江苏省宿迁市2019-2020学年高一下学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2020-09-08 类型：期末考试

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一、单选题

1. 两条直线 $y = \frac{3}{2} x$ ， $6 x - 4 y + 13 = 0$ 之间的距离为（）

A、 $\sqrt{13}$ B、 $\frac{\sqrt{13}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{13}}{4}$ D、13

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2. 采用简单随机抽样的方法，从含有5个个体的总体中抽取一个容量为2的样本，某个个体被抽到的概率为（）

A、 $\frac{1}{5}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{2}{5}$

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3. 若直线过两点 $(- 1, 1)$ ， $(2, 1 + \sqrt{3})$ ，则此直线的倾斜角是（）

A、30° B、45° C、60° D、90°

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4. 某老师从星期一到星期五收到的信件数分别为10，6，8， 5， 6，则该组数据的方差 $s^{2}$ 的值为（）

A、 $\frac{4 \sqrt{5}}{5}$ B、 $4 \sqrt{5}$ C、 $\frac{16}{5}$ D、16

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5. 设直线 $2 x + (k - 3) y - 2 k + 6 = 0$ 过定点 $P$ ，则点 $P$ 的坐标为（）

A、 $(3, 0)$ B、 $(0, 2)$ C、 $(0, 3)$ D、 $(2, 0)$

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6. 两圆 $C_{1} : {(x + 3)}^{2} + y^{2} = 4$ 与 $C_{2} : x^{2} + {(y - 4)}^{2} = 16$ 的公切线条数为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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7. 已知正四面体 $A B C D$ ，则 $A B$ 与平面 $B C D$ 所成角的余弦值为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$

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8. 已知圆 $C$ 的圆心在直线 $y = - x$ 上，且过两点 $A (2, 0)$ ， $B (0, - 4)$ ，则圆 $C$ 的方程是（）

A、 ${(x - 3)}^{2} + {(y + 3)}^{2} = \sqrt{10}$ B、 ${(x + 3)}^{2} + {(y - 3)}^{2} = \sqrt{10}$ C、 ${(x - 3)}^{2} + {(y + 3)}^{2} = 10$ D、 ${(x + 3)}^{2} + {(y - 3)}^{2} = 10$

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二、多选题

9. 在 $△ A B C$ 中，角 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，若 $b = 10$ ， $A = 45 °$ ，则使此三角形有两解的 $a$ 的值可以是（）

A、5 B、 $6 \sqrt{2}$ C、8 D、 $10 \sqrt{2}$

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10. 下列说法正确的是（）

A、某种彩票中奖的概率是 $\frac{1}{1000}$ ，则买10000张彩票一定会中1次奖 B、若甲、乙两位同学5次测试成绩的方差分别为0.3和0.5，则乙同学成绩比较稳定 C、线性回归直线 $\hat{y} = b x + a$ 一定经过点 $(\bar{x}, \bar{y})$ D、从装有3只红球、3只白球的袋子中任意取出4只球，则“取出1只红球和3只白球”与“取出3只红球和1只白球”是互斥事件

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11. 如图，在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点 $E$ 是棱 $C C_{1}$ 上的一个动点，给出以下结论，其中正确的有（）

A、 $A D$ 与 $B D_{1}$ 所成的角为45° B、 $A D_{1} //$ 平面 $B C C_{1}$ C、平面 $A C D_{1} ⊥$ 平面 $B_{1} D_{1} D$ D、对于任意的点 $E$ ，四棱锥 $B_{1} - B E D_{1}$ 的体积均不变

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12. 已知 $△ A B C$ 中， $A B = 1$ ， $A C = 4$ ， $B C = \sqrt{13}$ ， $D$ 在 $B C$ 上， $A D$ 为 $∠ B A C$ 的角平分线， $E$ 为 $A C$ 中点下列结论正确的是（）

A、 $B E = \sqrt{3}$ B、 $△ A B C$ 的面积为 $\sqrt{13}$ C、 $A D = \frac{4 \sqrt{3}}{5}$ D、 $P$ 在 $△ A B E$ 的外接圆上，则 $P B + 2 P E$ 的最大值为 $2 \sqrt{7}$

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三、填空题

13. 用分层抽样的方法从高一、高二、高三3个年级的学生中抽取1个容量为60的样本，其中高一年级抽取15人，高三年级抽取20人，已知高二年级共有学生500人，则3个年级学生总数为人.

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14. 从 ${1, 2, 3, 4, 5, 6}$ 中任取两个不同数，其和能被3整除的概率是.

