2020年江苏省中考数学分类汇编专题08 二次函数

试卷更新日期：2020-09-10 类型：二轮复习

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一、单选题

1. 将二次函数y=(x﹣1)²+2的图象向上平移3个单位长度，得到的拋物线相应的函数表达式为（）

A、y=(x+2)²﹣2 B、y=(x﹣4)²+2 C、y=(x﹣1)²﹣1 D、y=(x﹣1)²+5

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2. 点P(m，n)在以y轴为对称轴的二次函数y＝x²+ax+4的图象上.则m﹣n的最大值等于（）

A、 $\frac{15}{4}$ B、4 C、﹣ $\frac{15}{4}$ D、﹣ $\frac{17}{4}$

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二、填空题

3. 请写出一个函数表达式，使其图象的对称轴为 $y$ 轴：.

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4. 二次函数 $y = a x^{2} - 3 a x + 3$ 的图像过点 $A (6 ， 0)$ ，且与y轴交于点B，点M在该抛物线的对称轴上，若 $Δ A B M$ 是以 $A B$ 为直角边的直角三角形，则点M的坐标为.

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5. 下列关于二次函数 $y = - {(x - m)}^{2} + m^{2} + 1$ （ $m$ 为常数）的结论，①该函数的图象与函数 $y = - x^{2}$ 的图象形状相同；②该函数的图象一定经过点 $(0, 1)$ ；③当 $x > 0$ 时，y随x的增大而减小；④该函数的图象的顶点在函数 $y = x^{2} + 1$ 的图像上，其中所有正确的结论序号是.

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6. 加工爆米花时，爆开且不糊的颗粒的百分比称为“可食用率”.在特定条件下，可食用率 $y$ 与加工时间 $x$ （单位： $\min$ ）满足函数表达式 $y = - 0.2 x^{2} + 1.5 x - 2$ ，则最佳加工时间为 $\min$ .

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三、解答题

7. 如图在平面直角坐标系中，一次函数 $y = k x + b$ 的图像经过点 $A (0 ， - 4)$ 、 $B (2 ， 0)$ 交反比例函数 $y = \frac{m}{x}$ $(x > 0)$ 的图像于点 $C (3 ， a)$ ，点 $P$ 在反比例函数的图象上，横坐标为 $n$ $(0 < n < 3)$ ， $P Q / / y$ 轴交直线 $A B$ 于点 $Q$ ， $D$ 是 $y$ 轴上任意一点，连接 $P D$ 、 $Q D$ .

(1)、求一次函数和反比例函数的表达式；

(2)、求 $△ D P Q$ 面积的最大值.

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8. 某超市经销一种商品，每千克成本为50元，经试销发现，该种商品的每天销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）满足一次函数关系，其每天销售单价，销售量的四组对应值如下表所示：

销售单价x（元/千克）

55

60

65

70

销售量y（千克）

70

60

50

40

(1)、求y（千克）与x（元/千克）之间的函数表达式；

(2)、为保证某天获得600元的销售利润，则该天的销售单价应定为多少？

(3)、当销售单价定为多少时，才能使当天的销售利润最大？最大利润是多少？

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9. 若二次函数 $y = a x^{2} + b x + c$ 的图像与x轴有两个交点 $M (x_{1} ， 0) ， N (x_{2} ， 0) (0 < x_{1} < x_{2})$ ，且经过点 $A (0 ， 2) ，$ 过点A的直线l与x轴交于点 $C ，$ 与该函数的图象交于点B（异于点A）.满足 $△ A C N$ 是等腰直角三角形，记 $△ A M N$ 的面积为 $S_{1} ， △ B M N$ 的面积为 $S_{2}$ ，且 $S_{2} = \frac{5}{2} S_{1}$ .

(1)、抛物线的开口方向（填“上”或“下”）；

(2)、求直线 $l$ 相应的函数表达式；

(3)、求该二次函数的表达式.

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10. 在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线 $O A$ 交二次函数 $y = \frac{1}{4} x^{2}$ 的图像于点A， $∠ A O B = 90 °$ ，点 $B$ 在该二次函数的图象上，设过点 $(0 ， m)$ （其中 $m > 0$ ）且平行于 $x$ 轴的直线交直线 $O A$ 于点M，交直线 $O B$ 于点N，以线段 $O M$ 、 $O N$ 为邻边作矩形 $O M P N$ .

(1)、若点A的横坐标为8.
①用含m的代数式表示M的坐标；

②点 $P$ 能否落在该二次函数的图象上？若能，求出m的值；若不能，请说明理由；

(2)、当 $m = 2$ 时，若点 $P$ 恰好落在该二次函数的图象上，请直接写出此时满足条件的所有直线 $O A$ 的函数表达式.

