江苏省南通市启东市2019-2020学年高一下学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2020-09-08 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | x - 2 \leq 0}, B = {1, 2, 3}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\emptyset$ B、 ${1}$ C、 ${1, 2}$ D、 ${1, 2, 3}$

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2. 已知向量 $\vec{a} = (1, x), \vec{b} = (4, 2)$ ，且 $\vec{a} // \vec{b}$ ，则x＝（）

A、-2 B、 $- \frac{1}{2}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、2

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3. 已知一只口袋内装有大小相同的4只球，其中2只白球，2只黑球，从中一次摸出2只球，则摸出的2只球中至少有1只是白球的概率是（）

A、 $\frac{1}{6}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{5}{6}$

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4. 已知 $a = {log}_{0.5}^{2}$ ， $b = 2^{0.5}$ ， $c = {0.5}^{2}$ ，则 $a$ ， $b$ ， $c$ 的大小关系为（）

A、 $a < b < c$ B、 $b < c < a$ C、 $a < c < b$ D、 $c < b < a$

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5. 为了估计加工零件所花费的时间，为此进行了4次试验，测得的数据如下表：

零件数 $x$ （个）

1

3

5

7

加工时间 $y$ （分钟）

0.5

a

2

2.5

若零件数x与加工时间y具有线性相关关系，且线性回归方程为 $\hat{y} = 0.36 x + 0.01$ ，则a＝（）

A、1 B、0.8 C、1.09 D、1.5

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6. 已知直线l经过两点 $O (0, 0), A (1, \sqrt{3})$ ，直线m的倾斜角是直线l的倾斜角的两倍，则直线m的斜率是（）

A、 $- \sqrt{3}$ B、 $- \frac{\sqrt{3}}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ D、 $\sqrt{3}$

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7. 下列可能是函数 $y = \frac{x^{2} - 1}{e^{| x |}}$ （e是自然对数的底数）的图象的是（）

A、 B、 C、 D、

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8. 已知函数 $f (x) = \sin ω x + \sqrt{3} \cos ω x (ω \in N^{*})$ 在（0，π）上恰有两个不同的零点，则ω的值是（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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二、多选题

9. 已知幂函数 $y = x^{α} (α \in R)$ 的图象过点（2，8），下列说法正确的是（）

A、函数 $y = x^{α}$ 的图象过原点 B、函数 $y = x^{α}$ 是偶函数 C、函数 $y = x^{α}$ 是单调减函数 D、函数 $y = x^{α}$ 的值域为R

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10. 某人射箭9次，射中的环数依次为：7，8，9，7，6，9，8，10，8，关于这组数据，下列说法正确的是（）

A、这组数据的众数是8 B、这组数据的平均数是8 C、这组数据的中位数是6 D、这组数据的方差是 $\frac{4}{3}$

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11. 已知直线l： $(a^{2} + a + 1) x - y + 1 = 0$ ，其中 $a \in R$ ，下列说法正确的是（）

A、当a＝－1时，直线l与直线x＋y＝0垂直 B、若直线l与直线x－y＝0平行，则a＝0 C、直线l过定点(0，1) D、当a＝0时，直线l在两坐标轴上的截距相等

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12. 已知在三棱锥P—ABC中，AP，AB，AC两两互相垂直，AP＝5cm，AB＝4cm，AC＝3cm，点O为三棱锥P—ABC的外接球的球心，点D为△ABC的外接圆的圆心，下列说法正确的是（）

A、三棱锥P—ABC的体积为10cm³ B、直线BC与平面PAC所成角的正切值为 $\frac{4}{3}$ C、球O的表面积为50πcm² D、OD⊥PA

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13. 式子 $9^{\frac{1}{2}} + \log_{3} 27$ 的值是

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14. 已知 $\sin α = \frac{3}{5}, α$ 为锐角，则 $\cos (π - α) =$

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15. 已知直线x－y＋1＝0与圆 $x^{2} + y^{2} - 2 x - a = 0$ 相切，则a的值是

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三、双空题

16. “辛普森（Simpson）公式”给出了求几何体体积的一种估算方法：几何体的体积V等于其上底的面积S、中截面（过几何体高的中点平行于底面的截面）的面积S₀的4倍、下底的面积S'之和乘以高h的六分之一，即 $V = \frac{1}{6} h (S + 4 S_{0} + S^{'})$ .已知函数 $y = \frac{k}{x} + m (x > 0)$ 的图象过点 $A (\frac{1}{2} ， 2) ， B (1 ， 1)$ ，与直线x＝0，y＝1及y＝2围成的封闭图形绕y轴旋转一周得到一个几何体，则k－m＝，利用“辛普森（Simpson）公式"可估算该几何体的体积V＝

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四、解答题

17. 已知 $| \vec{a} | = \sqrt{3}, | \vec{b} | = 1, \vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $\frac{π}{6}$ .求：

(1)、 $\vec{a} \cdot (\vec{a} + \vec{b})$ ；

(2)、 $| \vec{a} -2 \vec{b} |$ .

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18. 眼睛是心灵的窗户，保护好视力非常重要，某校高一、高二、高三年级分别有学生1200名、1080名、720名.为了解全校学生的视力情况，学校在6月6日“全国爱眼日”采用分层抽样的方法，抽取50人测试视力，并根据测试数据绘制了如图所示的频率分布直方图.

(1)、求从高一年级抽取的学生人数；

(2)、试估计该学校学生视力不低于4.8的概率；

(3)、从视力在[4.0，4.4)内的受测者中随机抽取2人，求2人视力都在[4.2，4.4）内的概率.

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19. 如图，在长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，已知AB＝AD＝1，AA₁＝2.

(1)、求证：BD⊥平面A₁ACC₁；

(2)、求二面角 $A_{1} - B D - A$ 的正切值.

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20. 在锐角 $△ A B C$ 中，设角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且 $b \sin A = \frac{\sqrt{3}}{2} a$ .

(1)、求B的大小；

(2)、若 $A B = 2, B C = \frac{3}{2}$ ，点D在边AC上，___________，求BD的长.
请在①AD＝DC；②∠DBC＝∠DBA；③BD⊥AC这三个条件中选择一个，补充在上面的横线上，并完成解答.

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21. 已知圆 $C : x^{2} + y^{2} + 2 x - 2 a y - 3 = 0$ 关于直线 $l : x - 2 y + 1 = 0$ 对称

(1)、求实数a的值；

(2)、设直线 $y = k x ((k > 0)$ 与圆C交于点A，B，且 $| A B | = \frac{8 \sqrt{5}}{5}$ .
①求k的值；

②点P（3，0），证明：x轴平分∠APB．

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22. 已知函数f（x），g（x）分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且 $f (x) + g (x) = x^{2} - x + 1$ .

(1)、求函数f(x)与g(x)的解析式；

(2)、设函数 $G (x) = f (x) + a | g (x) + 1 |$ ，若对任意实数x， $G (x) \geq \frac{3}{2}$ 恒成立，求实数a的取值范围.

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零件数 $x$ （个）	1	3	5	7
加工时间 $y$ （分钟）	0.5	a	2	2.5