江苏省徐州市2019-2020学年高一下学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2020-09-08 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知点 $M (1, 6)$ ， $N (7, 3)$ ，则直线 $M N$ 的斜率为（）

A、-2 B、 $- \frac{1}{2}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、2

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2. $\sin 37^{°} \cos 23^{°} + \cos 37^{°} \sin 23^{°}$ 的值为（）

A、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $- \frac{1}{2}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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3. 圆 $x^{2} + y^{2} - 4 x + 6 y - 1 = 0$ 的圆心坐标为（）

A、 $(- 2, 3)$ B、 $(2, - 3)$ C、 $(- 2, - 3)$ D、 $(2, 3)$

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4. 下列命题错误的是（）

A、不在同一直线上的三点确定一个平面 B、两两相交且不共点的三条直线确定一个平面 C、如果两个平面垂直，那么其中一个平面内的直线一定垂直于另一个平面 D、如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线一定平行于另一个平面

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5. 下列叙述正确的是（）

A、频率是稳定的，概率是随机的 B、互斥事件一定不是对立事件，但是对立事件一定是互斥事件 C、5张奖券中有1张有奖，甲先抽，乙后抽，那么乙比甲抽到有奖奖券的可能性小 D、若事件A发生的概率为P(A)，则 $0 \leq P (A) \leq 1$

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6. 在△ABC中，已知∠B=60°，边AB=4，且△ABC的面积为 $2 \sqrt{3}$ ，则边AC的长为（）

A、2 B、 $2 \sqrt{2}$ C、 $2 \sqrt{3}$ D、4

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7. 某同学5次考试的数学成绩x与物理成绩y的统计数据如下表，已知该同学的物理成绩y与数学成绩x是线性相关的，根据数据可得回归方程 $\hat{y} = b x + a$ 的b的值为0.5，则当该生的物理成绩y达到90分时，可以估计他的数学成绩为（）

数学 $x$

103

137

112

128

120

物理 $y$

71

88

76

84

81

A、140 B、142 C、145 D、148

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8. 阿基米德(Archimedes，公元前287年一公元前212年)是古希腊伟大的数学家､物理学家和天文学家.他推导出的结论“圆柱内切球体的体积是圆柱体积的三分之二，并且球的表面积也是圆柱表面积的三分之二”是其毕生最满意的数学发现，后人按照他生前的要求，在他的墓碑上刻着一个圆柱容器里放了一个球，如图，该球顶天立地，四周碰边，圆柱的底面直径与高都等于球的直径，若球的体积为36π，则圆柱的表面积为（）

A、36π B、45π C、54π D、63π

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二、多选题

9. 已知直线 $l_{1} : x + m y - 1 = 0, l_{2} : (m - 2) x + 3 y + 3 = 0$ ，则下列说法正确的是（）

A、若 $l_{1} / / l_{2}$ ，则m=-1或m=3 B、若 $l_{1} / / l_{2}$ ，则m=3 C、若 $l_{1} ⊥ l_{2}$ ，则 $m = - \frac{1}{2}$ D、若 $l_{1} ⊥ l_{2}$ ，则 $m = \frac{1}{2}$

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10. 已知△ABC的内角A， B， C所对的边分别为a， b， c，则下列说法正确的是（）

A、若 $\sin B > \sin C$ ，则B $>$ C B、若a=4， $b = 2 \sqrt{6}$ ， $A = \frac{π}{4}$ ，则三角形有两解 C、若 $b \cos B - c \cos C = 0$ ，则△ABC一定为等腰直角三角形 D、若 $b \cos C - c c o s B = 0$ ，则△ABC一定为等腰三角形

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11. PM2.5是衡量空气质量的重要指标，下图是某地7月1日到10日的PM2.5日均值(单位： ${ug/m}^{3}$ )的折线图，则下列关于这10天中PM2.5日均值的说法正确的是（）

A、众数为30 B、中位数是31 C、平均数小于中位数 D、后4天的方差小于前4天的方差

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12. 如图，在棱长为1的正方体中，下列结论正确的是（）

A、异面直线AC与 $B C_{1}$ 所成的角为60° B、直线 $A B_{1}$ 与平面 $A B C_{1} D_{1}$ 成角为45° C、二面角 $A - B_{1} C - B$ 的正切值为 $\sqrt{2}$ D、四面体 $D_{1} - A B_{1} C$ 的外接球的体积为 $\frac{\sqrt{3}}{2} π$