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11. 小明和小丽先后从A地出发同一直道去B地，设小丽出发第 $x \min$ 时，小丽、小明离B地的距离分别为 $y {}_{1}m$ 、 $y {}_{2}m$ ， $y_{1}$ 与x之间的数表达式 $y_{1} = - 180 x + 2250$ ， $y_{2}$ 与x之间的函数表达式是 $y_{2} = - 10 x^{2} - 100 x + 2000$ .

(1)、小丽出发时，小明离A地的距离为 $m$ .

(2)、小丽发至小明到达B地这段时间内，两人何时相距最近？最近距离是多少？

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12. 如图，在平面直角坐标系中，函数 $y = - a x^{2} + 2 a x + 3 a$ $(a > 0)$ 的图像交 $x$ 轴于点 $A$ 、 $B$ ，交 $y$ 轴于点 $C$ ，它的对称轴交 $x$ 轴于点 $E$ .过点 $C$ 作 $C D / / x$ 轴交抛物线于点 $D$ ，连接 $D E$ 并延长交 $y$ 轴于点 $F$ ，交抛物线于点 $G$ .直线 $A F$ 交 $C D$ 于点 $H$ ，交抛物线于点 $K$ ，连接 $H E$ 、 $G K$ .

备用图

(1)、点 $E$ 的坐标为：；

(2)、当 $Δ H E F$ 是直角三角形时，求 $a$ 的值；

(3)、 $H E$ 与 $G K$ 有怎样的位置关系？请说明理由.

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13. 如图①，直线l经过点（4，0）且平行于y轴，二次函数y＝ax²﹣2ax+c（a、c是常数，a＜0）的图象经过点M(﹣1，1)，交直线l于点N，图象的顶点为D，它的对称轴与x轴交于点C，直线DM、DN分别与x轴相交于A、B两点.

(1)、当a＝﹣1时，求点N的坐标及 $\frac{A C}{B C}$ 的值；

(2)、随着a的变化， $\frac{A C}{B C}$ 的值是否发生变化？请说明理由；

(3)、如图②，E是x轴上位于点B右侧的点，BC＝2BE，DE交抛物线于点F.若FB＝FE，求此时的二次函数表达式.

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14. 如图，二次函数 $y_{1} = a {(x - m)}^{2} + n$ 、 $y_{2} = 6 a x^{2} + n$ $(a < 0 ， m > 0 ， n > 0)$ 的图像分别为 $C_{1}$ 、 $C_{2}$ ， $C_{1}$ 交 $y$ 轴于点 $P$ ，点 $A$ 在 $C_{1}$ 上，且位于 $y$ 轴右侧，直线 $P A$ 与 $C_{2}$ 在 $y$ 轴左侧的交点为 $B$ .

(1)、若 $P$ 点的坐标为 $(0 ， 2)$ ， $C_{1}$ 的顶点坐标为 $(2 ， 4)$ ，求 $a$ 的值；

(2)、设直线 $P A$ 与 $y$ 轴所夹的角为 $α$ .
①当 $α = 45 °$ ，且 $A$ 为 $C_{1}$ 的顶点时，求 $a m$ 的值；

②若 $α = 90 °$ ，试说明：当 $a$ 、 $m$ 、 $n$ 各自取不同的值时， $\frac{P A}{P B}$ 的值不变；

(3)、若 $P A = 2 P B$ ，试判断点 $A$ 是否为 $C_{1}$ 的顶点？请说明理由.

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15. 二次函数 $y = a x^{2} + b x + 3$ 的图象与x轴交于A(2，0)，B(6，0)两点，与y轴交于点C，顶点为E.

(1)、求这个二次函数的表达式，并写出点E的坐标；

(2)、如图①，D是该二次函数图象的对称轴上一个动点，当BD的垂直平分线恰好经过点C时，求点D的坐标；

(3)、如图②，P是该二次函数图象上的一个动点，连接OP，取OP中点Q，连接QC，QE，CE，当△CEQ的面积为12时，求点P的坐标.

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16. 已知抛物线y＝ax²+bx+c经过A（2，0），B（3n﹣4，y₁），C（5n+6，y₂）三点，对称轴是直线x＝1.关于x的方程ax²+bx+c＝x有两个相等的实数根.

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、若n＜﹣5，试比较y₁与y₂的大小；

(3)、若B，C两点在直线x＝1的两侧，且y₁＞y₂ ，求n的取值范围.

