河南省郑州市2019-2020学年下学期高一下学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2020-09-08 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知平行四边形 $A B C D$ 中，向量 $\vec{A D} = (3, 7)$ ， $\vec{A B} = (- 2, 3)$ ，则向量 $\vec{A C}$ 的坐标为（）

A、 $(1, 5)$ B、 $(- 2, 7)$ C、 $(5, 4)$ D、 $(1, 10)$

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2. $\sin (- \frac{10}{3} π)$ 的值等于（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $- \frac{1}{2}$

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3. 某学校从编号依次为01，02，…，72的72个学生中用系统抽样（等间距抽样）的方法抽取一个样本，已知样本中相邻的两个组的编号分别为12，21，则该样本中来自第四组的学生的编号为（）

A、30 B、31 C、32 D、33

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4. 下列函数中是偶函数且最小正周期为 $\frac{π}{4}$ 的是（）

A、 $y = \cos^{2} 4 x - \sin^{2} 4 x$ B、 $y = \sin 4 x$ C、 $y = \sin 2 x + \cos 2 x$ D、 $y = \cos 2 x$

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5. 已知某7个数据的平均数为5，方差为4，现又加入一个新数据5，此时这8个数的方差 $s^{2}$ 为（）

A、 $\frac{5}{2}$ B、3 C、 $\frac{7}{2}$ D、4

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6. 已知 $\cos θ = \frac{4}{5}$ ，且 $θ \in (- \frac{π}{2}, 0)$ ，则 $\tan (\frac{π}{4} + θ) =$ （）

A、-7 B、7 C、 $- \frac{1}{7}$ D、 $\frac{1}{7}$

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7. 设a是一个各位数字都不是0且没有重复数字的两位数.将组成a的2个数字按从小到大排成的两位数记为I（a），按从大到小排成的两位数记为D（a）（例如a=75，则I（a）=57，D（a）=75），执行如图所示的程序框图，若输入的a=97，则输出的b=（）

A、45 B、40 C、35 D、30

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8. 如图是一个射击靶的示意图，其中每个圆环的宽度与中心圆的半径相等.某人朝靶上任意射击一次没有脱靶，则其命中深色部分的概率为（）

A、 $\frac{2}{5}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{3}{7}$ D、 $\frac{3}{8}$

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9. 在 $△ A B C$ 中， $| \overset{⇀}{A B} | = | \overset{⇀}{A C} | = 2$ ，且 $∠ B A C = 120^{°}$ ，若 $\overset{⇀}{B M} = λ \overset{⇀}{B C} (0 < λ < 1)$ ，则 $\vec{A M} \cdot (\vec{A B} + \vec{A C}) =$ （）

A、2 B、1 C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $\frac{1}{2}$

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10. 若点 $A (\frac{π}{6}, 1)$ 在函数 $f (x) = \cos (2 x + φ) (| φ | < \frac{π}{2})$ 的图象上，为了得到函数y=sin（2x+ $\frac{π}{3}$ ）（x∈R）的图象，只需把曲线f（x）上所有的点（）

A、向左平行移动 $\frac{π}{3}$ 个单位长度 B、向右平行移动 $\frac{π}{3}$ 个单位长度 C、向右平行移动 $\frac{π}{12}$ 个单位长度 D、向左平行移动 $\frac{π}{12}$ 个单位长度

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11. 已知 $\vec{a} = (2 \sin 13^{°}, 2 \sin 77^{°}), | \vec{a} - \vec{b} | = 1$ ， $\vec{a}$ 与 $\vec{a} - \vec{b}$ 的夹角为 $\frac{π}{3}$ ，则 $\vec{a} \cdot \vec{b} =$ （）

A、2 B、3 C、4 D、5

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12. 若关于 $x$ 的方程 $sin x + cos x - 2 sin x cos x + 1 - a = 0 ， x \in [- \frac{π}{4} ， \frac{π}{4}]$ 有两个不同解，则实数 $a$ 的取值范围为（）

A、 $(2 ， \frac{9}{4}]$ B、 $[2 ， \frac{5}{2}]$ C、 $(2 ， \frac{5}{2})$ D、 $[2 ， \frac{9}{4})$

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二、解答题

13. 已知向量 $\vec{a} = (1, \sqrt{3}), \vec{b} = (2, 0)$ ，则 $| \vec{a} - 2 \vec{b} | =$

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14. 已知向量 $\vec{a} = (3, 2), \vec{b} = (- 1, 2), \vec{c} = (4, 1)$ .

