江苏省南通市如东县2019-2020学年高一下学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2020-09-08 类型：期末考试

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一、单选题

1. 若直线 $a x + 3 y - 5 = 0$ 经过点 $A (2, 1)$ ，则实数 $a$ 的值（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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2. 将一颗质地均匀的骰子(一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6的正方体玩具)先后抛掷两次，则向上的点数之和为4的概率为（）

A、 $\frac{1}{18}$ B、 $\frac{1}{12}$ C、 $\frac{1}{9}$ D、 $\frac{1}{3}$

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3. 在△ $A B C$ 中，已知 $a^{2} + b^{2} + \sqrt{2} a b = c^{2}$ ，则角 $C$ 等于（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{4}$ C、 $\frac{2 π}{3}$ D、 $\frac{3 π}{4}$

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4. 已知m为实数，直线 $l_{1} ： m x + y - 1 = 0$ ， $l_{2} ： (3 m - 2) x + m y - 2 = 0$ ，若 $l_{1} / / l_{2}$ ，则实数m的值（）

A、2 B、1 C、1或2 D、0或 $\frac{1}{3}$

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5. 已知l，m为两条不同直线， $α$ ， $β$ 为两个不同平面，则下列命题中真命题的是（）

A、若 $l // m$ ， $m \subset α$ ，则 $l // α$ B、若 $l ⊥ m$ ， $m \subset α$ ，则 $l ⊥ α$ C、若 $α // β$ ， $m \subset α$ ，则 $m // β$ D、若 $α ⊥ β$ ， $m \subset α$ ，则 $m ⊥ β$

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6. 圆 $x^{2} + y^{2} - 2 x - 8 y + 13 = 0$ 截直线 $a x + y - 1 = 0$ 所得的弦长为 $2 \sqrt{3}$ ，则 $a =$ （）

A、 $- \frac{4}{3}$ B、 $- \frac{3}{4}$ C、 $\sqrt{3}$ D、2

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7. 在长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = B C = 2$ ， $A A_{1} = 1$ ，则直线 $B C_{1}$ 与平面 $B B_{1} D D_{1}$ 所成角的正弦值为（）

A、 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{10}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{15}}{5}$ D、 $\frac{\sqrt{10}}{5}$

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8. 已知关于某设各的使用年限x（单位：年）和所支出的维修费用y（单位：万元）有如下的统计资料，

x

2

3

4

5

6

y

2.2

3.8

5.5

6.5

7.0

由上表可得线性回归方程 $\hat{y} = \hat{b} x + 0.08$ ，若规定当维修费用y＞12时该设各必须报废，据此模型预报该设各使用年限的最大值为（）

A、7 B、8 C、9 D、10

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9. 已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，AD为角A的角平分线，交BC于D， $B = \frac{π}{4}$ ， $A D = 2 \sqrt{2}$ ，BD＝2，则b＝（）

A、 $2 \sqrt{2}$ B、 $\sqrt{2}$ C、 $\sqrt{3}$ D、 $\sqrt{6}$

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10. 已知锐角三角形 $△ A B C$ 的内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ .且 $b = 2 a \sin B$ ，则 $\cos B + \sin C$ 的取值范围为（）

A、 $(0, \sqrt{3}]$ B、 $(1, \sqrt{3}]$ C、 $(\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{3}{2})$ D、 $(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2})$

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二、多选题

11. 若圆 $C_{1} : {(x - 1)}^{2} + y^{2} = 1$ 与圆 $C_{2} : x^{2} + y^{2} - 8 x + 8 y + m = 0$ 相切，则m的值可以是（）

A、16 B、7 C、04 D、-7

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12. 如图，在三棱锥 $P - A B C$ 中， $D$ 、 $E$ 、 $F$ 分别为棱 $P C$ 、 $A C$ 、 $A B$ 的中点， $P A ⊥$ 平面 $A B C$ ， $∠ A B C = 90 °$ ， $A B = P A = 6$ ， $B C = 8$ ，则（）

A、三棱锥 $D - B E F$ 的体积为 $18$ B、平面 $D E F$ 截三棱锥 $P - A B C$ 所得的截面面积为 $12$ C、点 $P$ 与点 $A$ 到平面 $B D E$ 的距离相等 D、直线 $P B$ 与直线 $D F$ 垂直

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三、填空题

13. 若x₁ ， x₂ ， $\dots$ ，x_n的方差为 $2$ ，则2x₁+3，2x₂+3， $\dots$ ，2x_n+3的方差为.

