河南省焦作市2019-2020学年高一下学期数学期末学业质量测试试卷

试卷更新日期：2020-09-08 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | x < 1}$ ， $B = {x | 2^{x} < 1}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $(- \infty, 0)$ B、 $(0, 1)$ C、 $(1, + \infty)$ D、 $\emptyset$

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2. $\sin (- \frac{19 π}{6}) =$ （）

A、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $- \frac{1}{2}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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3. 若向量 $\vec{A B} = (2, 4)$ ， $\vec{B C} = (6, y)$ ，且 $\vec{A B} // \vec{B C}$ ，则 $y =$ （）

A、-3 B、3 C、6 D、12

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4. 某公司有员工15名，其中包含经理一名．保洁一名，为了调查该公司员工的工资情况，有两种方案．方案一：调查全部15名员工的工资情况；方案二：收入最高的经理和收入最低的保洁工资不纳入调查范围，只调查其他13名员工的工资．这两种调查方案得到的数据，一定相同的是（）

A、中位数 B、平均数 C、方差 D、极差

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5. 在正方形 $A B C D$ 中，点 $M$ ， $N$ 分别满足 $\vec{D M} = \vec{M C}$ ， $\vec{C N} = λ \vec{N B}$ ，且 $\vec{A D} - \vec{A B} = 2 \vec{N M}$ ，则 $λ =$ （）

A、2 B、1 C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{1}{3}$

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6. 执行如图所示的程序框图，若输入的 $a$ ， $b$ 的值分别为1，1，则输出的 $S$ 是（）

A、25 B、18 C、11 D、3

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7. 某位居民在银行换取了五张连号的人民币，编号的尾号分别为71，72，73，74，75，他随机抽取三张作为儿子的压岁钱，则这三张人民币的尾号相连的概率为（）

A、 $\frac{5}{8}$ B、 $\frac{3}{10}$ C、 $\frac{7}{10}$ D、 $\frac{2}{5}$

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8. 已知 $α \in (0, \frac{π}{2})$ ， $\tan α = \sqrt{2} \cos α$ ，则 $\sin α =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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9. 已知线性相关的变量 $x$ ， $y$ ，设其样本点为 $A_{i} (x_{i}, y_{i})$ （ $i = 1, 2, \cdot \cdot \cdot, 6$ ），回归直线方程为 $y = 2 x + b$ ，若 $\vec{O A_{1}} + \vec{O A_{2}} + \cdot \cdot \cdot + \vec{O A_{6}} = (- 2, 6)$ （ $O$ 为坐标原点），则 $b =$ （）

A、3 B、 $\frac{5}{3}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $- \frac{1}{2}$

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10. 如图所示，已知圆 $C_{1}$ 和 $C_{2}$ 的半径都为2，且 $C_{1} C_{2} = 2 \sqrt{3}$ ，若在圆 $C_{1}$ 或 $C_{2}$ 中任取一点，则该点取自阴影部分的概率为（）

A、 $\frac{2 π + 3 \sqrt{3}}{5 π + 3 \sqrt{3}}$ B、 $\frac{2 π - 3 \sqrt{3}}{5 π + 3 \sqrt{3}}$ C、 $\frac{2 π + 3 \sqrt{3}}{10 π + 3 \sqrt{3}}$ D、 $\frac{2 π - 3 \sqrt{3}}{10 π + 3 \sqrt{3}}$

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11. 已知函数 $f (x) = \sin (ω x + φ)$ （ $ω > 0$ ， $| φ | < π$ ）的部分图像如图所示，若存在 $0 \leq x_{1} < x_{2} \leq π$ ，满足 $f (x_{1}) = f (x_{2}) = \frac{3}{4}$ ，则 $\cos (x_{1} - x_{2}) =$ （）

A、 $- \frac{\sqrt{7}}{4}$ B、 $\frac{\sqrt{7}}{4}$ C、 $\frac{3}{4}$ D、 $- \frac{3}{4}$

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12. 在 $△ A B C$ 中，点 $M$ ， $N$ 在线段 $A B$ 上， $\vec{A B} = 4 \vec{M B}$ ，当 $N$ 点在线段 $A B$ 上运动时，总有 $\vec{N B} \cdot \vec{N C} \geq \vec{M B} \cdot \vec{M C}$ ，则一定有（）

A、 $B C ⊥ A B$ B、 $A C ⊥ B C$ C、 $A B = A C$ D、 $A C = B C$

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二、填空题

13. 某工厂第一车间有工人1200人，第二车间有工人900人，第三车间有工人1500人，现用分层抽样的方法从这三个车间中抽取一个容量为144的样本进行某项调查，则第二车间应抽取的工人数为．

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14. 如图所示是一个三棱锥的三视图，其中俯视图是边长为2的等边三角形，侧视图的面积为 $\sqrt{3}$ ，则该三棱锥的体积为．

