河南省驻马店市2019-2020学年高一下学期理数期末考试试卷

试卷更新日期：2020-09-08 类型：期末考试

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一、单选题

1. $\sin (- \frac{19 π}{6}) =$ （）

A、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $- \frac{1}{2}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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2. 数据的信息除了通过各种统计图表来加以整理和表达之外，还可以通过一些统计量来表述，平均数、中位数、众数、极差、方差、标准差这些统计量反映了数据的集中趋势或离散程度，下列表述不正确的是（）

A、平均数、中位数、众数刻画了一组数据的集中趋势 B、平均数、中位数、众数一定出现在原数据中 C、极差、方差、标准差刻画了一组数据的离散程度 D、平均数、中位数、众数、极差、标准差单位与原数据单位保持一致

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3. 已知 $0 < α < \frac{π}{2}$ ， $- \frac{π}{2} < β < 0$ ， $\sin α = \frac{5}{13}$ ， $\cos β = \frac{4}{5}$ ，则 $\sin (α + β)$ 的值是（）

A、 $\frac{16}{65}$ B、 $\frac{56}{65}$ C、 $- \frac{16}{65}$ D、 $- \frac{56}{65}$

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4. “互联网+”时代，全民阅读的内涵已然多元化，倡导读书成为一种生活方式.某校为了解高中学生的阅读情况，从该校1800名高一学生中，采用分层抽样方法抽取一个容量为200的样本进行调查，其中女生有88人.则该校高一男生共有（）

A、1098人 B、1008人 C、1000人 D、918人

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5. 洛书，古称龟书，是阴阳五行术数之源，在古代传说中有神龟出于洛水，其甲壳上心有此图象，结构是戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足，以五居中，五方白圈皆阳数，四角黑点为阴数.如图，若从四个阴数和五个阳数中分别随机选取1个数，则其和等于11的概率是（）

A、 $\frac{3}{10}$ B、 $\frac{1}{4}$ C、 $\frac{1}{5}$ D、 $\frac{1}{8}$

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6. 执行如图所示的程序框图，则输出的 $S =$ （）

A、-1 B、-2 C、2 D、 $\frac{1}{2}$

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7. 在 $△ A B C$ 中， $D$ 是 $B C$ 边上的一点， $F$ 是 $A D$ 上的一点，且满足 $2 \vec{A D} = \vec{A B} + \vec{A C}$ 和 $\vec{F D} + 2 \vec{F A} = \vec{0}$ ，连接 $C F$ 并延长交 $A B$ 于 $E$ ，若 $\vec{A E} = λ \vec{E B}$ ，则 $λ$ 的值为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{4}$ D、 $\frac{1}{5}$

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8. 如图所示的茎叶图记录了甲、乙两名同学在10次英语听力比赛中的成绩（单位：分），已知甲得分的中位数为76分，乙得分的平均数是75分，则下列结论正确的是（）

A、 ${\bar{x}}_{_{甲}} = 76$ B、甲数据中 $x = 3$ ，乙数据中 $y = 6$ C、甲数据中 $x = 6$ ，乙数据中 $y = 3$ D、乙同学成绩较为稳定

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9. 有以下变换方式：
①先向右平移 $\frac{5 π}{3}$ 个单位长度，再将每个点的横坐标缩短为原来的 $\frac{1}{2}$ 倍；②先向左平移 $\frac{5 π}{6}$ 个单位长度，再将每个点的横坐标伸长为原来的2倍；③先将每个点的横坐标伸长为原来的2倍，再向左平移 $\frac{5 π}{3}$ 个单位长度；④先将每个点的横坐标缩短为原来的 $\frac{1}{2}$ 倍，再向右平移 $\frac{5 π}{6}$ 个单位长度.其中能将函数 $y = 2 \cos (\frac{1}{2} x + \frac{π}{3})$ 的图像变为函数 $y = 2 \sin x$ 的图像的是（）

