重庆市九龙坡区2019-2020学年高一下学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2020-09-08 类型：期末考试

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一、单选题

1. 下图是根据重庆某景区2017年1月至2019年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据绘制成的折线统计图.根据该折线图，下列结论错误的是（）

A、该景区近三年的年接待游客量不断增加 B、该景区近三年的月接待游客量不断增加 C、该景区各年的月接待游客量高峰期大致在7、8月 D、该景区1月至6月游客量相对较少，故应该推出更多活动增加营业额度

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2. 已知向量 $\vec{a} = (2, 1)$ ， $\vec{b} = (2 \cos α, \sin α)$ 且 $α \in (0, π)$ ，若 $\vec{a} // \vec{b}$ ，则 $α =$ （）

A、 $\frac{π}{4}$ B、 $\frac{3 π}{4}$ C、 $\frac{π}{3}$ D、 $\frac{2 π}{3}$

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3. 若关于 $x$ 的一元二次不等式 $a x^{2} + 2 x + 1 > 0$ 的解集为 $R$ ，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(1, + \infty)$ B、 $(0, 1)$ C、 $(- \infty, 1)$ D、 $(- \infty, 0) \cup (0, 1)$

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4. 若变量 $x ， y$ 满足 ${\begin{matrix} x - y + 5 \geq 0 \\ x + y \geq 0 \\ x \leq 4 \end{matrix}$ ，则 $x - 2 y$ 的最大值为（）

A、-14 B、 $- \frac{15}{2}$ C、-4 D、12

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5. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 的公差为正数，且 $a_{3} \cdot a_{7} = - 12$ ， $a_{4} + a_{6} = - 4$ ，则 $S_{20}$ 为（）

A、-90 B、-180 C、90 D、180

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6. 在 $△$ ABC中，角A,B,C的对边分别为a.b.c根据下列条件解三角形，其中有两解的是（）

A、 $a = 7, b = 2, c = 8$ B、 $a = 10, B = 45 °, C = 75 °$ C、 $a = 7, b = 5, A = 80^{\circ}$ D、 $a = 7, b = 8, A = 45 °$

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7. 已知某运动员每次投篮命中的概率都为40%，现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定1，2，3，4表示命中；5，6，7，8，9，0表示不命中；再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果，经随机模拟产生了如下20组随机数：
137
966
191
925
271
932
812
458
569
683
431
257
393
027
556
488
730
113
537
989
据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为（）

A、0.40 B、0.30 C、0.35 D、0.25

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8. 在 $R t △ A B C$ 中， $∠ C = 90^{\circ}$ ， $A C = 3$ ，则 $\vec{A B} \cdot \vec{A C}$ 等于（）

A、9 B、6 C、3 D、0

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9. 在 $△ A B C$ 中，角 $A ， B ， C$ 所对的边分别为 $a ， b ， c$ ， $S$ 表示 $△ A B C$ 的面积，若 $a cos B + b cos A = c sin C$ ， $S = \frac{1}{4} (b^{2} + c^{2} - a^{2})$ ，则 $B$ 等于（）

A、90° B、60° C、45° D、30°

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10. 已知数列 ${a_{n}}$ 的通项公式为 $a_{n} = - 2 n^{2} + λ n (n \in N^{*}, λ \in R)$ ，若 ${a_{n}}$ 是递减数列，则 $λ$ 的取值范围为（）

A、 $[\frac{8}{3}, + \infty)$ B、 $(- \infty, 4]$ C、 $(- \infty, 6)$ D、 $[4, 6)$

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11. 在 $△ A B C$ 中，角 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 的对边分别为 $a$ 、 $b$ 、 $c$ ，已知 $a = 3$ ， $\sin B = \frac{\sqrt{11}}{6}$ ， $\frac{π}{3} < C < \frac{π}{2}$ .若 $\frac{b}{a - b} = \frac{\sin 2 C}{\sin A - \sin 2 C}$ ，则 $b =$ （）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $\sqrt{5}$ C、 $2 \sqrt{3}$ D、 $\frac{9}{5}$

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二、多选题

12. 斐波那契数列，又称黄金分割数列、兔子数列，是数学家列昂多·斐波那契于1202年提出的数列.斐波那契数列为1，1，2，3，5，8，13，21，……，此数列从第3项开始，每一项都等于前两项之和，记该数列为 ${F (n)}$ ，则 ${F (n)}$ 的通项公式为（）

A、 $F (n) = \frac{{(- 1)}^{n} + 1^{n}}{2}$ B、 $F (n + 1) = F (n) + F (n - 1), n \geq 2$ 且 $F (1) = 1, F (2) = 1$ C、 $F (n) = \frac{1}{\sqrt{5}} [{(\frac{1 + \sqrt{5}}{2})}^{n} - {(\frac{1 - \sqrt{5}}{2})}^{n}]$ D、 $F (n) = \frac{1}{\sqrt{5}} [{(\frac{1 + \sqrt{5}}{2})}^{n} + {(\frac{1 - \sqrt{5}}{2})}^{n}]$

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三、填空题

13. 设 $\vec{e_{1}}, \vec{e_{2}}$ 是两个单位向量，它们的夹角是 $60^{\circ}$ ，则 $(\vec{e_{1}} - \vec{e_{2}}) \cdot (2 \vec{e_{1}} - 3 \vec{e_{2}}) =$ .

