江苏省扬州市2019-2020学年高一下学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2020-09-08 类型：期末考试

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一、单选题

1. 直线 $x - \sqrt{3} y + 1 = 0$ 的倾斜角为（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{2 π}{3}$ D、 $\frac{5 π}{6}$

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2. 已知 $Δ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，若 $A = 60 °, a = \sqrt{3}$ ，则 $\frac{b + c}{\sin B + \sin C}$ 等于（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\sqrt{3}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $2$

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3. 已知以 $C (- 4, 3)$ 为圆心的圆与圆 $x^{2} + y^{2} = 1$ 相内切，则圆C的方程为（）

A、 ${(x - 4)}^{2} + {(y + 3)}^{2} = 36$ B、 ${(x + 4)}^{2} + {(y - 3)}^{2} = 16$ C、 ${(x + 4)}^{2} + {(y - 3)}^{2} = 36$ D、 ${(x - 4)}^{2} + {(y + 3)}^{2} = 16$

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4. 如图，在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，二面角 $D_{1} - B C - D$ 的大小为（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{4}$ C、 $\frac{π}{3}$ D、 $\frac{π}{2}$

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5. 若 $x_{1}, x_{2}, \dots, x_{8}$ 的方差为 $3$ ，则 $2 x_{1}, 2 x_{2}, \dots, 2 x_{8}$ 的方差为（）

A、 $\sqrt{6}$ B、 $2 \sqrt{3}$ C、 $6$ D、 $12$

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6. 已知球的半径与圆锥的底面半径都为2，若它们的表面积相同，则圆锥的高为（）

A、 $\sqrt{5}$ B、 $4 \sqrt{2}$ C、 $2 \sqrt{15}$ D、8

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7. 已知 $△ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ，若 $2 a \cos C = b$ ，则 $△ A B C$ 的形状一定是（）

A、等腰直角三角形 B、直角三角形 C、等腰三角形 D、等边三角形

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8. 已知平面 $α$ 、平面 $γ$ 、平面 $β$ 、直线 $a$ 以及直线 $b$ ，则下列命题说法错误的是（）

A、若 $a // α ， b ⊥ α$ ，则 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ B、若 $α // β ， α \cap γ = a ， β \cap γ = b$ ，则 $a // b$ C、若 $α // β ， a ⊥ α$ ，则 $a ⊥ β$ D、若 $α ⊥ γ ， β ⊥ γ$ ，则 $α // β$

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9. 在 $Δ A B C$ 中，点 $D$ 在边 $B C$ 上，且满足 $A D = B D = 2 C D ， 3 \tan^{2} B - 2 \tan A + 3 = 0$ ，则 $∠ B$ 的大小为（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{π}{4}$ D、 $\frac{5 π}{12}$

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二、多选题

10. 已知 $△ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ，根据下列条件解三角形，有两解的是（）

A、 $a = \sqrt{2}, b = 2, B = 120^{\circ}$ B、 $a = 2, b = \sqrt{3}, B = 45^{\circ}$ C、 $b = 3, c = \sqrt{3}, B = 60^{°}$ D、 $a = 2 \sqrt{3}, b = \sqrt{10}, B = 60^{°}$

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11. 已知直线l与圆 $C : x^{2} + y^{2} + 2 x - 4 y + a = 0$ 相交于 $A, B$ 两点，弦 $A B$ 的中点为 $M (0, 1)$ ，则实数 $a$ 的取值可为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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12. 如图，已知四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ，底面 $A B C D$ 为矩形， $A P = 6$ ， $A B = a$ .若在直线 $B C$ 上存在两个不同点 $Q$ ，使得直线 $P Q$ 与平面 $A B C D$ 所成角都为 $\frac{π}{3}$ .则实数 $a$ 的值为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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三、填空题

13. 口袋中有若干红球､黄球与蓝球，摸出红球的概率为 $0.4$ ，摸出黄球的概率为 $0.2$ ，则摸出红球或蓝球的概率为.

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14. 已知点 $A (1 ， 3)$ 与直线 $l ：$ $3 x + y + 4 = 0$ ，则点 $A$ 关于直线l的对称点坐标为.

