河南省焦作市2019-2020学年高二下学期理数学业质量测试试卷

试卷更新日期：2020-09-09 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {y | y = \sqrt{x}, 0 \leq x \leq 4}$ ， $B = {x | 0 < x < 3}$ ，则 $(∁_{R} A) \cap B =$ （）

A、 $[0, 2]$ B、 $[- 2, 2)$ C、 $(- 2, 3)$ D、 $(2, 3)$

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2. 已知复数 $z$ 满足 $(- 1 + i) z = 2 i$ ，则 $\bar{z}$ 的实部与虚部的和是（）

A、2 B、0 C、 $\frac{1}{2}$ D、-1

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3. 已知向量 $\vec{a} = (3, \sqrt{7})$ ， $| \vec{b} | = 4$ ，若 $\vec{a} \cdot \vec{b} = - 8$ ，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角的余弦值是（）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $- \frac{1}{2}$ D、 $- \frac{\sqrt{2}}{2}$

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4. 2020年4月8日武汉解除封城，某社区为预防新冠肺炎疫情反弹，决定从本社区的5男3女骨干干部中，选派2男1女组成一个督查巡视小组，对本社区的后续工作每天进行巡视督导，则不同的选法共有（）

A、12种 B、20种 C、30种 D、36种

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5. 函数 $f (x) = \frac{\cos x}{x^{2}} - x^{2} + \ln | x |$ 的部分图像大致为（）

A、 B、 C、 D、

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6. 已知 $α \in (- \frac{π}{4}, \frac{π}{4})$ ， $\sin α + \cos α = \frac{1}{5}$ ，则 $\tan α =$ （）

A、 $- \frac{3}{4}$ B、 $- \frac{3}{4}$ 或 $- \frac{4}{3}$ C、 $\frac{3}{4}$ D、 $\frac{3}{4}$ 或 $- \frac{3}{4}$

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7. 新中国成立70周年以来，党中央、国务院高度重视改善人民生活，始终把脱贫致富和提高人民生活水平作为一切工作的出发点和落脚点新疆某地区为了带动当地经济发展，大力发展旅游业，如图是2015—2019年到该地区旅游的游客数量（单位：万人次）的变化情况，则下列结论错误的是（）

A、2015—2019年到该地区旅游的人数与年份成正相关 B、2019年到该地区旅游的人数是2015年的12倍 C、2016—2019年到该地区旅游的人数平均值超过了220万人次 D、从2016年开始，与上一年相比，2019年到该地区旅游的人数增加得最多

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8. 若直线 $k x - y + 3 k = 0$ 与不等式组 ${\begin{array}{l} x - y + 4 \geq 0 \\ x \leq 2 \\ x + y - 2 \geq 0 \end{array}$ 表示的平面区域有公共点，则实数 $k$ 的取值范围是（）

A、 $[0 ， \frac{1}{2}]$ B、 $[0 ， \frac{3}{2}]$ C、 $[\frac{3}{2} ， + \infty)$ D、 $(- \infty ， 1]$

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9. 已知函数 $f (x) = \sin (ω x + \frac{π}{3}) (ω > 0)$ ，若 $f (x)$ 在 $[0, \frac{2 π}{3}]$ 上恰有两个零点，则 $ω$ 的取值范围是（）

A、 $(1, \frac{5}{2})$ B、 $[1, \frac{5}{2})$ C、 $(\frac{5}{2}, 4)$ D、 $[\frac{5}{2}, 4)$

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10. 在三棱锥 $P - A B C$ 中， $P A ⊥$ 平面 $A B C$ ， $A C ⊥ B C$ ， $D$ 是 $B C$ 的中点， $2 P A = P B$ ， $∠ A P C = 30 °$ ，则 $P D$ 与平面 $A B C$ 所成的角为（）

A、30° B、45° C、60° D、75°

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11. 已知抛物线 $C ： y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点为 $F$ ， $M (\frac{1}{3} ， y_{0})$ 为该抛物线上一点，若以 $M$ 为圆心的圆与 $C$ 的准线相切于点 $A$ ， $∠ A M F = 120 °$ ，过 $F$ 且与 $x$ 轴垂直的直线 $l$ 与 $C$ 交于 $G$ ， $H$ 两点， $P_{0}$ 为 $C$ 的准线上的一点，则 $△ G H P_{0}$ 的面积为（）

