安徽省合肥市包河区2019-2020学年九年级上学期数学期中试卷

试卷更新日期：2020-09-07 类型：期中考试

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一、单选题

1. 二次函数 $y = x^{2}$ 的对称轴是 $($ $)$

A、直线 $y = 1$ B、直线 $x = 1$ C、y轴 D、x轴

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2. 若 $\frac{y}{x}$ = $\frac{3}{4}$ ，则 $\frac{x + y}{x}$ 的值为（　　）

A、1 B、 $\frac{4}{7}$ C、 $\frac{5}{4}$ D、 $\frac{7}{4}$

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3. 已知二次函数y=（x-1）²-3，则此二次函数（）

A、有最大值1 B、有最小值1 C、有最大值-3 D、有最小值-3

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4. 将抛物线 $y = x^{2}$ 向右平移2个单位，再向下平移1个单位，则平移后抛物线的顶点坐标是（）

A、（2,1） B、（2，-1） C、（-2，-1） D、（-2,1）

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5. 如图，线段 $B D ， C E$ 相交于点 $A ， D E / / B C$ ．若 $A B = 4 ， A D = 2 ， A E = 1.8$ ，则 $A C$ 的长为（）

A、3 B、3.2 C、3.6 D、4

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6. 如图，点P在反比例函数 $y = \frac{2}{x}$ 的图象上，PA⊥x轴于点A ，则△PAO的面积为（）

A、1 B、2 C、4 D、6

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7. 如图，在平面直角坐标系中有 $A (1 ， 1) ， B (3 ， 1)$ 两点，如果抛物线 $y = a x^{2} (a > 0)$ 与线段 $A B$ 有公共点，那么 $a$ 的取值范围是（）

A、 $a \geq 1$ B、 $0 < a \leq 1$ C、 $0 < a \leq \frac{1}{9}$ D、 $\frac{1}{9} \leq a \leq 1$

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8. 如图，已知AB、CD、EF都与BD垂直，垂足分别是B、D、F，且AB＝1，CD＝3，那么EF的长是（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、 $\frac{3}{4}$ D、 $\frac{4}{5}$

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9. 心理学家发现：课堂上，学生对概念的接受能力s与提出概念的时间t（单位：min）之间近似满足函数关系s＝at²+bt+c（a≠0），s值越大，表示接受能力越强．如图记录了学生学习某概念时t与s的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出当学生接受能力最强时，提出概念的时间为（）

A、8min B、13min C、20min D、25min

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10. 在平面直角坐标系中，点 $P$ 的坐标 $(0, 2)$ ，点 $Q$ 的坐标为 $(t - 1, - \frac{3}{4} t - \frac{9}{4}) (t$ 为实数)，当 $P Q$ 长取得最小值时， $t$ 的值为（）

A、 $- \frac{7}{5}$ B、 $- \frac{12}{5}$ C、3 D、4

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二、填空题

11. 如图，在 $△ A B C$ 中， $D E / / B C$ ，若 $\frac{A D}{B D} = \frac{1}{2}$ ，则 $\frac{D E}{B C} =$ ．

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12. 某水果店销售一批水果，平均每天可售出 $40 k g$ ，每千克盈利4元，经调查发现，每千克降价0.5元，商店平均每天可多售出 $10 k g$ 水果，则商店平均每天的最高利润为元

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13. 如图，在 $x$ 轴上方，平行于 $x$ 轴的直线与反比例函数 $y = \frac{k_{1}}{x}$ 和 $y = \frac{k_{2}}{x}$ 的图象分别交于 $A 、 B$ 两点，连接 $O A 、 O B$ ．若 $△ A O B$ 的面积为 $6 ，$ 则 $k_{2} - k_{1} =$ ．

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14. 已知二次函数 $y = - x^{2} + m x + m (m$ 为常数)，当 $- 2 \leq x \leq 4$ 时，y的最大值是15，则m的值是．

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15. 已知 $\frac{a}{2} = \frac{b}{3} = \frac{c}{4}$ ，则 $\frac{2 a - b + 3 c}{3 a - 2 b + c}$ ＝．

