河南省郑州市2019-2020学年高二下学期文数期末考试试卷

试卷更新日期：2020-09-09 类型：期末考试

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一、单选题

1. 两个变量 $y$ 与 $x$ 的回归模型中，分别选择了4个不同模型，它们残差平方和如下，其中拟合效果最好的模型是（）.

A、0.09 B、0.13 C、0.21 D、0.88

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2. 用反证法证明“若 $a, b \in R$ ， $a^{2} + b^{2} = 0$ ，则 $a$ ， $b$ 至少有一个为0”时，假设正确的（）.

A、 $a$ ， $b$ 中只有一个为0 B、 $a$ ， $b$ 全为0 C、 $a$ ， $b$ 至少有一个不为0 D、 $a$ ， $b$ 全不为0

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3. 欧拉公式 $e^{i θ} = \cos θ + i \sin θ$ 把自然对数的底数 $e$ ，虚数单位 $i$ ，三角函数联系在一起，充分体现了数学的和谐美，被誉为“数学中的天桥”.若复数 $z = e^{i π} - i$ ，则 $| z | =$ （）.

A、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ B、1 C、 $\sqrt{2}$ D、 $2 \sqrt{2}$

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4. 下列框图中，可作为流程图的是（）

A、整数指数幂→有理指数幂→无理指数幂 B、随机事件→频率→概率 C、入库→找书→阅览→借书→出库→还书 D、推理→图像与性质→定义

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5. 点 $M$ 的直角坐标为 $(\sin \frac{7 π}{6}, \cos \frac{π}{6})$ ，则点 $M$ 的极坐标为（）.

A、 $(1, \frac{11 π}{6})$ B、 $(1, \frac{2 π}{3})$ C、 $(1, \frac{π}{6})$ D、 $(1, \frac{5 π}{3})$

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6. 观察下列各式： $5^{5} = 3125, 5^{6} = 15625, 5^{7} = 78125, 5^{8} = 390625, 5^{9} = 1953125, \dots$ ，则 $5^{2020}$ 的末四位数字为（）

A、3125 B、5625 C、0625 D、8125

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7. 2020年初，新型冠状病毒（ $COVID - 19$ ）引起的肺炎疫情爆发以来，各地医疗机构采取了各种针对性的治疗方法，取得了不错的成效某地开始使用中西医结合方法后，每周治愈的患者人数如下表所示：

周数（ $x$ ）

1

2

3

4

5

治愈人数（ $y$ ）

2

17

36

103

142

由表格可得 $y$ 关于 $x$ 的回归方程为 $\hat{y} = 6 x^{2} + a$ ，则此回归模型第4周的残差（实际值与预报值之差）为（）.

A、5 B、-13 C、13 D、0

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8. 德国数学家莱布尼兹于1674年得到了第一个关于 $π$ 的级数展开式，该公式于明朝初年传入我国.我国数学家、天文学家明安图为提高我国的数学研究水平，从乾隆初年（1736年）开始，历时近30年，证明了包括这个公式在内的三个公式，同时求得了展开三角函数和反三角函数的6个新级数公式，著有《割圆密率捷法》一书，为我国用级数计算开创先河.如图所示的程序框图可以用莱布尼兹“关于 $π$ 的级数展开式计算 $π$ 的近似值（其中 $P$ 表示 $π$ 的近似值）”.若输入n=9，输出否的结果 $P$ 可以表示为（）.

A、 $P = 4 (1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \dots - \frac{1}{11})$ B、 $P = 4 (1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \dots + \frac{1}{13})$ C、 $P = 4 (1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \dots - \frac{1}{15})$ D、 $P = 4 (1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \dots + \frac{1}{17})$

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9. 以平面直角坐标系的原点为极点，以 $x$ 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，则曲线 ${\begin{array}{l} x = \sqrt{3} \cos α \\ y = \sin α \end{array}$ （ $α$ 为参数）上的点到曲线 $ρ \cos θ + ρ \sin θ = 4$ 的最短距离是（）.

