河南省洛阳市2019-2020学年高二下学期理数期末质量检测试卷

试卷更新日期：2020-09-09 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知a是实数， $\frac{a + i}{1 - i}$ 是实数，则 $\cos \frac{a π}{3}$ 的值为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $- \frac{1}{2}$ C、0 D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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2. 已知命题 $p : \forall x \in R$ ， $x^{2} - x + 1 \geq 0$ ，下列 $\neg p$ 形式正确的是（）

A、 $\overset{- \to}{E F}$ ，使得 $x_{0}^{2} - x_{0} + 1 \geq 0$ B、 $\overset{- \to}{E F}$ ，使得 $x_{0}^{2} - x_{0} + 1 < 0$ C、 $\neg p : \forall x \in R$ ， $x^{2} - x + 1 < 0$ D、 $\neg p : \forall x \in R$ ， $x^{2} - x + 1 \leq 0$

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3. 设某大学的女生体重y（单位：kg）与身高x（单位：cm）具有线性相关关系，根据一组样本数据（x_i ， y_i）（i=1，2，…，n），用最小二乘法建立的回归方程为 $\hat{y}$ =0.85x-85.71，则下列结论中不正确的是（）

A、y与x具有正的线性相关关系 B、回归直线过样本点的中心（ $\bar{x}$ ， $\bar{y}$ ） C、若该大学某女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kg D、若该大学某女生身高为170cm，则可断定其体重必为58.79kg

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4. 已知向量 $\vec{a} = (x + z ， 3)$ ， $\vec{b} = (2 ， y - z)$ ，且 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ .若x，y满足不等式 ${\begin{array}{l} x \geq 0 \\ y \geq 0 \\ x + y \leq 1 \end{array}$ ，则 $z$ 的取值范围为（）

A、 $[0 ， 2]$ B、 $[- 2 ， 3]$ C、 $[2 ， 3]$ D、 $[0 ， 3]$

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5. 以双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的右焦点F为圆心，a为半径的圆恰好与双曲线的两条渐近线相切，则该双曲线的离心率为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\sqrt{3}$ C、2 D、3

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6. ${(9 x - \frac{1}{3 \sqrt{x}})}^{6}$ 的展开式中常数项为（）

A、30 B、15 C、－15 D、30

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7. 已知 $a > 0$ ， $b > 0$ ， $a b = 8$ ，则 $\log_{2} a \cdot \log_{2} b$ 的最大值为（）

A、 $\frac{3}{2}$ B、 $\frac{9}{4}$ C、4 D、8

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8. 设随机变量 $η$ 服从正态分布 $N (1 ， σ^{2})$ ，若 $P (η < - 1) = 0.2$ ，则函数 $f (x) = \frac{1}{3} x^{3} + x^{2} + η^{2} x$ 没有极值点的概率是（）

A、0.2 B、0.3 C、0.7 D、0.8

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9. 若 $f (x) = x^{3} + 3 \int_{0}^{1} f (x) d x$ ，则 $\int_{0}^{1} f (x) d x =$ （）

A、 $- \frac{1}{8}$ B、 $\frac{1}{8}$ C、 $- \frac{1}{4}$ D、 $\frac{1}{4}$

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10. 回文数是从左到右与从右到左读都一样的正整数，如2，11，242，6776，83238等，设n位回文数的个数为 $a_{n}$ （n为正整数），如11是2位回文数，则（）

A、 $a_{2} = 10$ B、 $a_{3} = 10$ C、 $a_{4} = 90$ D、 $a_{5} = 90$

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11. 已知函数 $f (x)$ 满足 $f (- x) = f (x)$ ，当 $x > 0$ 时， $f (x) = \frac{\ln x + 1}{e^{x}}$ ，若 $a = f (2^{1.3})$ ， $b = f (4^{0.6})$ ， $c = f (2 \log_{\frac{1}{2}} \sqrt{3})$ ，则a，b，c的大小关系是（）

A、 $c < a < b$ B、 $c < b < a$ C、 $b < c < a$ D、 $a < b < c$

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12. 已知点P在抛物线 $C ： y^{2} = m x (m \neq 0)$ 上，过点P作抛物线 $x^{2} = 2 y$ 的切线 $l_{1}$ ， $l_{2}$ ，切点分别为M，N，若 $G (1 ， 1)$ ，且 $\vec{G P} + \vec{G M} + \vec{G N} = \vec{0}$ ，则C的准线方程为（）

A、 $x = - \frac{1}{4}$ B、 $x = \frac{1}{4}$ C、 $x = \frac{\sqrt{2}}{2}$ D、 $x = - \frac{\sqrt{2}}{2}$

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二、填空题

13. 曲线 $y = x \ln x$ 在点 $(1 ， 0)$ 处的切线的方程为.