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三、解答题

16. 抛物线 $y = a {(x + h)}^{2}$ 的顶点为 $(- 2 ， 0)$ ，它的形状与 $y = 3 x^{2}$ 相同，但开口方向与之相反．

(1)、直接写出抛物线的解析式；

(2)、求抛物线与 $y$ 轴的交点坐标．

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17. 如图，正方形 $A B C D$ 对角线的交点在平面直角坐标系的原点，且边与坐标轴平行或垂直，AB=4．

(1)、如果反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 的图象经过点 $A$ ，求这个反比例函数的表达式；

(2)、如果反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 的图象与正方形 $A B C D$ 有公共点，请直接写出 $k$ 的取值范围．

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18. 如图，在 $△ A B C$ 中， $D ， E$ 分别是边 $A B ， A C$ 上的点，连接 $D E$ ，且 $∠ A = 60 ° ， ∠ A D E = 50^{\circ}$ ， $∠ B = 70 °$ ．

(1)、求证： $△ A D E \sim △ A C B$ ；

(2)、如果E是AC的中点， $A D = 8 ， A B = 10 ，$ 求 $A E$ 的长，

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19. 已知 $: △ A B C$ 中，边 $A B$ 及 $A B$ 边上的高 $C D$ 的和为 $40 c m$ ．

(1)、请直接写出 $△ A B C$ 的面积 $S (c m^{2})$ 与边 $A B$ 的长 $x (c m)$ 之间的函数关系式(不要求写出自变量 $x$ 的取值范围)；

(2)、当 $x$ 是多少时，这个三角形面积 $S$ 最大？最大面积是多少？

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20. 一次函数 $y = a x + b （ a \neq 0 ）$ 的图像与双曲线 $y = \frac{k}{x}$ $（ k \neq 0 ）$ 相交于 $A （ m ， 2 ）$ 和 $（ 2 ， - 1 ）$ 两点，与 $x$ 轴相交于点 $C$ ，过点 $B$ 作 $B D ⊥ x$ 轴，垂足为点 $D$ ．

(1)、求一次函数的解析式；

(2)、根据图像直接写出不等式 $a x + b - \frac{k}{x} > 0$ 的解集；

(3)、 $△ A B D$ 的面积为

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21. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ C A B = 90 ° ， A B = A C = 5 ， P$ 是 $△ A B C$ 内一点，且 $∠ P A B = ∠ P B C = ∠ P C A .$

(1)、求 $∠ A P C$ 的度数；

(2)、求 $△ P A C$ 的面积．

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22. 已知： $A D 、 A E$ 分别是 $△ A B C$ 内角和外角平分线．

(1)、则 $∠ D A E$ 的度数=；

(2)、求证： $\frac{B E}{C E} = \frac{A B}{A C}$ ；

(3)、作 $B F ⊥ A D$ ，交 $A D$ 延长线于 $F ， F C$ 的延长线交 $A E$ 于 $G$ ，求证： $A G = G E$ ．

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23. 定义：在平面直角坐标系中，如果点 $M (m ， n)$ 和 $N (n ， m)$ 都在某函数的图象 $l$ 上，则称点 $M 、 N$ 是图象 $l$ 的一对“相关点”．例如，点 $M (1 ， 2)$ 和点 $N (2 ， 1)$ 是直线 $y = - x + 3$ 的一对相关点．

(1)、请写出反比例函数 $y = \frac{6}{x}$ 的图象上的一对相关点的坐标；

(2)、如图，抛物线 $y = x^{2} + b x + c$ 的对称轴为直线 $x = 1$ ，与 $y$ 轴交于点 $C (0 ， - 1)$ ．
$①$ 求抛物线的解析式：

$②$ 若点 $M 、 N$ 是抛物线 $y = x^{2} + b x + c$ 上的一对相关点，直线 $M N$ 与 $x$ 轴交于点 $A (1 ， 0)$ ，点 $P$ 为抛物线 $M 、 N$ 上之间的一点，求 $△ P M N$ 面积的最大值．

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