安徽省芜湖市鸠江区大桥片区2019-2020学年九年级上学期数学期中试卷

试卷更新日期：2020-09-07 类型：期中考试

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一、单选题

1. 下列图形既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）

A、 B、 C、 D、

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2. 下列一元二次方程中有两个相等实数根的是（）

A、2x²－6x＋1＝0 B、3x²－x－5＝0 C、x²＋x＝0 D、x²－4x＋4＝0

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3. 把二次函数 $y = \frac{1}{2} x^{2}$ 的图象向右平移2个单位后，再向上平移3个单位，所得的图数图象的顶点是（）.

A、 $(2, 3)$ B、 $(2, - 3)$ C、 $(- 3, 2)$ D、 $(2, - 3)$

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4. 如图所示，将一个含30°角的直角三角板ABC绕点A旋转，使得点B，A，C′在同一直线上，则三角板ABC旋转的度数是（）

A、60° B、90° C、120° D、150°

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5. 如图，点 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 是 $⊙ O$ 上的三点，若 $∠ O B C = 56^{°}$ ，则 $∠ A$ 的度数是（）.

A、 $28^{°}$ B、 $30^{°}$ C、 $34^{°}$ D、 $56^{°}$

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6. 如图，在长 $70 m$ ，宽 $40 m$ 的矩形花园中，欲修宽度相等的观赏路（阴影部分），要使观赏路面积占总面积的 $\frac{1}{7}$ ，则路宽 $x m$ 应满足的方程是（）.

A、 $(40 - x) (70 - x) = 400$ B、 $(40 - 2 x) (70 - 3 x) = 400$ C、 $(40 - x) (70 - x) = 2400$ D、 $(40 - 2 x) (70 - 3 x) = 2400$

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7. 已知抛物线 $y_{1} = - 2 x^{2} + 2$ 与直线 $y_{2} = 2 x + 2$ 相交，若 $y_{1} > y_{2}$ ，则 $x$ 的取值范围是（）.

A、 $x > - 1$ B、 $x < 0$ C、 $- 1 < x < 0$ D、 $x > 0$ 或 $x < - 1$

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8. 已知x=2是一元二次方程（m﹣2）x²+4x﹣m²=0的一个根，则m的值为（　　）

A、2 B、0或2 C、0或4 D、0

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9. 在同一坐标系内，一次函数 y=ax+b 与二次函数 y=ax²+8x+b 的图象可能是（）

A、 B、 C、 D、

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10. 如图，在水平地面点A处有一网球发射器向空中发射网球，网球飞行路线是一条抛物线，在地面上落点为B，有人在直线AB上点C（靠点B一侧）竖直向上摆放若干个无盖的圆柱形桶．试图让网球落入桶内，已知AB=4米，AC=3米，网球飞行最大高度OM=5米，圆柱形桶的直径为0.5米，高为0.3米（网球的体积和圆柱形桶的厚度忽略不计）．当竖直摆放圆柱形桶至少（）个时，网球可以落入桶内.

A、7 B、8 C、9 D、10

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二、填空题

11. 把二次函数 $y = 3 x^{2} - 12 x$ 化为形如 $y = a {(x - h)}^{2} + k$ 的形式为．

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12. 如图，将⊙O沿弦AB折叠，使 $\overset{⌢}{AB}$ 经过圆心O，则∠OAB=°.

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13. 已知 $(x^{2} + y^{2}) (x^{2} + y^{2} - 5) = 6$ ，则 $x^{2} + y^{2} =$ .

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14. 如图，已知二次函数 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 的图象与 $x$ 轴交于点 $A (- 1 ， 0)$ ，与 $y$ 轴的交点 $B$ 在 $(0 ， - 2)$ 和 $(0 ， - 1)$ 之间（不包括这两点），对称轴为直线 $x = 1$ .下列结论：① $a b c > 0$ ；② $4 a + 2 b + c > 0$ ；③ $4 a c - b^{2} < 8 a$ ；④ $\frac{1}{3} < a < \frac{2}{3}$ ；⑤ $b > c$ .其中正确的是.