A、1 B、 $\sqrt{2}$ C、 $2 \sqrt{2}$ D、 $3 \sqrt{2}$

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10. 某校甲、乙、丙、丁四位同学参加了第34届全国青少年科技创新大赛，老师告知只有一位同学获奖，四人据此做出猜测：甲说：“丙获奖”；乙说：“我没获奖”；丙说：“我没获奖”；丁说：“我获奖了”，若四人中只有一人判断正确，则判断正确的是（）

A、甲 B、乙 C、丙 D、丁

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11. 分形几何学是美籍法国数学家伯努瓦• $B$ •曼德尔布罗特( $B e n o i t . M a n d e l b r o t$ )在20世纪70年代创立的一门新学科，它的创立，为解决传统科学众多领域的难题提供了全新的思路．下图按照的分形规律生长成一个树形图，则第13行的实心圆点的个数是（）

A、55个 B、89个 C、144个 D、233个

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12. 若 $1 < x < 2$ ，则 $\frac{\ln 2 + 1}{2}$ ， $\frac{x^{2} + 1}{e^{x^{2}}}$ ， $\frac{2 x + 1}{e^{2 x}}$ 的大小关系正确的是（）

A、 $\frac{x^{2} + 1}{e^{x^{2}}} > \frac{\ln 2 + 1}{2} > \frac{2 x + 1}{e^{2 x}}$ B、 $\frac{x^{2} + 1}{e^{x^{2}}} > \frac{2 x + 1}{e^{2 x}} > \frac{\ln 2 + 1}{2}$ C、 $\frac{\ln 2 + 1}{2} > \frac{2 x + 1}{e^{2 x}} > \frac{x^{2} + 1}{e^{x^{2}}}$ D、 $\frac{\ln 2 + 1}{2} > \frac{x^{2} + 1}{e^{x^{2}}} > \frac{2 x + 1}{e^{2 x}}$

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二、填空题

13. 在一组样本数据 $(x_{1}, y_{1})$ ， $(x_{2}, y_{2})$ ，…， $(x_{n}, y_{n})$ （ $n \geq 2$ ， $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，…， $x_{n}$ 互不相等）的散点图中，若所有样本点 $(x_{i}, y_{i}) (i = 1, 2, \dots, n)$ 都在直线 $y = - 2 x + 100$ 上，则这组样本数据的样本相关系数为.

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14. 化简： $z = i^{2019} + {(\frac{\sqrt{2} i}{1 + i})}^{2020} =$ .

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15. 刘徽是中国古代最杰出的数学家之一，他在中国算术史上最重要的贡献就是注释《九章算术》，刘徽在割圆术中提出的“割之弥细所失弥少，割之又割以至于不可割，则与圆合体而无所失矣”，体现了无限与有限之间转化的思想方法，这种思想方法应用广泛.如数式 $2 + \frac{1}{2 + \frac{1}{2 + \dots}}$ 是一个确定值（数式中的省略号表示按此规律无限重复），该数式的值可以用如下方法求得：令原式 $= x$ ，则 $2 + \frac{1}{x} = x$ ，即 $x^{2} - 2 x - 1 = 0$ ，解得 $x = 1 \pm \sqrt{2}$ ，取正数得 $x = \sqrt{2} + 1$ .用类似的方法可得 $\sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2 + \dots}}} =$ .

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16. 已知数列 ${a_{n}}$ 的通项公式为 $a_{n} = 2 n + 2$ ，这个数列中的项摆放成如图所示的数阵.记 $b_{n}$ 为数阵从左至右的 $n$ 列，从上到下的 $n$ 行共 $n^{2}$ 个数的和，则数列 ${\frac{n}{b_{n}}}$ 的前2020项和为.

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三、解答题

17. 设实部为正数的复数 $z$ ，满足 $| z | = \sqrt{10}$ ，且复数 $(2 + i) z$ 在复平面上对应的点在第二、四象限的角平分线上.

(1)、求复数 $z$ ；

(2)、若 $\bar{z} + m^{2} (- 1 + i) + 4 m i (m \in R)$ 为纯虚数，求实数 $m$ 的值.

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18. 在新冠肺炎流行期间，为了指导不同人群科学合理选择和使用口罩，现在对

N 95

口罩的使用范围进行调查.现随机抽取40人进行调查，其中45岁以下的有20人.在接受调查的40人中，对于

N 95

这种口罩了解的占50%，在了解的人中45岁以上（含45岁）的人数占

\frac{1}{4}

参考公式： $K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ .

参考数据：

$P (K^{2} \geq k_{0})$	0.10	0.05	0.010	0.001
$k_{0}$	2.706	3.841	6.635	10.828

(1)、将答题卡上的列联表补充完整；

	了解	不了解	总计
45岁以下
45岁以上（含45岁）
总计			40

(2)、判断是否有99%的把握认为对这种

N 95

口罩的了解与否与年龄有关.

