江苏省连云港市2019-2020学年高一下学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2020-09-08 类型：期末考试

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一、单选题

1. $\cos^{2} \frac{π}{8} - \sin^{2} \frac{π}{8} =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{4}$ B、 $- \frac{\sqrt{2}}{4}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ D、 $- \frac{\sqrt{2}}{2}$

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2. 不等式 $x^{2} > 8$ 的解集是（）

A、 $(- 2 \sqrt{2}, 2 \sqrt{2})$ B、 $(- \infty, - 2 \sqrt{2}) \cup (2 \sqrt{2}, + \infty)$ C、 $(- 4 \sqrt{2}, 4 \sqrt{2})$ D、 $(- \infty, - 4 \sqrt{2}) \cup (4 \sqrt{2}, + \infty)$

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3. 若从甲，乙，丙，丁4位同学中选出3名代表参加学校会议，则甲被选中的概率是（）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{3}{4}$

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4. 某校为了了解教科研工作开展状况与教师年龄之间的关系，将该校不小于35岁的80名教师按年龄分组，分组区间为[35，40)，[40，45)，[45，50)，[50，55），[5，60]，由此得到频率分布直方图如图，则这80名教师中年龄小于45岁的人数有（）

A、45 B、46 C、48 D、50

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5. 过圆 $x^{2} + y^{2} = 5$ 上一点M（－1.2）作圆的切线l，则l的方程是（）

A、 $x + 2 y - 3 = 0$ B、 $x - 2 y + 5 = 0$ C、 $2 x - y - 5 = 0$ D、 $2 x + y - 5 = 0$

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6. 两条平行直线 $6 x - 4 y + 5 = 0$ 与 $y = \frac{3}{2} x$ 的距离是（）

A、 $\frac{\sqrt{13}}{13}$ B、 $\frac{\sqrt{13}}{26}$ C、 $\frac{5 \sqrt{13}}{13}$ D、 $\frac{5 \sqrt{13}}{26}$

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7. 如图，在三棱锥S－ABC中，SB＝SC＝AB＝AC＝BC＝4，SA＝2 $\sqrt{3}$ ，则异面直线SB与AC所成角的余弦值是（）

A、 $\frac{1}{8}$ B、 $- \frac{1}{8}$ C、 $\frac{1}{4}$ D、 $- \frac{1}{4}$

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8. 圆 $x^{2} + y^{2} - 2 x - 2 y - 2 = 0$ 的圆心为C，直线l过点(0，3)且与圆C交于A，B两点，若△ABC的面积为 $\sqrt{3}$ ，则满足条件的直线l的条数为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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二、多选题

9. 在4件产品中，有一等品2件，二等品1件（一等品与二等品都是正品），次品1件，现从中任取2件，则下列说法正确的是（）

A、两件都是一等品的概率是 $\frac{1}{3}$ B、两件中有1件是次品的概率是 $\frac{1}{2}$ C、两件都是正品的概率是 $\frac{1}{3}$ D、两件中至少有1件是一等品的概率是 $\frac{5}{6}$

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10. 关于异面直线a，b，下列四个命题正确的有（）

A、过直线a有且仅有一个平面β，使b⊥β B、过直线a有且仅有一个平面β，使b//β C、在空间存在平面β，使a//β，b//β D、在空间不存在平面β，使a⊥β，b⊥β

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11. 正方体的外接球与内切球上各有一个动点M，N，若线段MN的最小值为 $\sqrt{3} - 1$ ，则（）

A、正方体的外接球的表面积为12π B、正方体的内切球的体积为 $\frac{π}{3}$ C、正方体的棱长为1 D、线段MN的最大值为 $\sqrt{3} + 1$

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12. 瑞士著名数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上.这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”.在平面直角坐标系中作△ABC，AB＝AC＝4，点B(－1，3)，点C(4，－2)，且其“欧拉线”与圆M： ${(x - 3)}^{2} + y^{2} = r^{2}$ 相切，则下列结论正确的是（）

A、圆M上点到直线 $x - y + 3 = 0$ 的最小距离为2 $\sqrt{2}$ B、圆M上点到直线 $x - y + 3 = 0$ 的最大距离为3 $\sqrt{2}$ C、若点（x，y）在圆M上，则 $x + \sqrt{3} y$ 的最小值是 $3 - 2 \sqrt{2}$ D、圆 ${(x - a - 1)}^{2} + {(y - a)}^{2} = 8$ 与圆M有公共点，则a的取值范围是 $[1 - 2 \sqrt{2}, 1 + 2 \sqrt{2}]$

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三、填空题

13. 已知两点A（3，2），B（8，12），则直线AB的一般式方程为

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14. 用半圆形纸片卷成一个圆锥筒，该圆锥筒的高为 $\sqrt{3}$ ，则半圆形纸片的半径为

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15. 在 $△ A B C$ 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为S，且满足 $a^{2} - {(b - c)}^{2} = S$ ，b＋c＝2，则S的最大值是

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四、双空题

16. 设 $\cos x = t$ ，用t的代数式表示cos2x＝，用t的代数式表示cos3x＝

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五、解答题

17. 在△ABC中，角A，B，C对边分别为a，b，c，若 $A = 60^{°}, b = 1, S_{△ A B C} = \sqrt{3}$

(1)、求c的值；

(2)、求sinC的值.

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18. 已知 $\tan (α + β) = \frac{1}{3}, \tan α = - 2$ .

(1)、求tanβ：

(2)、求sin2α.

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19. 已知函数 $f (x) = a x^{2} + (a - 3) x + 2$ （其中a∈R）.

(1)、当a＝－1时，解关于x的不等式 $f (x) < 0$ ；

(2)、若 $f (x) \geq - 1$ 的解集为R，求实数a的取值范围.

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20. 如图，在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $E$ 为棱 $D D_{1}$ 的中点．

求证：

(1)、 $B D_{1}$ ∥平面 $E A C$ ；

(2)、平面 $E A C$ ⊥平面 $A B_{1} C$

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21. 在平面直角坐标系xOy中，圆C： $x^{2} + y^{2} + 4 x - 2 a y + a^{2} = 0$

(1)、若圆C与x轴相切，求实数a的值；

(2)、若M，N为圆C上不同的两点，过点M，N分别作圆C的切线 $l_{1}, l_{2}$ ，若 $l_{1}$ 与 $l_{2}$ 相交于点P，圆C上异于M，N另有一点Q，满足 $M O N = 60^{°}$ ，若直线 $l_{1}$ ： $x - y - 6 = 0$ 上存在唯一的一个点T，使得 $\vec{T P} = 2 \vec{O C}$ ，求实数a的值.

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22. 已知梯形ABCD中， $A B = 1 ， ∠ A = 60^{°} ， ∠ A B C = 90^{°} ， ∠ C B D = 45^{°}$ ，如图（1）所示.现将△ABC沿边BC翻折至 $△$ A'BC，记二面角A'—BC—D的大小为θ.

(1)、当θ＝90^°时，如图（2）所示，过点B作平面与A^‘D垂直，分别交 $A^{'} C ， A^{'} D$ 于点E，F，求点E到平面 $A^{'} B F$ 的距离；

(2)、当 $θ = 30^{°}$ 时，如图（3）所示，求二面角 $A^{'} - C D - B$ 的正切值

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