是 $A B$ 、 $A C$ 的中点，连接 $D E$ ，在直线 $D E$ 和直线 $B C$ 上分别取点F、G，连接 $B F$ 、 $D G$ .若 $B F = 3 D G$ ，且直线 $B F$ 与直线 $D G$ 互相垂直，则 $B G$ 的长为.

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三、解答题

10.

(1)、计算：4sin60°﹣ $\sqrt{12}$ +( $\sqrt{3}$ ﹣1)⁰；

(2)、化简(x+1)÷(1+ $\frac{1}{x}$ ).

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11. 小红和爸爸绕着小区广场锻炼如图在矩形广场 $A B C D$ 边 $A B$ 的中点 $M$ 处有一座雕塑.在某一时刻，小红到达点 $P$ 处，爸爸到达点 $Q$ 处，此时雕塑在小红的南偏东 $45 °$ 方向，爸爸在小红的北偏东 $60 °$ 方向，若小红到雕塑的距离 $P M = 30 m$ ，求小红与爸爸的距离 $P Q$ .（结果精确到 $1 m$ ，参考数据： $\sqrt{2} \approx 1.41$ ， $\sqrt{3} \approx 1.73$ ， $\sqrt{6} \approx 2.45$ ）

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12. 如图，点E与树AB的根部点A、建筑物CD的底部点C在一条直线上，AC＝10m.小明站在点E处观测树顶B的仰角为30°，他从点E出发沿EC方向前进6m到点G时，观测树顶B的仰角为45°，此时恰好看不到建筑物CD的顶部D（H、B、D三点在一条直线上）.已知小明的眼睛离地面1.6m，求建筑物CD的高度（结果精确到0.1m）.（参考数据： $\sqrt{2}$ ≈1.41， $\sqrt{3}$ ≈1.73.）

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13. 我市在凤城河风景区举办了端午节赛龙舟活动，小亮在河畔的一幢楼上看到一艘龙舟迎面驶来，他在高出水面 $15 m$ 的 $A$ 处测得在 $C$ 处的龙舟俯角为 $23 °$ ；他登高 $6 m$ 到正上方的 $B$ 处测得驶至 $D$ 处的龙舟俯角为 $50 °$ ，问两次观测期间龙舟前进了多少？（结果精确到 $1 m$ ，参考数据： $\tan 23 ° \approx 0.42$ ， $\tan 40 ° \approx 0.84$ ， $\tan 50 ° \approx 1.19$ ， $\tan 67 ° \approx 2.36$ ）

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14. 如图，在一笔直的海岸线上有A，B两个观测站，A在B的正西方向，AB=2km，从观测站A测得船C在北偏东45°的方向，从观测站B测得船C在北偏西30°的方向.求船C离观测站A的距离.

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15. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ C = 90^{\circ} ， \tan A = \frac{\sqrt{3}}{3} ， ∠ A B C$ 的平分线 $B D$ 交 $A C$ 于点 $D . C D = \sqrt{3}$ .求 $A B$ 的长？

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16. 如图，在港口A处的正东方向有两个相距 $6 k m$ 的观测点B、C，一艘轮船从A处出发，北偏东 $26 °$ 方向航行至D处，在B、C处分别测得 $∠ A B D = 45 °$ ， $∠ C = 37 °$ 求轮船航行的距离AD (参考数据： $\sin 26 ° \approx 0.44$ ， $\cos 26 ° \approx 0.90$ ， $\tan 26 ° \approx 0.49$ ， $\sin 37 ° \approx 0.60$ ， $\cos 37 ° \approx 0.80$ ， $\tan 37 ° \approx 0.75$ ）

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17. 木门常常需要雕刻美丽的图案.

(1)、图①为某矩形木门示意图，其中 $A B$ 长为200厘米， $A D$ 长为100厘米，阴影部分是边长为30厘米的正方形雕刻模具，刻刀的位置在模具的中心点P处，在雕刻时始终保持模具的一边紧贴木门的一边，所刻图案如虚线所示，求图案的周长；

(2)、如图 $②$ ，对于(1)中的木门，当模具换成边长为 $30 \sqrt{3}$ 厘米的等边三角形时，刻刀的位置仍在模具的中心点P处，雕刻时也始终保持模具的一边紧贴本门的一边，使模具进行滑动雕刻.但当模具的一个顶点与木门的一个顶点重合时，需将模具绕着重合点进行旋转雕刻，直到模具的另一边与木门的另一边重合.再滑动模具进行雕刻，如此雕刻一周，请在图 $②$ 中画出雕刻所得图案的草图，并求其周长.

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18. 问题1：如图①，在四边形 $A B C D$ 中， $∠ B = ∠ C = 90 °$ ， $P$ 是 $B C$ 上一点， $P A = P D$ ， $∠ A P D = 90 °$ .

(1)、求证： $A B + C D = B C$ .