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14. 我国古代数学名著《九章算术》记载：“勾股各自乘，并之，为弦实”，用符号表示为a²＋b²＝c²(a，b，c∈N^*)，把a，b，c叫做勾股数．下列给出几组勾股数：3,4,5；5,12,13；7,24,25；9,40,41，以此类推，可猜测第5组勾股数的第二个数是．

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15. 在西非肆虐的“埃博拉病毒”的传播速度很快，这已经成为全球性的威胁，为了考察某种埃博拉病毒疫苗的效果，现随机抽取

100

只小鼠进行试验，得到如下联表：

	感染	未感染	总计
服用	10	40	50
未服用	20	30	50
总计	30	70	100

参考公式： $K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$

$P (K^{2} > k)$	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
$k$	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

参照附表，在犯错误的概率最多不超过（填百分比）的前提下，可认为“该种疫苗由预防埃博拉病毒感染的效果”．

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16. 已知函数 $f (x) = e^{x} - \frac{x + 1}{x - 1}$ ，下面四个结论：①函数 $f (x)$ 在其定义域上为增函数；②对于任意的 $a < 0$ ，都有 $f (a) > - 1$ ；③ $f (x)$ 有且仅有两个零点；④若 $y = e^{x}$ 在点 $(x_{0}, e^{x_{0}})$ 处的切线也是 $y = \ln x$ 的切线，则 $x_{0}$ 必是 $f (x)$ 的零点，其中所有正确的结论序号是.

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三、解答题

17. 已知 $△ A B C$ 的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且 $(a + c) (\sin A - \sin C) = (\sqrt{3} a - b) \sin B$ .

(1)、求角C；

(2)、若 $a = 4$ ， $△ A B C$ 的面积为 $\frac{4 \sqrt{3}}{3}$ ，求 $c$ .

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18. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ， $a_{1} = 1$ ，若数列 ${S_{n} + 1}$ 是公比为2的等比数列.

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、 $b_{n} = \frac{a_{n + 1}}{(a_{n + 1} - 1) S_{n + 1}}, n \in N^{*}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前n项和 $T_{n}$ .

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19. 在四棱锥 $S - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是矩形，平面 $A B C D ⊥$ 平面 $S B C$ ， $S B = S C$ ，M是 $B C$ 的中点， $A B = 1$ ， $B C = 2$ .

(1)、求证： $A M ⊥ S D$ ；

(2)、若 $S M = \sqrt{2}$ ，求二面角 $B - S A - D$ 的余弦值.

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20. 已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ ，点 $A (0, - 2)$ 在椭圆上，斜率为k的直线l过点 $E (0, 1)$ 且与椭圆交于C，D两点.

(1)、求椭圆的方程；

(2)、设 $k_{1}$ ， $k_{2}$ 分别为直线 $A C$ ， $A D$ 的斜率，当k变动时， $k_{1} \cdot$ $k_{2}$ 是否为定值？说明理由.

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21. 某制造企业根据长期检测结果，发现生产产品的一项质量指标值服从正态分布 $N (μ ， σ^{2})$ ，并把质量指标值在 $(μ - σ ， μ + σ)$ 内的产品称为优等品，质量指标值在 $(μ + σ ， μ + 2 σ)$ 内的产品称为一等品，其余范围内的产品作为废品处理.优等品与一等品统称为正品，现从该企业生产的产品中随机抽取1000件，测得产品质量指标值的样本数据统计如下图：

(1)、根据频率分布直方图，求样本平均数 $\bar{x}$ ；

(2)、根据大量的产品检测数据，得出样本数据的方差的近似值为100，用样本平均数 $\bar{x}$ 作为 $μ$ 的近似值，用样本标准差s作为 $σ$ 的估计值，求该厂生产的产品为正品的概率；
参考数据：若随机变量 $ξ$ 服从正态分布 $N (μ ， σ^{2})$ ，则： $P (μ - σ < ξ \leq μ + σ) \approx 0.6827$ ， $P (μ - 2 σ < ξ \leq μ + 2 σ) \approx 0.9545$ ， $P (μ - 3 σ < ξ \leq μ + 3 σ) \approx 0.9973$ .

(3)、假如企业包装时要求把3件优等品5件一等品装在同一个箱子甲，质检员每次从箱子中随机取出3件产品进行检验，记取出3件产品中优等品的件数为X，求X的分布列以及数学期望.

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22. 函数 $f (x) = x e^{x} - a x + b$ 的图象在 $x = 0$ 处的切线方程为： $y = - x + 1$ .

(1)、求 $a$ 和 $b$ 的值；

(2)、若 $f (x)$ 满足：当 $x > 0$ 时， $f (x) ⩾ \ln x - x + m$ ，求实数 $m$ 的取值范围.

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