A、①和④ B、①和③ C、②和④ D、②和③

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10. 意大利“美术三杰”（文艺复兴后三杰）之一的达·芬奇的经典之作一《蒙娜丽莎》举世闻名｡画中女子神秘的微笑数百年来让无数观赏者入迷，某数学兼艺术爱好者对《蒙娜丽莎》的同比例影像作品进行了测绘，将画中女子的嘴唇近似看作一个圆弧，在嘴角 $A ， C$ 处作圆弧的切线，两条切线交于 $B$ 点，测得如下数据： $A B = 6.9 c m ， B C = 7.1 c m ， A C = 12.6 c m$ ，根据测量得到的结果推算：将《蒙娜丽莎》中女子的嘴唇视作的圆弧对应的圆心角位于以下哪个区间（）

A、 $(\frac{π}{6} ， \frac{π}{4})$ B、 $(\frac{π}{4} ， \frac{π}{3})$ C、 $(\frac{π}{3} ， \frac{5 π}{12})$ D、 $(\frac{5 π}{12} ， \frac{π}{2})$

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11. 已知 $\sin α$ ， $\cos α$ 是关于 $x$ 的 $x^{2} + a x - a = 0 (a \in R)$ 方程的两个根，则 $\sin^{3} α + \cos^{3} α$ 的值是（）

A、 $\sqrt{2} - 2$ B、 $\sqrt{2} - 1$ C、 $3 + \sqrt{3}$ D、 $3 \sqrt{3}$

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12. 已知 $| \vec{a} | = | \vec{b} | = 2$ ， $\vec{a} \cdot \vec{b} = - 2$ ， $(\vec{c} - \vec{a}) \cdot (\vec{c} - \vec{b}) = 0$ ，若 $| \vec{d} - \vec{c} | = 2$ ，则 $| \vec{d} |$ 最大值为（）

A、 $2 \sqrt{3}$ B、 $2 + \sqrt{3}$ C、 $3 + \sqrt{3}$ D、 $3 \sqrt{3}$

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二、填空题

13. 已知向量 $\vec{a} = (- 1, \sqrt{3})$ ， $\vec{b} = (\sqrt{3}, y)$ ，且 $(\vec{a} - \frac{2 \sqrt{3}}{3} \vec{b}) ⊥ \vec{a}$ ，则 $\vec{b}$ 在 $\vec{a}$ 上的投影是.

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14. 已知扇形 $A O B$ 的圆心角为 $α$ ，周长为4.那么当其面积取得最大值时， $α$ 的值是.

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15. 小明家的晚报在下午5：30~6：30之间的任何一个时间随机地被送到，小明一家人在下午6：00~7：00之间的任何一个时间随机地开始晚餐，那么晚报在晚餐开始之前被送到的概率是.

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16. 水痘是一种传染性很强的病毒性疾病，易在春天爆发.市疾控中心为了调查某校高年级学生注射水症疫苗的人数，在高一年级随机抽取5个班级，每个班抽取的人数互不相同，若把每个班级抽取的人数作为样本数据.已知样本平均数为7，样本方差为4，则样本数据中的最小值是.

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三、解答题

17. 已知直线 $l_{1} : \sqrt{3} x + y - 1 = 0$ 的一个方向向量为 $\vec{a} = (- 2, m)$ ， $m \in R$ ；直线 $l_{2} : t x - y + 2 = 0 (t \neq 0)$ 的方向向量为 $\vec{b}$ .

(1)、求 $m$ 的值；

(2)、若两直线 $l_{1}$ 、 $l_{2}$ 的夹角为 $\frac{π}{3}$ ，求 $t$ 的值.

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18. 化简求值：

(1)、 $\frac{\sin 7 ° + \sin 8 ° \cos 15 °}{\cos 7 ° - \sin 8 ° \sin 15 °}$ ；

(2)、 $4 \cos 70 ° + \tan 20 °$ .

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19. 这次新冠肺炎疫情，是新中国成立以来在我国发生的传播速度最快、感染范围最广防控难度最大的一次重大突发公共卫生事件.中华民族历史上经历过很多磨难，但从来没有被压垮过，而是愈挫愈勇，不断在磨难中成长，从磨难中奋起.在这次疫情中，全国人民展现出既有责任担当之勇、又有科学防控之智，某市某校学生也运用数学知识展开了对这次疫情的研究，一名同学在疫情初期数据统计中发现，从2020年2月1日至2月7日期间，日期

x

和全国累计报告确诊病例数量

y

（单位：万人）之间的关系如下表：

日期 $x$	1	2	3	4	5	6	7
确诊病例数量 $y$ （万人）	1.4	1.7	2.0	2.4	2.8	3.1	3.5

参考数据如下表：

$\bar{ω}$	$\sum_{i = 1}^{7} y_{i}$	$\sum_{i = 1}^{7} x_{i} y_{i}$	$\sum_{i = 1}^{7} ω_{i} y_{i}$
1.92	16.9	77.5	35.17