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15. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知圆 $C_{1} ： {(x - 2)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = 4$ ，线段 $A B$ 是圆 $C_{2} ： {(x + 4)}^{2} + {(y + 2)}^{2} = 4$ 的一条动弦，且 $A B = 2 \sqrt{2}$ ，线段 $A B$ 的中点为 $Q$ ，则直线 $O Q$ 被圆 $C_{1}$ 截得的弦长取值范围是.

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四、双空题

16. 已知正三棱锥 $A - B C D$ 的四个顶点在同一个球面上， $A B = A C = A D = 4$ ， $C D = 6$ ，则该三棱锥的外接球的表面积为；该三棱锥的顶点 $B$ 到面 $A C D$ 的距离为.

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五、解答题

17. 如图，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A B = A C$ ，点 $D$ ， $E$ 分别是 $B C$ ， $B_{1} C_{1}$ 的中点， $A A_{1} = 2$ ， $B C = 2 \sqrt{2}$ .

(1)、求证： $A_{1} E //$ 平面 $A D C_{1}$ ；

(2)、求二面角 $C_{1} - A D - C$ 的余弦值.

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18. 如图，在平面直角坐标系中，已知平行四边形 $A B C D$ 的顶点 $B (5 ， 3)$ 和 $D (3 ， - 1)$ ， $A B$ 所在直线的方程为 $x - y - 2 = 0$ ， $A B ⊥ A C$ .

(1)、求对角线 $A C$ 所在直线的方程；

(2)、求 $B C$ 所在直线的方程.

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19. 某奶茶店为了解冰冻奶茶销售量与气温之间的关系，随机统计并制作了某5天卖出冰冻奶茶的杯数 $y$ 与当天气温 $x$ 的对照表：

温度 $x$ /℃

15

20

25

30

35

冰冻奶茶杯数 $y$ /十杯

5

7

9

8

10

注：线性回归方程 $\hat{y} = b x + a$ 的系数计算公式： $b = \frac{n \sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i} - (\sum_{i = 1}^{n} x_{i}) (\sum_{i = 1}^{n} y_{i})}{n \sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} - {(\sum_{i = 1}^{n} x_{i})}^{2}}$ ， $a = \bar{y} - b \bar{x}$ .

（参考数据： $125^{2} = 15625$ ， $15^{2} + 20^{2} + 25^{2} + 30^{2} + 35^{2} = 3375$ ）

(1)、画出散点图；

(2)、求出变量 $x$ ， $y$ 之间的线性回归方程；若该奶茶店制定某天的销售目标为 $11$ 杯，当该天的气温是 $38^{\circ} C$ 时，该奶茶店能否完成销售目标？

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20. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A C = \sqrt{6}$ ， $D$ 为 $A B$ 边上一点， $C D = A D = 2$ ，且 $\cos ∠ B C D = \frac{\sqrt{6}}{4}$ ．

(1)、求 $sin B$ ；

(2)、求 $△ A B C$ 的面积．

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21. 某校从参加某次知识竞赛的同学中，选取50名同学将其成绩（百分制，均为整数）分成六组：第1组 $[40 ， 50)$ ，第2组 $[50 ， 60)$ ，第3组 $[60 ， 70)$ ，第4组 $[70 ， 80)$ ，第5组 $[80 ， 90)$ ，第6组 $[90 ， 100]$ ，得到部分频率分布直方图（如图），观察图形中的信息，回答下列问题：

(1)、求分数在 $[80 ， 90)$ 内的频率，并补全这个频率分布直方图；

(2)、从频率分布直方图中，利用组中值估计本次考试成绩的平均数；

(3)、已知学生成绩评定等级有优秀、良好、一般三个等级，其中成绩不小于90分时为优秀等级，若从第5组和第6组两组学生中，随机抽取2人，求所抽取的2人中至少一人成绩优秀的概率.

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22. 如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知圆 $x^{2} + y^{2} = 25$ ，圆 $C ： x^{2} + {(y - 1)}^{2} = r^{2} (0 < r < 3)$ ，点 $P (- 3 ， 4)$ ， $M$ ， $N$ 为圆 $O$ 上的不同于点 $P$ 的两点.

(1)、已知 $M$ 坐标为 $(5 ， 0)$ ，若直线 $P M$ 截圆 $C$ 所得的弦长为 $\frac{2 \sqrt{55}}{5}$ ，求圆 $C$ 的方程；

(2)、若直线 $M N$ 过 $(0 ， 4)$ ，求 $△ C M N$ 面积的最大值；

(3)、若直线 $P M$ ， $P N$ 与圆 $C$ 都相切，求证：当 $r$ 变化时，直线 $M N$ 的斜率为定值.

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温度 $x$ /℃	15	20	25	30	35
冰冻奶茶杯数 $y$ /十杯	5	7	9	8	10