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三、填空题

13. 已知 $\tan α = 2, \tan β = - 1$ ，则 $\tan (α - β)$ 的值为

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14. 过圆 $x^{2} + y^{2} = 5$ 上一点 $P (1, - 2)$ 的圆的切线的一般式方程为

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15. 农历五月初五是端午节，民间有吃粽子的习惯，粽子又称粽籺，俗称粽子，古称“角黍”，是端午节大家都会品尝的食品，传说这是为了纪念战国时期的楚国大臣、爱国主义诗人屈原.如图，平行四边形形状的纸片是由六个边长为2的正三角形组成的，将它沿虚线对折起来，可以得到如图所示粽子形状的六面体，则该六面体的体积为

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四、双空题

16. 如图，某数学学习兴趣小组的同学要测量学校地面上旗杆CD的高度(旗杆CD垂直于地面)，设计如下的测量方案：先在地面选定距离为30米的A， B两点，然后在A处测得 $∠ B A C = 30^{°}$ ，在B处测得 $∠ A B C = 105^{°}$ ， $∠ D B C = 45^{°}$ ，由此可得旗杆CD的高度为米， $∠ C A D$ 的正切值为.

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五、解答题

17. 已知 $A (3, 2)$ 和 $l : 2 x - y + 1 = 0$ .

(1)、求过点A且与直线l平行的直线方程；

(2)、求点A关于直线 $l$ 的对称点B的坐标.

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18. 已知 $0 < α < \frac{π}{2}, \cos (\frac{π}{4} + α) = \frac{1}{3}$

(1)、求 $\cos α$ 的值；

(2)、求 $\sin 2 α$ 的值.

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19. 已知△ABC的内角A， B， C所对的边分别为 $a, b, c, A = \frac{π}{3}$ ，_____________，且 $b = \sqrt{2}$ ，请从① $b^{2} + \sqrt{2} a c = a^{2} + c^{2},$ ② $a \cos B = b \sin A,$ ③ $\sin B + \cos B = \sqrt{2}$ 这三个条件中任选一个补充在横线上，求出此时△ABC的面积.

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20. 手机支付也称为移动支付(Mobile Payment)，是当今社会比较流行的一种付款方式.某金融机构为了了解移动支付在大众中的熟知度，对15—65岁的人群作了问题为“你会使用移动支付吗？”的随机抽样调查，把回答“会”的100个人按照年龄分成5组，绘制成如图所示的频数分布表和频率分布直方图.

(1)、求x，a的值；

(2)、若从第1，3组中用分层抽样的方法抽取5人，求两组中分别抽取的人数；

(3)、在（2）抽取的5人中再随机抽取2人，求所抽取的2人来自同一个组的概率.

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21. 如图，在 $P - A B C$ 中， $P A ⊥$ 平面 $A B C$ ， $P A = 2 \sqrt{3}$ ， $C A = C B = A B = 2$ ， $D$ 为棱 $A B$ 的中点，点 $E$ 在棱 $P A$ 上.

(1)、若 $A E = E P$ ，求证： $P B //$ 平面 $C D E$ ；

(2)、求证：平面 $P A B ⊥$ 平面 $C D E$ ；

(3)、若二面角 $B - C D - E$ 的大小为120°，求异面直线 $P C$ 与 $D E$ 所成角的余弦值.

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22. 如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知圆 $M$ ： $x^{2} + y^{2} - 4 x - 8 y + 12 = 0$ ，过点 $O$ 及点 $A (- 2 ， 0)$ 的圆 $N$ 与圆 $M$ 外切.

(1)、求圆 $N$ 的标准方程；

(2)、若过点 $A$ 的直线 $l$ 被两圆截得的弦长相等，求直线 $l$ 的方程；

(3)、直线 $M N$ 上是否存在点 $B$ ，使得过点 $B$ 分别作圆 $M$ 与圆 $N$ 的切线，切点分别为 $P$ ， $Q$ (不重合)，满足 $B Q = 2 B P$ ？若存在，求出点 $B$ 的坐标，若不存在，请说明理由.

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数学 $x$	103	137	112	128	120
物理 $y$	71	88	76	84	81