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14. 某校有高一学生 $n$ 名，其中男生数与女生数之比为 $6 : 5$ ，为了解学生的视力情况，现要求按分层抽样的方法抽取一个样本容量为 $\frac{n}{10}$ 的样本，若样本中男生比女生多 $12$ 人，则 $n =$ ．

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15. 已知一个口袋有 $3$ 个白球， $1$ 个黑球，这些球除颜色外全部相同，现从口袋中随机逐个取出两球，取出的两个球是一黑一白的概率是.

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四、双空题

16. 已知 $a > b > 0$ ，则 $a^{2} + \frac{64}{b (a - b)}$ 的最小值为，取最小值时 $b$ 的值为.

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五、解答题

17. 某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费 $x$ （单位：万元）对年销售量 $y$ （单位：吨）的影响，对近4年的年宣传费 $x$ 和年销售量 $y_{i}$ （ $i = 1, 2, 3, 4$ ）作了初步统计和处理，得到的数据如下：

年宣传费 $x$ （单位：万元）

2

3

4

5

年销售量 $y$ （单位：吨）

2.5

3

4

4.5

参考公式： $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i} - n \bar{x} \cdot \bar{y}}{\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} - n {\bar{x}}^{2}}$ ， $\hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}$ .

(1)、求出 $y$ 关于 $x$ 的线性回归方程 $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ ；

(2)、若公司计划下一年度投入宣传费6万元，试预测年销售量 $y$ 的值.

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18. 随着手机的普及，大学生迷恋手机的现象非常严重.为了调查双休日大学生使用手机的时间，某机构采用不记名方式随机调查了使用手机时间不超过10小时的50名大学生，将50人使用手机的时间分成5组：

(0 ， 2]

，

(2 ， 4]

，

(4 ， 6]

，

(6 ， 8]

，

(8 ， 10]

分别加以统计，得到下表，根据数据完成下列问题：

使用时间/时	$(0 ， 2]$	$(2 ， 4]$	$(4 ， 6]$	$(6 ， 8]$	$(8 ， 10]$
大学生/人	5	10	15	12	8

(1)、完成频率分布直方图，并根据频率分布直方图估计大学生使用手机时间的中位数（保留小数点后两位）；

(2)、用分层抽样的方法从使用手机时间在区间

(0 ， 2]

，

(2 ， 4]

，

(4 ， 6]

的大学生中抽取6人，再从这6人中随机抽取2人，求这2人取自不同使用时间区间的概率.

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19. 设 $π < β < 2 π$ ， $\vec{b} = (2 \cos α, \sin α)$ ， $\vec{c} = (\sin β, 2 \cos β)$ ， $\vec{d} = (\cos β, - 2 \sin β)$ .

(1)、若 $\sin (α + β) = 0$ .求证： $\vec{b} ⊥ \vec{c}$ ；

(2)、若 $| \vec{c} + \vec{d} | = \sqrt{3}$ ，求 $\sin β + \cos β$ 的值.

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20. 已知 $S_{n}$ 为等差数列 ${a_{n}} (a_{n} \neq 0)$ 的前 $n$ 项和， $S_{7} = a_{4}^{2}$ , $13$ 为 $a_{5}$ 和 $a_{9}$ 的等差中项.设 $b_{n} = \frac{1}{a_{n} a_{n + 1}}$ ，数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的项公式；

(2)、若正整数 $m, n$ 满足 $1 < m < n$ ，且 $T_{1}, T_{m}, T_{n}$ 成等比数列，求 $m, n$ 的值.

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21. 如图所示，基站 $A$ 处获悉：在其正东方向的 $B$ 处有一艘渔船遇险等待救援，基站 $A$ 处的相关人员把消息告知在 $A$ 处的南偏西 $30 °$ 的 $C$ 处的乙船，请乙船前往救援.

(1)、若 $A 、 C$ 两地相距10海里，乙船朝北偏东 $75 °$ 的方向沿直线前往 $B$ 处救援，问 $A 、 B$ 两地相距多少海里？

(2)、若乙船在海上从 $C$ 航行到某一点 $D$ ，请借助两个观察点 $C 、 D$ ，画出草图，为乙船上的技术人员设计一种能测量 $A 、 B$ 两地距离的方法.

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22. 已知数列 ${a_{n}}$ 是首项为 $a_{1} = a$ ，公差为 $2$ 的等差数列，数列 ${b_{n}}$ 满足 $2 b_{n} - a_{n} = n a_{n}$ .

(1)、若 $a_{1}$ 、 $a_{3}$ 、 $a_{4}$ 成等比数列，求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、数列 ${c_{n}}$ 满足 $c_{n + 1} - c_{n} = {(\frac{1}{2})}^{n} (n \in N^{*})$ ，其中 $c_{1} = 1$ ， $f (n) = b_{n} + c_{n}$ .当 $a = - 20$ 时，求 $f (n)$ 的最小值.

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137	966	191	925	271	932	812	458	569	683
431	257	393	027	556	488	730	113	537	989

年宣传费 $x$ （单位：万元）	2	3	4	5
年销售量 $y$ （单位：吨）	2.5	3	4	4.5

137	966	191	925	271	932	812	458	569	683
431	257	393	027	556	488	730	113	537	989

137	966	191	925	271	932	812	458	569	683
431	257	393	027	556	488	730	113	537	989