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15. 如图，为测量两座山顶之间的距离 $M C$ ，已知山高 $B C = 5 \sqrt{2} km$ ， $M N = 7.5 km$ ，从观测点 $A$ 分别测得 $M$ 点的仰角 $∠ M A N = 30^{\circ} ，$ $C$ 点的仰角 $∠ C A B = 45 °$ 以及 $∠ M A C = 60 °$ ，则两座山顶之间的距离 $M C =$ $km$ .

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16. 如图，三棱锥 $B - A C D$ 中，平面 $B C D ⊥$ 平面 $A C D$ ， $C D = 6 ， ∠ B D C = 60^{0}$ ，若 $B C = \sqrt{3} B D ， A C = 2 A D$ ，则该三棱锥的体积的最大值为.

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四、解答题

17. 已知 $Δ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ， $2 \cos A (c \cos B + b \cos C) = a$

(1)、求角 $A$ ；

(2)、若 $a = 2 \sqrt{3}$ ， $Δ A B C$ 的面积为 $\sqrt{3}$ ，求 $Δ A B C$ 的周长.

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18. 已知矩形 $A B C D$ 的两条对角线相交于点 $E (1, 0)$ ， $A D$ 边所在直线的方程为 $2 x + y + 2 = 0$ .点 $F (2, - 1)$ 在 $A B$ 边所在直线上.求：

(1)、 $A B$ 边所在直线的方程；

(2)、 $C D$ 边所在直线的方程.

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19. 某医院为促进行风建设，拟对医院的服务质量进行量化考核，每个患者就医后可以对医院进行打分，最高分为100分.上个月该医院对100名患者进行了回访调查，将他们按所打分数分成以下几组：第一组 $[0 ， 20)$ ，第二组 $[20 ， 40)$ ，第三组 $[40 ， 60)$ ，第四组 $[60 ， 80)$ ，第五组 $[80 ， 100]$ ，得到频率分布直方图，如图所示.

(1)、求所打分数不低于60分的患者人数；

(2)、该医院在第二､三组患者中按分层抽样的方法抽取6名患者进行深入调查，之后将从这6人中随机抽取2人聘为医院行风监督员，求行风监督员来自不同组的概率.

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20. 如图，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A C = B C = C C_{1} = 2 a$ ， $∠ A C B = \frac{π}{2}$ ，点 $D$ 为 $B C$ 中点，连接 $A_{1} C$ ､ $A C_{1}$ 交于点 $E$ ，点 $F$ 为 $D C_{1}$ 中点.

(1)、求证： $E F / /$ 平面 $A B C$ ；

(2)、求证：平面 $A_{1} C B ⊥$ 平面 $A C_{1} D$ ；

(3)、求点 $C$ 到平面 $A C_{1} D$ 的距离.

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21. 如图，我炮兵阵地位于 $A$ 处，两移动观察所分别设于 $C ， D$ .已知 $△ A C D$ 为正三角形.当目标出现于 $B$ 时，测得 $B C = 1$ 千米， $B D = 2$ 千米.

(1)、若测得 $∠ D B C = 60^{\circ}$ ，求 $△ A B C$ 的面积；

(2)、若我方炮火的最远射程为 $4$ 千米，试问目标 $B$ 是否在我方炮火射程范围内？

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22. 已知圆 $C_{1} ： {(x - a)}^{2} + y^{2} = r^{2} (r > 0)$ ，圆心 $C_{1}$ 在直线 $2 x + y + 4 = 0$ 上，且直线 $x + \sqrt{3} y + 4 = 0$ 被圆 $C_{1}$ 截得的弦长为 $2 \sqrt{3}$ .

(1)、求圆 $C_{1}$ 的方程；

(2)、过圆 $C_{2} ： {(x - 6)}^{2} + y^{2} = 4$ 上任一点 $Q (x_{0} ， y_{0})$ 作圆 $C_{1}$ 的两条切线，设两切线分别与 $y$ 轴交于点 $M$ 和 $N$ ，求线段 $M N$ 长度的取值范围.

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