重庆市2019-2020学年高一下学期数学期末联合检测试卷

试卷更新日期：2020-09-08 类型：期末考试

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一、单选题

1. 直线 $a x - y + 1 = 0$ 与 $3 x + y + 2 = 0$ 垂直，则实数 $a =$ （）

A、-3 B、 $- \frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、3

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2. 已知向量 $\vec{a} = (1, 2)$ ， $\vec{b} = (2, 2)$ ，则 $| \vec{a} + \vec{b} | =$ （）

A、4 B、5 C、6 D、7

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3. 某学校采购了10000只口罩，其中蓝色､粉色､白色的比例为 $5 : 3 : 2$ ，若采用分层抽样的方法，取出500只分发给高一年级学生使用，则抽到白色口罩的只数为（）

A、300 B、250 C、200 D、100

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4. 已知甲､乙两组数据的茎叶图如图所示，则甲组数据的众数与乙组数据的中位数分别是（）

A、52，65 B、52，66 C、73，65 D、73，66

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5. 设等差数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，若 $a_{2} + a_{11} = 4$ ，则 $S_{12} =$ （）

A、12 B、24 C、36 D、40

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6. 在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ， $a \cos C = c \sin A$ ，则 $C =$ （）

A、 $\frac{π}{4}$ B、 $\frac{π}{2}$ C、 $\frac{2 π}{3}$ D、 $\frac{3 π}{4}$

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7. 从单词“ $b o o k$ ”的四个字母中任取2个，则取到的2个字母不相同的概率为（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{3}{4}$

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8. 已知各项均为正数的等比数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{2} = 2$ ， $a_{5} = 2 a_{4} + 3 a_{3}$ ，则 $a_{6} =$ （）

A、2 B、54 C、162 D、243

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9. 已知变量 $x ， y$ 满足不等式组 ${\begin{array}{l} 2 x + y - 2 \geq 0 \\ x - y \leq 0 \\ y \leq 3 \end{array}$ ，则 $z = x - 2 y$ 的最大值为（）

A、-3 B、 $- \frac{2}{3}$ C、1 D、2

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10. 中国是发现､研究和运用勾股定理最古老的国家之一，最早对勾股定理进行证明的是三国时期吴国的数学家赵爽，他创制了一幅“勾股圆方图”，用数形结合的方法给出了勾股定理的详细证明.如图所示的“勾股圆方图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形，已知四个直角三角形的两条直角边的长度之比为 $\frac{1}{2}$ ，若向大正方形中随机投入一点，则该点落入小正方形的概率为（）

A、 $\frac{1}{25}$ B、 $\frac{1}{9}$ C、 $\frac{1}{5}$ D、 $\frac{1}{3}$

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11. 在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，若 $a^{2} + b^{2} ⩾ 2 c^{2}$ ，则角C的最大值为（）

A、 $\frac{π}{2}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{π}{4}$ D、 $\frac{π}{6}$

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12. 已知P为 $△ A B C$ 在平面内的一点， $\vec{B P} = 2 \vec{P C} ， | \vec{A P} | = 4$ ，若点Q在线段 $A P$ 上运动，则 $\vec{Q A} \cdot (\vec{Q B} + 2 \vec{Q C})$ 的最小值为（）

A、 $- 9 \sqrt{2}$ B、-12 C、 $- 3 \sqrt{2}$ D、-4

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二、填空题

13. 已知 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ， $a = 2$ ， $B = \frac{π}{4}$ ， $\cos A = \frac{1}{3}$ ，则 $b =$ .

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14. 已知单位向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 满足 $| \vec{a} - 2 \vec{b} | = 2$ ，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角的余弦值为.

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15. 已知 $x > 0$ ， $y > 0$ ，且 $\frac{1}{x} + \frac{8}{y} = 2$ ，则 $2 x + y$ 的最小值为.

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16. 已知数列 ${a_{n}}$ 的通项公式为 $a_{n} = 2^{n} - 3 n + 1$ ，将数列 ${a_{n}}$ 中的奇数项按原顺序依次排列得到新数列 ${b_{n}}$ ，则数列 ${b_{n}}$ 的前n项和为.

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三、解答题

17. 已知 $△ A B C$ 中，点 $A (1, 3), B (2, 1), C (- 1, 0)$ .

(1)、求直线 $A B$ 的方程；

(2)、求 $△ A B C$ 的面积.

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18. 已知函数 $f (x) = x^{2} - (2 a + 1) x + a + 1, a \in R$ .

(1)、当 $a = 1$ 时，求不等式 $f (x) ⩽ 0$ 的解集；

(2)、若关于x的不等式 $f (x) ⩾ 0$ 的解集为R，求a的取值范围.

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19. 已知向量 $\vec{a} = (1 ， - 2)$ ， $| \vec{b} | = 2 \sqrt{5}$ .

(1)、若 $\vec{b} = λ \vec{a}$ ，其中 $λ < 0$ ，求 $\vec{b}$ 的坐标；

(2)、若 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $\frac{2 π}{3}$ ，求 $(\vec{a} - \vec{b}) \cdot (2 \vec{a} + \vec{b})$ 的值.

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20. 自我国爆发新冠肺炎疫情以来，各地医疗单位都加紧了医疗用品的生产，某医疗器械厂统计了口罩生产车间每名工人的生产速度，将所得数据分成五组并绘制出如图所示的频率分布直方图.已知前四组的频率成等差数列，第五组与第二组的频率相等.

(1)、估计口罩生产车间工人生产速度的中位数；

(2)、为了解该车间工人的生产速度是否与他们的工作经验有关，现从车间所有工人中随机抽样调查了5名工人的生产速度以及他们的工龄(参加工作的年限)，数据如下表：

工龄x(单位：年)

6

8

12

10

14

生产速度y(单位：件/小时)

40

55

60

60

65

根据上述数据求每名工人的生产速度y关于他的工龄x的回归方程 $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ ，并据此估计该车间某位有18年工龄的工人的生产速度.

回归方程 $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为： $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}}$ ， $\hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}$ .

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21. 在 $△ A B C$ 中， $A C = \sqrt{10}$ ， $C D$ 平分 $∠ A C B$ 交 $A B$ 于点D，已知 $C D = \sqrt{2}$ ， $∠ B D C = \frac{π}{4}$ .

(1)、求 $A D$ ；

(2)、求 $\frac{B D}{B C}$ .

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22. 设等差数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ， $a_{8} - 2 a_{3} = 3, S_{3} = a_{7}$ .

(1)、求 $a_{n}$ 及 $S_{n}$ ；

(2)、设 $b_{n} = \frac{1}{a_{n} a_{n + 1}}$ ，数列 ${b_{n}}$ 的前n项和为 $T_{n}$ ，是否存在正整数 $m, n (m < n)$ ，使得 $\frac{5}{3} T_{1}$ ， $T_{m}, T_{n}$ 成等比数列？若存在，求出所有满足条件的 $m, n$ ；否则，请说明理由.

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工龄x(单位：年)	6	8	12	10	14
生产速度y(单位：件/小时)	40	55	60	60	65