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17. 有一块矩形地块 $A B C D$ ， $A B = 20$ 米， $B C = 30$ 米，为美观，拟种植不同的花卉，如图所示，将矩形 $A B C D$ 分割成四个等腰梯形及一个矩形，其中梯形的高相等，均为x米.现决定在等腰梯形 $A E H D$ 和 $B C G F$ 中种植甲种花卉；在等腰梯形 $A B F E$ 和 $C D H G$ 中种植乙种花卉；在矩形 $E F G H$ 中种植丙种花卉.甲、乙、丙三种花卉的种植成本分别为20元/米 $^{2}$ 、60 元/米 $^{2}$ 、40元/米 $^{2}$ ，设三种花卉的种植总成本为y元.

(1)、当 $x = 5$ 时，求种植总成本y；

(2)、求种植总成本y与x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围；

(3)、若甲、乙两种花卉的种植面积之差不超过120米 $^{2}$ ，求三种花卉的最低种植总成本.

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18. 如图，二次函数 $y = x^{2} + b x$ 的图像与 $x$ 轴正半轴交于点A，平行于x轴的直线l与该抛物线交于B、C两点（点B位于点C左侧），与抛物线对称轴交于点 $D (2 ， - 3)$ .

(1)、求b的值；

(2)、设P、Q是x轴上的点（点P位于点Q左侧），四边形 $P B C Q$ 为平行四边形.过点P、Q分别作x轴的垂线，与抛物线交于点 $P^{'} (x_{1} ， y_{1})$ 、 $Q^{'} (x_{2} ， y_{2})$ .若 $| y_{1} - y_{2} | = 2$ ，求 $x_{1}$ 、 $x_{2}$ 的值.

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19. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，把与x轴交点相同的二次函数图象称为“共根抛物线”.如图，抛物线 $L_{1} ： y = \frac{1}{2} x^{2} - \frac{3}{2} x - 2$ 的顶点为D，交x轴于点A、B（点A在点B左侧），交y轴于点C.抛物线 $L_{2}$ 与 $L_{1}$ 是“共根抛物线”，其顶点为P.

(1)、若抛物线 $L_{2}$ 经过点 $(2 ， - 12)$ ，求 $L_{2}$ 对应的函数表达式；

(2)、当 $B P - C P$ 的值最大时，求点P的坐标；

(3)、设点Q是抛物线 $L_{1}$ 上的一个动点，且位于其对称轴的右侧.若 $△ D P Q$ 与 $△ A B C$ 相似，求其“共根抛物线” $L_{2}$ 的顶点P的坐标.

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20. 如图①，二次函数 $y = - x^{2} + b x + 4$ 的图象与直线l交于 $A (- 1 ， 2)$ 、 $B (3 ， n)$ 两点.点P是x轴上的一个动点，过点P作x轴的垂线交直线l于点M，交该二次函数的图象于点N，设点P的横坐标为m.

(1)、 $b =$ ， $n =$ ；

(2)、若点N在点M的上方，且 $M N = 3$ ，求m的值；

(3)、将直线 $A B$ 向上平移4个单位长度，分别与x轴、y轴交于点C、D（如图②）.
①记 $Δ N B C$ 的面积为 $S_{1}$ ， $Δ N A C$ 的面积为 $S_{2}$ ，是否存在m，使得点N在直线 $A C$ 的上方，且满足 $S_{1} - S_{2} = 6$ ？若存在，求出m及相应的 $S_{1}$ 、 $S_{2}$ 的值；若不存在，请说明理由.

②当 $m > - 1$ 时，将线段 $M A$ 绕点M顺时针旋转 $90^{\circ}$ 得到线段 $M F$ ，连接 $F B$ 、 $F C$ 、 $O A$ ，若 $∠ F B A + ∠ A O D - ∠ B F C = 45 °$ ，直接写出直线 $O F$ 与该二次函数图象交点的横坐标.

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21. 如图，二次函数 $y = x^{2} + b x + 3$ 的图像与y轴交于点A，过点A作x轴的平行线交抛物线于另一点B，抛物线过点 $C (1 ， 0)$ ，且顶点为D，连接 $A C$ 、 $B C$ 、 $B D$ 、 $C D$ .

(1)、填空： $b =$ ；

(2)、点P是抛物线上一点，点P的横坐标大于1，直线 $P C$ 交直线 $B D$ 于点Q.若 $∠ C Q D = ∠ A C B$ ，求点P的坐标；

(3)、点E在直线 $A C$ 上，点E关于直线 $B D$ 对称的点为F，点F关于直线 $B C$ 对称的点为G，连接 $A G$ .当点F在x轴上时，直接写出 $A G$ 的长.

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销售单价x（元/千克）	55	60	65	70
销售量y（千克）	70	60	50	40