湖北省2019-2020学年高一下学期数学期末联考试卷

试卷更新日期：2020-09-08 类型：期末考试

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一、单选题

1. 设全集 $U = R$ ，已知集合 $A = {x | x < 3$ 或 $x \geq 9}$ ，集合 $B = {x | x \geq a}$ .若 $(C_{U} A) \cap B \neq \emptyset$ ，则a的取值范围为（）

A、 $a > 3$ B、 $a \leq 3$ C、 $a < 9$ D、 $a \leq 9$

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2. 已知复数z满足 $(1 + i) z = 4$ （i为虚数单位），则复数 $z - \sqrt{2}$ 在复平面内对应的点所在的象限为（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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3. 已知 $\sin (π + α) = \frac{1}{3}$ ，则 $\sin (\frac{3 π}{2} + 2 α) =$ （）

A、 $- \frac{7}{9}$ B、 $\frac{7}{9}$ C、 $- \frac{\sqrt{3}}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$

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4. 有四个幂函数：① $f (x) = x^{- 1}$ ；② $f (x) = x^{- 2}$ ；③ $f (x) = x^{3}$ ；④ $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ .某同学研究了其中的一个函数，他给出这个函数的三个性质：（1）偶函数；（2）值域是 ${y | y \in R$ ，且 $y \neq 0}$ ；（3）在 $(- \infty, 0)$ 上是增函数.如果他给出的三个性质中，有两个正确，一个错误，则他研究的函数是（）

A、① B、② C、③ D、④

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5. 齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马，田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马，现从双方的马匹中随机选一匹进行一场比赛，则田忌的马获胜的概率为（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{1}{4}$ C、 $\frac{1}{5}$ D、 $\frac{1}{6}$

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6. 设锐角 $△ A B C$ 的三个内角分别为角A、B、C，那么“ $A + B > \frac{π}{2}$ ”是“ $\sin B > \cos A$ ”成立的（）

A、充分必要条件 B、充分不必要条件 C、必要不充分条件 D、既不充分也不必要条件

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7. 根据食物中维C的含量可大致分为：含量很丰富：鲜枣、沙棘、猕猴桃、柚子，每100克中的维生素C含量超过100毫克；比较丰富：青椒、桂圆、番茄、草莓、甘蓝、黄瓜、柑橘、菜花，每100克中维生素C含量在50~100毫克；相对丰富：白菜、油菜、香菜、菠菜、芹菜、苋菜、菜苔、豌豆、豇豆、萝卜，每100克中维生素C含量在30~50毫克.现从猕猴桃、柚子两种食物中测得每100克所含维生素C的量（单位：mg）得到茎叶图如图所示，则下列说法中不正确的是（）

A、猕猴桃的极差为32 B、猕猴桃的平均数小于柚子的平均数 C、猕猴桃的方差小于柚子的方差 D、柚子的中位数为121

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8. 设 $a = {log}_{0.1} 2$ ， $b = {log}_{30} 2$ ，则（）

A、 $4 a b > 2 (a + b) > 3 a b$ B、 $4 a b < 2 (a + b) < 3 a b$ C、 $2 a b < 3 (a + b) < 4 a b$ D、 $2 a b > 3 (a + b) > 4 a b$

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9. 已知 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量 $\vec{c}$ 满足 $(\vec{a} - \vec{c}) \cdot (\vec{b} - 2 \vec{c}) = 0$ ，则 $| \vec{c} |$ 的最大值是（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$

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10. 在正三棱锥 $S - A B C$ 中， $M$ 、 $N$ 分别是棱 $S C$ 、 $B C$ 的中点，且 $A M ⊥ M N$ ，若侧棱 $S A = 2 \sqrt{5}$ ，则正三棱锥 $S - A B C$ 外接球的体积是（）

A、 $20 \sqrt{15} π$ B、 $60 π$ C、 $40 \sqrt{15} π$ D、 $48 π$

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11. 设点D为 $△ A B C$ 的边AB上一点，点P为 $△ A B C$ 内一点，且分别满足关系 $\vec{A D} = \frac{λ + 1}{λ^{2} + 2} \vec{A B}$ ， $\vec{A P} = \vec{A D} + \frac{λ}{λ + 1} \vec{B C}$ ， $λ > 0$ ，则 $\frac{S_{△ A P D}}{S_{△ A B C}}$ 的最大值为（）

A、 $2 \sqrt{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{4}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{3}$

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12. 已知 $f (x)$ 是定义在 $[- 1, 1]$ 上的奇函数，对任意的 $x_{1}$ ， $x_{2} \in [- 1, 1]$ ，均有 $x_{1} f (x_{1}) + x_{2} f (x_{2}) \geq x_{1} f (x_{2}) + x_{2} f (x_{1})$ .且当 $x \in [0, 1]$ 时， $2 f (\frac{x}{5}) = f (x)$ ， $f (x) = 1 - f (1 - x)$ ，那么表达式 $f (- \frac{190}{2020}) + f (- \frac{191}{2020}) + \dots + f (- \frac{319}{2020}) + f (- \frac{320}{2020}) =$ （）