A、1 B、2 C、4 D、8

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12. 若函数 $f (x) = {\begin{array}{l} e^{x} - (k x + e) ， 0 < x \leq 1 \\ \frac{1 - x}{x} - k x ， 1 < x \leq 3 \end{array}$ ，有且仅有3个不同的零点，则实数 $k$ 的最大值为（）

A、 $- \frac{17}{12}$ B、 $- \frac{2}{9}$ C、 $- \frac{1}{4}$ D、0

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二、填空题

13. 已知函数 $f (x) = \sin 2 x$ ， $f^{'} (x)$ 为 $f (x)$ 的导函数，则 $f^{'} (\frac{π}{6}) =$ .

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14. 已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，左、右顶点分别为 $A_{1}$ ， $A_{2}$ ，点 $P$ 是双曲线 $C$ 上不同于 $A_{1}$ ， $A_{2}$ 的任意一点，若 $△ P F_{1} F_{2}$ 与 $△ P A_{1} A_{2}$ 的面积之比为 $\sqrt{2} : 1$ ，则双曲线 $C$ 的离心率为.

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15. 若命题“对任意实数 $a > 0$ ， $b > 0$ 且 $a + b = 4$ ，不等式 $\frac{4}{a} + \frac{1}{b} > m$ 恒成立”为假命题，则 $m$ 的取值范围为.

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16. 已知三棱锥 $A - B C D$ 的侧棱两两互相垂直，且该三棱锥的外接球的体积为 $36 π$ ，则该三棱锥的侧面积的最大值为.

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三、解答题

17. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ， $2 a_{n} = a_{1} + S_{n}$ ，且 $a_{1} = 2$ .

(1)、求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若 $b_{n} = (n + 1) \log_{2} a_{n}$ ，求 ${\frac{2 n + 1}{b_{n}^{2}}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

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18. 设 $△ A B C$ 的内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ， $\sqrt{3} \sin B \cos B - \cos^{2} B = \frac{1}{2}$ .

(1)、求角 $B$ 的大小；

(2)、若 $b = \sqrt{7}$ ，求 $△ A B C$ 面积的最大值.

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19. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $A B // C D$ ，且 $A B = 2 B C = 2 C D = 2$ ， $B C ⊥$ 平面 $P A B$ ， $P A = P B = \sqrt{2}$ ，点 $O$ 是 $A B$ 的中点.

(1)、证明： $O P ⊥$ 平面 $A B C D$ ；

(2)、求二面角 $B - P C - D$ 的余弦值.

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20. 已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ ，点 $F$ ， $A$ ， $B$ 分别为椭圆的左焦点、右顶点和下顶点， $△ A B F$ 的面积为 $1 + \frac{\sqrt{3}}{2}$ ，且椭圆的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

(1)、求椭圆的标准方程；

(2)、若点 $M$ 为椭圆 $C$ 上一点，直线 $l ： y = k x + 2$ 与椭圆 $C$ 交于不同的两点 $P$ ， $Q$ ，且 $\vec{O P} + \vec{O Q} = \vec{O M}$ （点 $O$ 为坐标原点），求 $k$ 的值.

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21. 为了促进我国人口均衡发展，从2016年1月1日起，全国统一实施全面放开二孩政策，这也是为了重建大国人口观，重新认识人口价值、人口规律、人口问题，某研究机构为了了解人们对全面放开生育二孩政策的态度，随机调查了200人，得到的统计数据如下面的不完整的2×2列联表所示（单位：人）：

	支持生育二孩	不支持生育二孩	合计
男性		30
女性	60		100
合计		70

参考公式： $K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ .

参考数据：

$P (K^{2} \geq k_{0})$	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010
$k_{0}$	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635

(1)、完成2×2列联表，并求是否有90%的把握认为是否“支持生育二孩”与性别有关？

(2)、该研究机构从样本中筛选出4名男性和3名女性共7人作为代表，这7个代表中有2名男性和2名女性支持生育二孩现从这7名代表中任选3名男性和2名女性参加座谈会，记

ξ

为参加会议的支持生育二孩的人数，求

ξ

的分布列及数学期望

E (ξ)

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22. 已知函数 $f (x) = - a x^{2} + \ln x ， a \in R$ .

(1)、讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若 $x \geq 1$ ，不等式 $f (x) + a \leq (1 - x) \ln x$ 恒成立，求 $a$ 的取值范围.

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