福建省南平市2019-2020学年高一下学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2020-09-08 类型：期末考试

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一、单选题

1. 不等式 $x^{2} - 5 x - 6 < 0$ 的解集是（）

A、 ${x | x > 6$ 或 $x < - 1}$ B、 ${x | - 1 < x < 6}$ C、 ${x | x > 1$ 或 $x < - 6}$ D、 ${x | - 6 < x < 1}$

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2. 已知α为第二象限角，且 $\sin α = \frac{3}{5}$ ，则 $\tan α =$ （）

A、 $\frac{3}{4}$ B、 $- \frac{4}{3}$ C、 $- \frac{3}{4}$ D、 $\frac{4}{3}$

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3. 已知向量 $\vec{a}$ , $\vec{b}$ 满足 $| \vec{a} | = 1$ ， $\vec{a} \cdot \vec{b} = - 1$ ，则 $\vec{a} \cdot (2 \vec{a} - \vec{b}) =$ （）

A、4 B、3 C、2 D、0

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4. 已知 $\cos α = \frac{1}{3}$ ，则 $\cos (π + 2 α)$ 的值为（）

A、 $- \frac{8}{9}$ B、 $- \frac{7}{9}$ C、 $\frac{8}{9}$ D、 $\frac{7}{9}$

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5. 在等差数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{2} + a_{8} = 10, a_{3} = 7$ ，则数列 ${a_{n}}$ 的公差为（）

A、-1 B、-2 C、1 D、2

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6. 在 $△ A B C$ 中，内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ．若 $a = 3$ ， $A = 30 °$ ， $b = 3 \sqrt{3}$ ，则 $c$ 值为（）

A、3 B、3或6 C、 $\sqrt{3}$ D、 $\sqrt{3}$ 或6

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7. 已知函数 $f (x) = 2 \sin (2 x + φ)$ ， $| φ | \leq \frac{π}{2}$ ，若函数 $y = f (x)$ 的图象关于直线 $x = \frac{π}{6}$ 对称，则 $φ$ 值为（）

A、 $- \frac{π}{6}$ B、 $- \frac{π}{3}$ C、 $\frac{π}{6}$ D、 $\frac{π}{3}$

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8. 如图甲是第七届国际数学教育大会（简称 $ICME - 7$ ）的会徽图案，会徽的主体图案是由如图乙的一连串直角三角形演化而成的，其中 $O A_{1} = A_{1} A_{2} = A_{2} A_{3} = \dots = A_{7} A_{8} = 1$ ，如果把图乙中的直角三角形继续作下去，记四边形 $O A_{1} A_{2} A_{3}$ ， $O A_{2} A_{3} A_{4}$ ，…， $O A_{n} A_{n + 1} A_{n + 2}$ ，…面积的倒数构成数列 ${a_{n}}$ ，且此数列的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，则 $S_{15}$ 值为（）

A、3 B、6 C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{1}{6}$

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二、多选题

9. 下列命题为真命题的是（）

A、若 $a > b > 0$ ，则 $a c^{2} > b c^{2}$ B、若 $a < b < 0$ ，则 $a^{2} > a b > b^{2}$ C、若 $a > b > 0 且 c < 0$ ，则 $\frac{c}{a^{2}} > \frac{c}{b^{2}}$ D、若 $a > b$ 且 $\frac{1}{a} > \frac{1}{b}$ ，则 $a b < 0$

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10. 设 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 是两个非零向量，则下列描述正确的有（）

A、若 $| \vec{a} + \vec{b} | = | \vec{a} | - | \vec{b} |$ ，则 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ B、若 $| \vec{a} + \vec{b} | = | \vec{a} | - | \vec{b} |$ ，则存在实数 $λ$ ，使得 $\vec{b} = λ \vec{a}$ C、若 $| \vec{a} + \vec{b} | = | \vec{a} - \vec{b} |$ ，则 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ D、若存在实数 $λ$ ，使得 $\vec{b} = λ \vec{a}$ ，则 $| \vec{a} + \vec{b} | = | \vec{a} | - | \vec{b} |$

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11. 关于函数 $f (x) = 2 \cos^{2} \frac{x}{2} + 2 | \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2} | - 2$ ，则（）

A、函数 $f (x)$ 的最小值为 $- 2$ B、函数 $f (x)$ 的最小正周期为 $π$ C、函数 $f (x)$ 在 $[- π ， π]$ 上有三个零点 D、函数 $f (x)$ 在 $[π ， 2 π]$ 单调递增