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15. 已知函数 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的奇函数，满足 $f (x + 2) = - f (x)$ ，且当 $- 1 \leq x < 0$ 时， $f (x) = - x^{2} + 2$ ，则 $f (2023) =$ ．

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16. 已知函数 $y = \frac{\sqrt{3}}{2} \sin π x + \frac{1}{2} \cos π x$ 在 $x \in [\frac{2}{3} ， t]$ （ $t > \frac{2}{3}$ ）时的最小值为 $m$ ，最大值为 $M$ ，若 $2 M + m = 0$ ，则 $(m + M) t$ 的取值范围为．

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三、解答题

17. 已知 $\sin α = \frac{1}{3}$ ， $\tan α < 0$ ．
（Ⅰ）求 $\sin 2 α$ 的值；

（Ⅱ）在平面直角坐标系中，若 $α$ 的顶点在原点，始边为 $x$ 轴的非负半轴，将角 $α$ 的终边绕原点顺时针旋转 $\frac{π}{4}$ 后与单位圆交于点 $Q$ ，求点 $Q$ 的坐标．

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18. 为了方便市民出行，某城市推出共享电动单车租赁服务，收费标准是：骑行时间不超过30分钟收费3元，超过30分钟的部分每30分钟收费2元（不足30分钟的部分按30分钟计算）．甲、乙两人租用电动单车出行，由于城市区域限制，他们使用电动单车的时间都不超过2小时．
（Ⅰ）若甲骑行时间不超过30分钟的概率为 $\frac{1}{3}$ ，租车费用多于5元的概率为 $\frac{1}{4}$ ，求甲租车费用恰好为5元的概率；

（Ⅱ）若每人的骑行时间为2小时以内的任意时长的可能性相同，求甲、乙两人租车费用之和为10元的概率．

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19. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，直线 $l_{1} : 2 x - y - 4 = 0$ 与 $l_{2} : x - y - 1 = 0$ 的交点为 $C$ ，以 $C$ 为圆心作圆，圆 $C$ 上的点到 $x$ 轴的最小距离为 $1$ ．
（Ⅰ）求圆 $C$ 的标准方程；

（Ⅱ）过点 $A (0, 3)$ 作圆 $C$ 的切线，求切线的方程．

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20. 鱼塘中养了某种鱼，到了收获季节，鱼塘主人为了了解鱼塘中鱼的情况，通过随机撒网的方式捕了200条鱼，逐个称重，发现重量（单位：克）都在 $[500 ， 1000]$ 之间，这些鱼的重量按照 $[500 ， 600)$ ， $[600 ， 700)$ ， $[700 ， 800)$ ， $[800 ， 900)$ ， $[900 ， 1000]$ 分组得到如下频率分布直方图．

(1)、求这200条鱼中，重量不小于700克的鱼的条数；

(2)、求鱼塘中所有鱼重量的平均数的估计值；

(3)、根据这种鱼的市场情况，现有两种销售方案，方案一：不论鱼的大小，统一定价为每100克10元；方案二：重量小于700克的鱼，每100克8元，重量在 $[700 ， 800)$ （克）之间的鱼，每100克12元，重量不小于800克的鱼，每100克10元．方案二需要付分拣费：每100条鱼50元请根据收入的估计值，帮该鱼塘主人选择合适的销售方案．
注：频率分布直方图中每组数据取区间中点值为代表．

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21. 某机构为了研究中学生的视力与体育活动的关系，随机调查了几名中学生，得到了他们每周体育活动的时间（单位： $h$ ）和视力的一组数据：

每周体育活动时间 $x$

2

4

6

8

10

视力 $y$

4.0

4.2

4.6

5.0

5.2

参考公式： $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}}$ ， $\hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}$ ．

（Ⅰ）根据以上数据，在下面的坐标系中画出散点图；

（Ⅱ）用最小二乘法求 $y$ 与 $x$ 之间的线性回归方程 $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ ．

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22. 已知函数 $f (x) = 2 \cos x \cos (x - \frac{π}{6}) - \sqrt{3} \sin^{2} x + \sin x \cos x$ ．
（Ⅰ）求 $f (x)$ 的最小正周期和单调递增区间；

（Ⅱ）将函数 $y = f (x)$ 的图像上所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图像向左平移 $\frac{π}{4}$ 个单位长度，得到函数 $y = g (x)$ 的图像，若关于 $x$ 的方程 ${[g (x)]}^{2} - (2 + a) g (x) + 2 a = 0$ 在 $[- \frac{3 π}{4} ， \frac{π}{4}]$ 上恰有2个根，求 $a$ 的取值范围．

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每周体育活动时间 $x$	2	4	6	8	10
视力 $y$	4.0	4.2	4.6	5.0	5.2