表中 $ω_{i} = \sqrt{x_{i}}$ ， $\bar{ω} = \frac{1}{7} \sum_{i = 1}^{n} ω_{i}$ ， $\sum_{i = 1}^{n} a_{i} = a_{1} + a_{2} + a_{3} + \dots \dots + a_{n}$ .

参考公式：对于一组数据 $(u_{1}, v_{1})$ ， $(u_{2}, v_{2})$ ，…， $(u_{n}, v_{n})$ 其回归方程 $v = \hat{α} + \hat{β} u$ 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：① $\hat{β} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} u_{i} v_{i} - n \bar{u} \bar{v}}{\sum_{i = 1}^{n} u_{i}^{2} - n {\bar{u}}^{2}} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (u_{i} - \bar{u}) (v_{i} - \bar{v})}{\sum_{i = 1}^{n} {(u_{i} - \bar{u})}^{2}}$ ，② $\hat{α} = \bar{v} - \hat{β} \bar{u}$ .

(1)、根据表中的数据，

y = a + b x

与

y = c + d \sqrt{x}

哪一个适宜作为确诊病例数量

y

关于日期

x

的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）

(2)、根据（1）的判断结果及表中数据，建立

y

关于

x

的回归方程；（精确到0.01）

(3)、预测2月16日全国累计报告确诊病例数.

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20. 已知函数 $f (x) = A \cos (ω x + φ) + B (A > 0 ， ω > 0 ， | φ | < \frac{π}{2})$ 的部分图像如图所示.

(1)、求 $f (x)$ 的解析式及对称中心坐标；

(2)、先将 $f (x)$ 的图像纵坐标缩短到原来的 $\frac{1}{2}$ 倍，再向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位，最后将图像向上平移1个单位后得到 $g (x)$ 的图像，求函数 $y = g (x)$ 在 $x \in [\frac{π}{12} ， \frac{3 π}{4}]$ 上的单调增区间和最值.

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21. 党的十九大报告指出，要以创新理念提升农业发展新动力，引领经济发展走向更高形态.为进一步推进农村经济结构调整，某村举办水果观光采摘节，并推出配套乡村游项目现统计了4月份200名游客购买水果的情况，得到如图所示的频率分布直方图：

(1)、若将购买金额不低于80元的游客称为“水果达人”，现用分层抽样的方法从样本的“水果达人”中抽取5人，求这5人中消费金额不低于100元的人数；

(2)、从（1）中的5人中抽取2人作为幸运客户免费参加山村旅游项目，请列出所有的基本事件，并求2人中至少有1人购买金额不低于100元的概率；

(3)、为吸引顾客，该村特推出两种促销方案，
方案一：每满80元可立减8元；

方案二：金额超过50元但又不超过80元的部分打9折，金额超过80元但又不超过100元的部分打8折，金额超过100元的部分打7折.

若水果的价格为11元/千克，某游客要购买10千克，应该选择哪种方案更优惠.

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22. 已知向量 $\vec{a} = (\sin (ω x) ， \cos (ω x))$ ， $\vec{b} = (\cos (ω x) ， - \sqrt{3} \cos (ω x))$ 且函数 $f (x) = \vec{a} \cdot \vec{b}$ 的两条对称轴之间的最小距离为 $\frac{π}{2}$ .

(1)、若方程 $f (x) - m = 0$ 恰好在 $x \in [\frac{π}{3} ， \frac{7 π}{6}]$ 有两个不同实根 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，求实数 $m$ 的取值范围及 $x_{1} + x_{2}$ 的值.

(2)、设函数 $g (x) = a x + b$ ，且 ${y | y = g (x) ， x \in [1 ， 2]} = {y | y = f (x) ， x \in [\frac{π}{2} ， \frac{5 π}{6}]}$ ，求实数 $a$ ， $b$ 的值.

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