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14. △ABC中，角 $A$ ，B，C的对边分别为a，b，c.已知 $2 a = b + c, \sin^{2} A = \sin B \sin C$ ，则△ABC一定为.（用“直角三角形”“等边三角形”“等腰直角三角形”填空）

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15. 设长方体的长、宽、高分别为 $3$ 、 $2$ 、 $1$ ，其顶点都在同一个球面上，则该球的半径为.

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16. 已知凸四边形ABCD（指把四边形的任意一条边向两端无限延长成一直线时，其他各边都在此直线的同旁）中，边 $B C = 2 \sqrt{3}$ ，对角线 $A C = 4$ ，且 $∠ A C B = 90 °$ ，又顶点 $D$ 满足 $A D^{2} + C D^{2} < 16$ ，则凸四边形ABCD的对角线 $B D$ 长的范围是.

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四、解答题

17. △ABC的内角A，B，C的对边为 $a ， b ， c$ ， $a \cos C + c \cos A = 2 b \cos A$

(1)、求A；

(2)、若B=45°，a=2，求b，c.

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18. 在正四棱锥 $P - A B C D$ 中， $E$ 、 $F$ 分别为棱 $P A$ 、 $P C$ 的中点.

(1)、求证： $E F //$ 平面 $A B C D$ ；

(2)、求证： $E F ⊥$ 平面 $P B D$ .

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19. 某校疫情期间“停课不停学”，实施网络授课，为检验学生上网课的效果，高三年级进行了一次网络模拟考试.全年级共1500人，现从中抽取了100人的数学成绩，绘制成频率分布直方图（如图所示）.已知这100人中[110，120）分数段的人数比[100，110）分数段的人数多6人.

(1)、根据频率分布直方图，求a，b的值；并估计抽取的100名同学数学成绩的平均数（假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替）；

(2)、现用分层抽样的方法从分数在[130，140），[140，150]的两组同学中随机抽取6名同学，从这6名同学中再任选2名同学作为“网络课堂学习优秀代表”发言，求这2名同学的分数恰在同一组内的概率.

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20. 如图，在长方体 $A B C D - H K L E$ 中，底面 $A B C D$ 是边长为 $3$ 的正方形，对角线 $A C$ 与 $B D$ 相交于点 $O$ ，点 $F$ 为线段 $A H$ 上靠近点 $A$ 的三等分点， $B E$ 与底面 $A B C D$ 所成角为 $\frac{π}{3}$ .

(1)、求证： $A C ⊥ B E$ ；

(2)、求二面角 $F - B E - D$ 的余弦值.

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21. 已知圆 $C ： x^{2} + {(y - 2)}^{2} = r^{2} (r > 0)$ 与直线 $l : 3 x + 4 y + 12 = 0$ 相切.

(1)、求圆 $C$ 的标准方程；

(2)、若动点 $M$ 在直线 $y + 6 = 0$ 上，过点 $M$ 引圆 $C$ 的两条切线 $M A$ 、 $M B$ ，切点分别为 $A, B$ .
①记四边形 $M A C B$ 的面积为 $S$ ，求 $S$ 的最小值；

②证明：直线 $A B$ 恒过定点.

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22. 已知函数 $f (x) = \log_{2} (3^{x} - 1)$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的定义域；

(2)、设 $g (x) = f (x) + a$ ，若函数 $g (x)$ 在 $(1, 2)$ 上有且仅有一个零点，求实数 $a$ 的取值范围；

(3)、设 $h (x) = f (x) + \frac{m}{f (x)}$ ，是否存在正实数 $m$ ，使得函数 $y = h (x)$ 在 $[1, 2]$ 内的最大值为4？若存在，求出 $m$ 的值；若不存在，请说明理由.

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x	2	3	4	5	6
y	2.2	3.8	5.5	6.5	7.0