A、 $- \frac{65}{4}$ B、-65 C、 $- \frac{131}{4}$ D、 $- \frac{131}{2}$

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二、填空题

13. 已知扇形的周长等于它所在圆的周长的一半，则这个扇形的圆心角是．

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14. $E 、 F$ 分别是三棱锥 $P - A B C$ 的棱 $A P 、 B C$ 的中点， $P C = 10 ， A B = 6$ ， $E F = 7$ ，则异面直线 $A B$ 与 $P C$ 所成的角为.

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15. 若正数a，b满足 $a b = 2$ ，则 $M = \frac{1}{1 + a} + \frac{1}{1 + 2 b}$ 的最小值为.

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16. 在 $△ A B C$ 中， $∠ A$ ， $∠ B$ ， $∠ C$ 对应边分别为a，b，c，且 $a = 5$ ， $b = 4$ ， $\cos (A - B) = \frac{31}{32}$ ，则 $△ A B C$ 的边 $c =$ .

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三、解答题

17. 已知命题 $p :$ 存在实数 $x \in R$ ，使 $x^{2} - a x + 1 \leq 0$ 成立.

(1)、若命题P为真命题，求实数a的取值范围；

(2)、命题 $q :$ 任意实数 $x \in [1, 2]$ ，使 $x^{2} - 2 a x + 1 \leq 0$ 恒成立.如果p，q都是假命题，求实数a的取值范围.

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18. 在 $△ A B C$ 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且 $\cos 2 C + 3 \cos C - 1 = 0$ .

(1)、求角C的大小；

(2)、若 $b = 3 a$ ， $△ A B C$ 的面积为 $\sqrt{3} \sin A \sin B$ ，求c的值.

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19. 如图，四棱锥 $S - A B C D$ 中， $A B / / C D$ ， $B C ⊥ C D$ ，侧面SAB为等边三角形. $A B = B C = 4$ ， $C D = S D = 2$ .

(1)、求证： $S D ⊥ A B$ ；

(2)、求AB与平面SBC所成的角的正弦值.

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20. 某种工程车随着使用年限的增加，每年的维修费用也相应增加、根据相关资料可知该种工程车自购入使用之日起，前5年中每年的维修费用如下表所示：

年份序号x

1

2

3

4

5

维修费用y（万元）

1.1

1.6

2

2.5

2.8

参考公式： $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i} - n \bar{x} \bar{y}}{\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} - n {\bar{x}}^{2}}$ ， $\hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}$ .

(1)、根据数据可知y与x具有线性相关关系，请建立y关于x的回归方程 $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ .

(2)、根据实际用车情况，若某辆工程车每年维修费用超过4万元时，可以申请报备更换新车，请根据回归方程预估一辆工程车一般使用几年后可以申请报备更换新车.

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21. 某学校高三年级学生某次身体素质体能测试的原始成绩采用百分制，已知所有这些学生的原始成绩均分布在 $[50 ， 100]$ 内，发布成绩使用等级制，各等级划分标准见下表.

百分制

85分及以上

70分到84分

60分到69分

60分以下

等级

A

B

C

D

规定：A，B，C三级为合格等级，D为不合格等级.为了解该校高三年级学生身体素质情况，从中抽取了n名学生的原始成绩作为样本进行统计.按照 $[50 ， 60)$ ， $[60 ， 70)$ ， $[70 ， 80)$ ， $[80 ， 90)$ ， $[90 ， 100]$ 的分组作出频率分布直方图如图1所示，样本中分数在80分及以上的所有数据的茎叶图如图2所示

(1)、根据频率分布直方图，求成绩的中位数（精确到0.1）；

(2)、在选取的样本中，从A，D两个等级的学生中随机抽取2名学生进行调研，求至少有一名学生是A等级的概率.

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22. 如图， $A B C D$ 是边长为3的正方形， $D E ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $A F ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $D E = 3 A F = 3$ .

(1)、证明：平面 $A B F / /$ 平面 $D C E$ ；

(2)、在 $D E$ 上是否存在一点 $G$ ，使平面 $F B G$ 将几何体 $A B C D E F$ 分成上下两部分的体积比为 $3 ： 11$ ？若存在，求出点 $G$ 的位置；若不存在，请说明理由.

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百分制	85分及以上	70分到84分	60分到69分	60分以下
等级	A	B	C	D

年份序号x	1	2	3	4	5
维修费用y（万元）	1.1	1.6	2	2.5	2.8