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12. 在 $△ A B C$ 中，已知 $b \cos C + c \cos B = 2 b$ ，且 $\frac{1}{\tan A} + \frac{1}{\tan B} = \frac{1}{\sin C}$ ，则（）

A、 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 成等比数列 B、 $\sin A : \sin B : \sin C = 2 : 1 : \sqrt{2}$ C、若 $a = 4$ ，则 $S_{△ A B C} = \sqrt{7}$ D、 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 成等差数列

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三、填空题

13. 已知向量 $\vec{a} = (2, - 1)$ ， $\vec{b} = (- 1, m)$ ， $\vec{c} = (- 1, 2)$ ，若 $(\vec{a} + \vec{b}) ⊥ \vec{c}$ ，则 $m =$ ．

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14. 已知 $S_{n}$ 为等比数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和， $a_{5} = 16$ ， $a_{3} a_{4} = - 32$ ，则 $S_{8} =$ ．

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15. 某港口的水深 $y$ （米）随着时间 $t$ （小时）呈现周期性变化，经研究可用 $y = a \sin \frac{π}{6} t + b \cos \frac{π}{6} t + c$ 来描述，若潮差（最高水位与最低水位的差）为3米，则a+b的取值范围为．

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四、双空题

16. 某工厂制作如图所示的一种标识，在半径为3的圆内做一个关于圆心对称的“ $H$ ”型图形，“ $H$ ”型图形由两竖一横三个等宽的矩形组成，两个竖起来的矩形全等且它们的长边是横向矩形长边的 $\frac{3}{2}$ 倍，设 $O$ 为圆心， $∠ A O B = 2 α$ ，记“ $H$ ”型图形周长为 $C$ ，面积为 $S$ ，则 $C =$ ， $S$ 最大值为．

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五、解答题

17. 设向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $| \vec{a} | = | \vec{b} | = 1$ ，且 $| 3 \vec{a} - 2 \vec{b} | = \sqrt{7}$ .

(1)、求 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角；

(2)、求 $| 2 \vec{a} + 3 \vec{b} |$ 的大小.

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18. 已知函数 $f (x) = 2 \sin x \cos x - 2 \sqrt{3} \cos^{2} x$ ．

(1)、求函数 $y = f (x)$ 的最小正周期；

(2)、将函数 $y = f (x)$ 的图象右移 $\frac{π}{6}$ 个单位得到 $y = g (x)$ 的图象，求函数 $y = g (x)$ 的单调递增区间．

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19. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，公差 $d \neq 0$ ， $S_{4} + S_{6} = 31$ 且 $a_{1}$ ， $a_{3}$ ， $a_{9}$ 成等比数列.
（Ⅰ）求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

（Ⅱ）设数列 ${b_{n} - 3 a_{n}}$ 是首项为1，公比为3的等比数列，求数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

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20. 在 $△ A B C$ 中，内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ．若 $\sin^{2} A + \sin^{2} B - \sin^{2} C + \sin A \sin B = 0$ ，且中线 $C D$ 长为2．

(1)、求 $C$ ；

(2)、求 $△ A B C$ 面积的最大值．

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21. 某品牌饮料原来每瓶成本为10元，售价为15元，月销售8万瓶．

(1)、据市场调查，若售价每提高1元，月销售量将相应减少2000瓶，要使月总利润不低于原来的月总利润（月总利润＝月销售总收入－月总成本），该饮料每瓶售价最多为多少元？

(2)、为提高月总利润，厂家决定下月进行营销策略改革，计划每瓶售价 $x (x \geq 16)$ 元，并投入 $\frac{33}{4} (x - 16)$ 万元作为营销策略改革费用．据市场调查，每瓶售价每提高1元，月销售量将相应减少 $\frac{0.45}{{(x - 15)}^{2}}$ 万瓶，则当每瓶售价 $x$ 为多少时，下月的月总利润最大？并求出下月最大总利润．

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22. 设各项均为正数的等比数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} + a_{3} = 10$ ， $a_{3} + a_{5} = 40$ ，数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 和 $S_{n} = \frac{n^{2} + 7 n}{2}$ ．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 、 ${b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若 $c_{1} = 1$ ， $c_{n + 1} = c_{n} + \frac{b_{n} - 3}{a_{n}}$ ，求证： $c_{n} < 3$ ．

(3)、是否存在整数 $k$ ，使得 $\frac{1}{a_{1} - b_{1}} + \frac{1}{a_{2} - b_{2}} + \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot + \frac{1}{a_{n} - b_{n}} > \frac{k}{10}$ 对任意正整数 $n$ 均成立？若存在，求出 $k$ 的最大值，若不存在，说明理由．

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