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三、解答题

15. 解方程： ${(2x - 1)}^{2} = x (3x + 2) - 7$

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16. 如图，在平面直角坐标系中， $△ A B C$ 的三个顶点坐标为 $A (- 3 ， 4)$ ， $B (- 4 ， 2)$ ， $C (- 2 ， 1)$ ， $△ A B C$ 绕原点逆时针旋转 $90 °$ ，得到 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ， $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ 向右平移6个单位，再向上平移2个单位得到 $△ A_{2} B_{2} C_{2}$ ．

(1)、画出 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ 和 $△ A_{2} B_{2} C_{2}$ ；

(2)、 $P (a ， b)$ 是 $△ A B C$ 的 $A C$ 边上一点， $△ A B C$ 经旋转、平移后点 $P$ 的对应点分别为 $P_{1}$ 、 $P_{2}$ ，请写出点 $P_{1}$ 、 $P_{2}$ 的坐标．

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17. 已知关于x的一元二次方程 $x^{2} - (2 k + 1) x + k^{2} + k = 0$ 。

(1)、求证：方程有两个不相等的实数根；

(2)、若△ABC的两边AB、AC的长是方程的两个实数根，第三边BC的长为5。当△ABC是等腰三角形时，求k的值。

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18. 如图，已知△ABC中，∠C=90°，AC=BC= $\sqrt{2}$ ，将△ABC绕点A顺时针方向旋转60°到△AB′C′的位置，连接C′B，求C′B的长度.

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19. 如图，已知 $⊙ O$ 的直径 $A B = 6$ ， $E$ 、 $F$ 为 $A B$ 的三等分点， $M$ 、 $N$ 为 $\overset{⌢}{A B}$ 上两点，且 $∠ M E B = ∠ N F B$ $= 60^{°}$ ，求 $E M + F N$ 的值.

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20. 为了确保打赢“脱贫攻坚战”，我县2017年投入资金1280万元用于贫困户就业安置，并规划投入资金逐年增加，2019年在2017年的基础上增加投入资金1600万元，从2017年到2019年，我县投入用于贫困户就业安置资金的年平均增长率为多少？

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21. 如图所示，已知二次函数经过点B（3，0），C（0，3），D（4，-5）

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、求△ABC的面积；

(3)、若P是抛物线上一点，且S△ABP= $\frac{1}{2}$ S△ABC，这样的点P有几个请直接写出它们的坐标．

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22. 大学毕业生小王响应国家“自主创业”的号召，利用银行小额无息贷款开办了一家饰品店．该店购进一种今年新上市的饰品进行销售，饰品的进价为每件40元，售价为每件60元时，每月可卖出300件．市场调查反映：调整价格时，售价每涨1元每月要少卖10件；售价每下降1元每月要多卖20件．为了获得更大的利润，现将饰品售价调整为x（元/件），每月饰品销量为y（件），月利润为w（元）．

(1)、直接写出y与x之间的函数关系式；

(2)、如何确定售价才能使月利润最大？求最大月利润；

(3)、为了使每月利润不少于6000元应如何控制售价？

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23.

(1)、如图1，在 $△ A B C$ 中， $∠ B A C = 90^{°}$ ， $∠ A C B = 30^{°}$ ，将 $△ A B C$ 绕顶点 $A$ 逆时针旋转时，当 $A E ∥ B C$ 时，设 $D E$ 与 $A C$ 于 $P$ ，证明： $△ A D P$ 是等边三角形；

(2)、如图1，在 $△ A B C$ 中， $∠ B A C = 90^{°}$ ， $∠ A C B = 30^{°}$ ，将 $△ A B C$ 绕顶点 $A$ 逆时针旋转 $a$ 多少度时， $(0^{°} < a < 180^{°})$ ，使得 $△ A D E$ 的顶点 $D$ 落在 $B C$ 上？

(3)、当直角三角形变为一般三角形时，如图2，将 $△ A B C$ 绕点 $A$ 逆时针旋转 $60^{°}$ 得到 $△ A D E$ ， $D E$ 与 $B C$ 交于点 $P$ ，可以得到 $∠ APB = 60^{°}$ ，试证明： $P A + P C = P E$ .

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