河南省郑州市2019-2020学年高二数学下学期理数期末考试试卷

试卷更新日期：2020-09-09 类型：期末考试

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一、单选题

1. 设复数 $z = 2 + a i$ ，若 $z = \bar{z}$ ，则实数 $a =$ （）

A、0 B、2 C、-1 D、-2

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2. 设 $a, b, c$ 为任意正数．则 $a + \frac{1}{b}, b + \frac{1}{c}, c + \frac{1}{a}$ 这三个数（）

A、都大于2 B、都小于2 C、至少有一个不小于2 D、至少有一个不大于2

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3. 对两个变量 $y 和 x$ 进行回归分析，得到一组样本数据： $(x_{1}, y_{1}), (x_{2}, y_{2}), ......, (x_{n}, y_{n})$ ，则下列说法中不正确的是（）

A、由样本数据得到的回归方程 $\overset{\land}{y} = b x + a$ 必过样本中心 $(\bar{x}, \bar{y})$ B、残差平方和越小的模型，拟合的效果越好 C、用相关指数 $R^{2}$ 来刻画回归效果， $R^{2}$ 越小，说明模型的拟合效果越好 D、若变量 $y 和 x$ 之间的相关系数为 $r = - 0.9362$ ，则变量 $y 和 x$ 之间具有线性相关关系

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4. 函数f( x)＝x²－2ln x的单调递减区间是（）

A、 $(0 ， 1)$ B、 $(1 ， + \infty)$ C、 $(- \infty ， 1)$ D、 $(- 1 ， 1)$

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5. 某小区有1000户居民，各户每月的用电量近似服从正态分布 $N (300, 100)$ ，则用电量在320度以上的居民户数估计约为（）
（参考数据：若随机变量 $ξ$ 服从正态分布 $N (μ, σ^{2})$ ，则 $P (μ - σ < ξ \leq μ + σ) \approx 0.6827$ ， $P (μ - 2 σ < ξ \leq μ + 2 σ) \approx 0.9545$ ， $P (μ - 3 σ < ξ \leq μ + 3 σ) \approx 0.9973$ .）

A、17 B、23 C、34 D、46

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6. $\int_{- 1}^{1} e^{| x |} d x$ 的值为（）

A、2 B、 $2 e$ C、 $2 e - 2$ D、 $2 e + 2$

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7. 把一枚硬币连续抛两次，记“第一次出现正面”为事件 $A$ ，“第二次出现正面”为事件 $B$ ，则 $P (B | A)$ =（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{4}$ C、 $\frac{1}{6}$ D、 $\frac{1}{8}$

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8. 随机变量X的分布列为

X

-1

0

1

P

a

b

c

其中a,b,c成等差数列,则 $P (| X | = 1)$ 等于（）

A、 $\frac{1}{6}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{2}{3}$

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9. 函数y= $\frac{x^{2} \ln | x |}{| x |}$ 的图象大致是（）

A、 B、 C、 D、

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10. 已知一组数据确定的回归直线方程为 $\hat{y} = - x + 2$ 且 $\bar{y} = 4$ ，通过残差分析，发现两个数据 $(- 1 ， 7 ， 2.9)$ ， $(- 2 ， 3 ， 5.1)$ 误差较大，去除这两个数据后，重新求得回归直线的斜率为-1.5，则当 $x = - 4$ 时， $\hat{y} =$ （）

A、6 B、7 C、8 D、13

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11. 两名同学分4本不同的书，其中一人没有分到书，另一人分得4本书的概率为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{4}$ C、 $\frac{1}{6}$ D、 $\frac{1}{8}$

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12. 关于 $x$ 的方程 ${(x^{2} - 2 x)}^{2} e^{2 x} - (t + 1) (x^{2} - 2 x)$ $e^{x} - 4 = 0 (t \in R)$ 的不等实根的个数为（）

A、1 B、3 C、5 D、1或5

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二、填空题

13. 二项式 ${(x + \frac{1}{x})}^{6}$ 的展开式中，常数项是.

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14. 6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为．

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15. 观察下面的三角形数组，可以推测：该数组第10行的和为.

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16. 已知函数 $f (x) = a e^{x} (a > 0)$ 与 $g (x) = 2 x^{2} - m (m > 0)$ 的图象在第一象限有公共点，且在该点处的切线相同，当实数 $m$ 变化时，实数 $a$ 的取值范围为.

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三、解答题

17. 已知复数 $z$ 满足 $(1 + 2 i) z = 4 + 3 i$ （ $i$ 是虚数单位）.
求：

(1)、 $z$

(2)、 $| z^{2} - \bar{z} |$ .

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18. 在二项式 ${(\sqrt[3]{x} - \frac{1}{2 \sqrt[3]{x}})}^{n}$ 的展开式中，

(1)、若所有二项式系数之和为64，求展开式中二项式系数最大的项．

(2)、若前三项系数的绝对值成等差数列，求展开式中各项的系数和．

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19. 已知函数 $f (x) = x - a \ln x (a \in R)$ .

(1)、当 $a = 2$ 时，求曲线 $y = f (x)$ 在点 $A (1 ， f (1))$ 处的切线方程；

(2)、讨论函数 $f (x)$ 的单调区间.

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20. 已知数列 ${x_{n}}$ 满足 $x_{1} = 0$ ， $x_{n + 1} = - x_{n}^{2} + x_{n} + c$ $(n \in N^{*})$ ， $0 < c \leq \frac{1}{4}$ ，求证：数列 ${x_{n}}$ 是递增数列.

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21. 在传染病学中，通常把从致病刺激物侵入机体或者对机体发生作用起，到机体出现反应或开始呈现该疾病对应的相关症状时止的这一阶段称为潜伏期.一研究团队统计了某地区1000名患者的相关信息，得到如下表格：

潜伏期

（单位：天）

$[0, 2]$

$(2, 4]$

$(4, 6]$

$(6, 8]$

$(8, 10]$

$(10, 12]$

$(12, 14]$

人数

205

310

250

130

附：

$P (K^{2} \geq k_{0})$	0.05	0.025	0.010
$k_{0}$	3.841	5.024	6.635

$K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ 其中 $n = a + b + c + d$ .

(1)、该传染病的潜伏期受诸多因素的影响，为研究潜伏期与患者年龄的关系，以潜伏期是否超过6天为标准进行分层抽样，从上述1000名患者中抽取200人，得到如下列联表.请将列联表补充完整，并根据列联表判断是否有95%的把握认为潜伏期与患者年龄有关；

	潜伏期≤6天	潜伏期＞6天	总计
50岁以上（含50岁）			100
50岁以下	55
总计			200

(2)、以这1000名患者的潜伏期超过6天的频率，代替该地区1名患者潜伏期超过6天发生的概率，每名患者的潜伏期是否超过6天相互独立.为了深入研究，该研究团队随机调查了20名患者，设潜伏期超过6天的人数为

X

，则

X

的期望是多少？

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22. 已知函数 $f (x) = \frac{\ln x}{x} + k$ 的极大值为 $\frac{1 + e}{e}$ ，其中 $k$ 为常数， $e = 2.71828 \cdot \cdot \cdot$ 为自然对数的底数.

(1)、求 $k$ 的值；

(2)、若函数 $g (x) = e^{x} - \frac{a}{x}$ ，对任意实数 $x \in (0 ， + \infty)$ ，不等式 $g (x) \geq a f (x)$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围.

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