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19. 在直角坐标系 $x O y$ 中，直线 $l$ 的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = - 1 + m \cos \frac{π}{4} \\ y = - 2 + m \sin \frac{π}{4} \end{array}$ （ $m$ 为参数），以坐标原点为极点， $x$ 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 $C$ 的极坐标方程为 $ρ \sin^{2} θ = 4 \cos θ$ .

(1)、求直线 $l$ 的普通方程和曲线 $C$ 的直角坐标方程；

(2)、过点 $P (3, 2)$ 作直线 $l$ 的垂线，交曲线 $C$ 于 $M$ ， $N$ 两点，求 $| P M | + | P N |$ .

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20. 对于命题 $P$ ：存在一个常数 $M$ ，使得不等式 $\frac{a}{2 a + b} + \frac{b}{2 b + a} \leq M \leq \frac{a}{a + 2 b} + \frac{b}{b + 2 a}$ 对任意正数 $a$ ， $b$ 恒成立.

(1)、试给出这个常数 $M$ 的值（不需要证明）；

(2)、在（1）所得结论的条件下证明命题 $P$ .

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21. 在直角坐标系中，已知曲线 $C$ 的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = 2 + 2 \cos φ \\ y = 2 \sin φ \end{array}$ （ $φ$ 为参数），以原点为极点， $x$ 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，射线 $l_{1}$ 的极坐标方程为 $θ = α (0 \leq α \leq \frac{π}{3})$ ，射线 $l_{2}$ 的极坐标方程为 $θ = α - \frac{π}{3}$ .

(1)、写出曲线 $C$ 的极坐标方程，并指出是何种曲线；

(2)、若射线 $l_{1}$ 与曲线 $C$ 交于 $O$ 、 $A$ 两点，射线 $l_{2}$ 与曲线 $C$ 交于 $O$ 、 $B$ 两点，求 $△ A B O$ 面积的取值范围.

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22. 某芯片公司为制定下一年的研发投入计划，需了解年研发资金投入量

x

（单位：亿元）对年销售额

y

（单位：亿元）的影响.该公司对历史数据进行对比分析，建立了两个函数模型：①

y = α + β x^{2}

，②

y = e^{λ x + t}

，其中

α ， β ， λ ， t

均为常数，

e

为自然对数的底数．

现该公司收集了近12年的年研发资金投入量 $x_{i}$ 和年销售额 $y_{i}$ 的数据， $i = 1 ， 2 ， \dots ， 12$ ，并对这些数据作了初步处理，得到了右侧的散点图及一些统计量的值．令 $u_{i} = x_{i}^{2} ，$ $v_{i} = \ln y_{i}$ $(i = 1 ， 2 ， \dots ， 12)$ ，经计算得如下数据：

$\bar{x}$	$\bar{y}$	$\sum_{i = 1}^{12} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}$	$\sum_{i = 1}^{12} {(y_{i} - \bar{y})}^{2}$	$\bar{u}$	$\bar{v}$
$20$	$66$	$n^{2} + b = \frac{b^{2}}{4}$	$200$	$460$	$4.20$

$\sum_{i = 1}^{12} {(u_{i} - \bar{u})}^{2}$	$\sum_{i = 1}^{12} (u_{i} - \bar{u}) (y_{i} - \bar{y})$	$\sum_{i = 1}^{12} {(v_{i} - \bar{v})}^{2}$	$\sum_{i = 1}^{12} (x_{i} - \bar{x}) (v_{i} - \bar{v})$
$3125000$	$21500$	$0.308$	$14$

(1)、设

{u_{i}}

和

{y_{i}}

的相关系数为

r_{1}

，

{x_{i}}

和

{v_{i}}

的相关系数为

r_{2}

，请从相关系数的角度，选择一个拟合程度更好的模型；

(2)、（i）根据（1）的选择及表中数据，建立

y

关于

x

的回归方程（系数精确到0.01）；

（ii）若下一年销售额 $y$ 需达到90亿元，预测下一年的研发资金投入量 $x$ 是多少亿元？

附：①相关系数 $C$ ，回归直线 $\hat{y} = a + b x$ 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为： $b = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}}$ ， $a = \bar{y} - b \bar{x}$ ；

② 参考数据： $308 = 4 \times 77$ ， $\sqrt{90} \approx 9.4868$ ， $e^{4.4998} \approx 90$ ．

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周数（ $x$ ）	1	2	3	4	5
治愈人数（ $y$ ）	2	17	36	103	142