(2)、如图②，在四边形 $A B C D$ 中， $∠ B = ∠ C = 45 °$ ， $P$ 是 $B C$ 上一点， $P A = P D$ ， $∠ A P D = 90 °$ .求 $\frac{A B + C D}{B C}$ 的值.

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19. 如图，正方形 $A B C D$ 的边长为6， $M$ 为 $A B$ 的中点， $△ M B E$ 为等边三角形，过点 $E$ 作 $M E$ 的垂线分别与边 $A D$ 、 $B C$ 相交于点 $F$ 、 $G$ ，点 $P$ 、 $Q$ 分别在线段 $E F$ 、 $B C$ 上运动，且满足 $∠ P M Q = 60 °$ ，连接 $P Q$ .

(1)、求证： $△ M E P ≅ △ M B Q$ .

(2)、当点 $Q$ 在线段 $G C$ 上时，试判断 $P F + G Q$ 的值是否变化？如果不变，求出这个值，如果变化，请说明理由.

(3)、设 $∠ Q M B = α$ ，点 $B$ 关于 $Q M$ 的对称点为 $B^{'}$ ，若点 $B^{'}$ 落在 $Δ M P Q$ 的内部，试写出 $α$ 的范围，并说明理由.

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20. 以下虚线框中为一个合作学习小组在一次数学实验中的过程记录，请阅读后完成虚线框下方的问题

1 ~ 4

Ⅰ.在 $R t △ A B C$ 中， $∠ C = 90 ° ， A B = 2 \sqrt{2}$ ，在探究三边关系时，通过画图，度量和计算，收集到，组数据如下表：（单位：厘米）

$A C$	2.8	2.7	2.6	2.3	2	1.5	0.4
$B C$	0.4	0.8	1.2	1.6	2	2.4	2.8
$A C + B C$	3.2	3.5	3.8	3.9	4	3.9	3.2

Ⅱ.根据学习函数的经验，选取上表中 $B C$ 和 $A C + B C$ 的数据进行分析；

$①$ 设 $B C = x ， A C + B C = y$ ，以 $(x ， y)$ 为坐标，在图 $①$ 所示的坐标系中描出对应的点；

$②$ 连线；

Ⅲ.观察思考

结合表中的数据以及所面的图像，猜想.当 $x =$ ▲ 时，y最大；

Ⅳ.进一步C猜想：若 $R t △ M B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ，斜边 $A B = 2 a (a$ 为常数， $a > 0$ ），则 $B C =$ ▲ 时， $A C + B C$ 最大.

推理证明

Ⅴ.对（4）中的猜想进行证明.

(1)、问题1.在图

①

中完善（1）的描点过程，并依次连线；

(2)、问题2.补全观察思考中的两个猜想：Ⅲ；Ⅳ。

(3)、问题3.证明上述Ⅴ中的猜想：

(4)、问题4.图

②

中折线

B - E - F - G - A

是一个感光元件的截面设计草图，其中点

A ， B

间的距离是4厘米，

A G = B E = 1

厘米，

∠ E = ∠ F = ∠ G = 90^{\circ} ，

平行光线从

A B

区域射入，

∠ B N E = 60^{\circ} ，

线段

F M 、 F N

为感光区城，当

E F

的长度为多少时，感光区域长度之和最大，并求出最大值.

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21. 如图1，已知点O在四边形ABCD的边AB上，且 $O A = O B = O C = O D = 2$ ，OC平分 $∠ B O D$ ，与BD交于点G，AC分别与BD、OD交于点E、F.

(1)、求证： $O C / / A D$ ；

(2)、如图2，若 $D E = D F$ ，求 $\frac{A E}{A F}$ 的值；

(3)、当四边形ABCD的周长取最大值时，求 $\frac{D E}{D F}$ 的值.

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22. 筒车是我国古代利用水力驱动的灌溉工具，唐代陈廷章在《水轮赋》中写道：“水能利物，轮乃曲成”.如图，半径为 $3 m$ 的筒车 $⊙ O$ 按逆时针方向每分钟转 $\frac{5}{6}$ 圈，筒车与水面分别交于点A、B，筒车的轴心 $O$ 距离水面的高度 $O C$ 长为 $2.2 m$ ，简车上均匀分布着若干个盛水筒.若以某个盛水筒 $P$ 刚浮出水面时开始计算时间.

(1)、经过多长时间，盛水筒 $P$ 首次到达最高点？

(2)、浮出水面3.4秒后，盛水筒P距离水面多高？

(3)、若接水槽 $M N$ 所在直线是 $⊙ O$ 的切线，且与直线 $A B$ 交于点M， $M O = 8 m$ .求盛水筒P从最高点开始，至少经过多长时间恰好在直线 $M N$ 上.（参考数据： $\cos 43^{°} = \sin 47^{°} \approx \frac{11}{15}$ ， $\sin 16^{°} = \cos 74^{°} \approx \frac{11}{40}$ ， $\sin 22^{°} = \cos 68^{°} \approx \frac{3}{8}$ ）

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