(1)、求 $3 \vec{a} + \vec{b} - 2 \vec{c}$ ；

(2)、若 $(\vec{a} + k \vec{c}) // (2 \vec{b} - \vec{a})$ ，求实数k.

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15. 疫情期间口罩需求量大增，某医疗器械公司开始生产KN95口罩，并且对所生产口罩的质量按指标测试分数进行划分，其中分数不小于70的为合格品，否则为不合格品，现随机抽取100件口罩进行检测，其结果如下：

(1)、根据表中数据，估计该公司生产口罩的不合格率；

(2)、根据表中数据，估计该公司口罩的平均测试分数；

(3)、若用分层抽样的方式按是否合格从所生产口罩中抽取5件，再从这5件口罩中随机抽取2件，求这2件口罩全是合格品的概率.

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16. 已知α，β为锐角， $\tan α = \sqrt{2}, \cos (α + β) = - \frac{\sqrt{3}}{3}$ .

(1)、求cos2α的值；

(2)、求tan(β-α)的值.

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17. 已知函数 $f (x) = \vec{a} \cdot \vec{b} ， x \in [\frac{π}{12} ， \frac{π}{2}]$ ，其中 $\vec{a} = (\sqrt{3} ， \cos^{2} x) ， \vec{b} = (\sin (2 x + \frac{π}{3}) ， - 4)$

(1)、求函数f(x)的单调递增区间；

(2)、求函数f（x）的最大值和最小值.

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18. 如图，四边形OQRP为矩形，其中P，Q分别是函数 $f (x) = \sqrt{3} \sin ω x (ω > 0)$ 图象上的一个最高点和最低点，O为坐标原点，R为图象与x轴的交点.求f（x）的解析式.

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19. 红外线治疗仪的治疗作用是在红外线照射下，组织温度升高，毛细血管扩张，血流加快，物质代谢增强，组织细胞活力及再生能力提高，对我们身体某些疾病的治疗有着很大的贡献，某药店兼营某种红外线治疗仪，经过近5个月的营销，对销售状况进行相关数据分析，发现月销售量与销售价格有关，其统计数据如下表：

每台红外线治疗仪的销售价格： $x /$ 元	140	150	160	170	180
红外线治疗仪的月销售量： $y /$ 台	64	55	45	35	26

参考公式：回归直线方程 $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ ， $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}}$ ， $\hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}$ .

(1)、根据表中数据求

y

关于

x

的线性回归方程；

(2)、①每台红外线治疗仪的价格为

165

元时，预测红外线治疗仪的月销售量；（四舍五入为整数）

②若该红外线治疗仪的成本为 $120$ 元/台，药店为使每月获得最大的纯收益，利用（1）中结论，问每台该种红外线治疗仪的销售价格应定为多少元？（四舍五入，精确到 $1$ 元）.

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三、填空题

20. 已知函数 $f (x) = \sin (ω x + φ) (ω > 0 ， 0 < φ < π)$ 的部分图象如图所示，则 $φ$ 的值为.

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21. 已知 $\sin (\frac{π}{6} + x) = - \frac{3}{5}$ ，则 $\sin^{2} (\frac{π}{3} - x) - \sin (\frac{5}{6} π - x)$ 的值

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22. 在 $Rt △ A B C$ 中， $∠ C = 90^{°} ， A B = 3$ .以 $C$ 为圆心，2为半径作圆，线段 $P Q$ 为该圆的一条直径，则 $\vec{A P} \cdot \vec{B Q}$ 的最小值为.

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