黑龙江省哈尔滨市呼兰区2019-2020学年九年级上学期数学期中试卷

试卷更新日期：2020-09-07 类型：期中考试

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一、单选题

1. 下列为一元二次方程的是（）

A、 $x + \frac{1}{x} = 1$ B、 $x^{2} + 2 x + 1$ C、 $x (x + 1) = 4$ D、 $x^{2} + y + 6 = 0$

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2. 下列图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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3. 一元二次方程 $x^{2} - 4 x + 4 = 0$ 的根的情况是（）

A、有两个不相等的实数根 B、有两个相等的实数根 C、没有实数根 D、不能确定

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4. 某工厂一月份生产零件50万个，由于引进新技术提高了生产效率，三月份的产量达到了72万个，设该厂二、三月份平均每月的增长率为x，那么x满足的方程是（）

A、 $50 (1 + 2 x) = 72$ B、 $50 + 50 (1 + x) = 72$ C、 $50 {(1 + x)}^{2} = 72$ D、 $50 + 50 (1 + x) + 50 {(1 + x)}^{2} = 72$

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5. 如图，将 $Δ A B C$ 绕着点C按顺时针方向旋转 $25 °$ ，B点落在 $B^{'}$ 位置，点A落在 $A^{'}$ 位置，若 $A C ⊥ A^{'} B^{'}$ ，则 $∠ B A C$ 的度数是（）.

A、 $55 °$ B、 $65 °$ C、 $75 °$ D、 $85 °$

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6. 下列说法中，正确的是（）

A、经过半径的端点并且垂直于这条半径的直线是这个圆的切线 B、平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧 C、90°的圆周角所对的弦是直径 D、如果两个圆周角相等，那么它们所对的弦相等．

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7. 如图，两弦 $A B$ 、 $C D$ 相交于点E，且 $A B ⊥ C D$ ，若 $∠ A = 30 °$ ，则 $∠ B$ 的度数为（）.

A、 $30 °$ B、 $50 °$ C、 $60 °$ D、 $70 °$

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8. 如图，四边形 $A B C D$ 为 $⊙ O$ 的内接四边形，若 $∠ A D C = 110 °$ ，则 $∠ A O C$ 的度数是（）

A、 $110 °$ B、 $120 °$ C、 $130 °$ D、 $140 °$

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9. 如图， $R t Δ O D C$ 的直角顶点D在y轴上， $D C$ 边上的点 $P (\sqrt{2} ， 2)$ 在抛物线 $y = a x^{2}$ 上，将 $R t Δ O D C$ 绕点O逆时针旋转 $90 °$ ，得到 $Δ O B A$ ，点A恰好在抛物线上，则点A的坐标为（）.

A、 $(- 2 ， 3)$ B、 $(- 2 ， 4)$ C、 $(- 2 ， 2 \sqrt{2})$ D、 $(- \sqrt{2} ， 2)$

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10. 如图，在平面直角坐标系中，矩形 $A B C D$ 的顶点 $A (6 ， 0)$ ， $C (0 ， 4)$ 点D与坐标原点O重合，动点P从点O出发，以每秒2个单位的速度沿 $O - A - B - C$ 的路线向终点C运动，连接 $O P$ 、 $C P$ ，设点P运动的时间为t秒， $Δ C P O$ 的面积为S，下列图像能表示t与S之间函数关系的是（）

A、 B、 C、 D、

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二、填空题

11. 在平面直角坐标系中，已知点 $A (a, - 2)$ 和点 $B (3, b)$ 关于原点对称，则a+b=.

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12. 若 $x = 2$ 是方程 $x^{2} - k x + 5 = 0$ 的一个根，那么k的值等于.

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13. 把抛物线 $y = - x^{2} + 1$ 向左平移3个单位，然后向下平移2个单位，平移后抛物线的顶点坐标为.

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14. 如图， $⊙ O$ 中，直径 $C D = 20 cm$ ，弦 $A B ⊥ C D$ 于点M， $O M ： M D = 3 ： 2$ ，则AB的长是 $c m$ .

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15. 某扇形的弧长为8π，圆心角为120°，则此扇形的面积为．

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16. 如图， $⊙ C$ 经过原点，并与两坐标轴分别交于A，D两点，已知 $∠ O B A = 30 °$ ，点A的坐标为 $(2 ， 0)$ ，则点D的坐标为.

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17. 若抛物线 $y = - 3 x^{2} + 2 x + m$ 与x轴有两个公共点，则m的取值范围是．

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18. 如图，四边形 $A B C D$ 内接于 $⊙ O$ ，延长 $CO$ 交圆于点 $E$ ，连接 $B E$ .若 $∠ A = 110 °$ ， $∠ E = 70 °$ ，则 $∠ O C D =$ 度.

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19. 已知矩形 $A B C D$ 中， $B E$ 平分 $∠ A B C$ 交矩形的一边于点 $E$ ，若 $B D = 8$ ， $∠ E B D = 15 °$ ，则线段AB的长为.

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20. 已知在四边形 $A B C D$ 中， $A B = A C$ ， $∠ A B C = ∠ A D C = 60 °$ ，连接 $B D$ ，若 $C D = 2$ ， $A B = 2 \sqrt{3}$ ，则 $B D$ 的长度为.

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三、解答题

21. 先化简，再求值： $\frac{a - 2}{a + 1}$ ÷（a﹣1﹣ $\frac{3}{a + 1}$ ），其中a＝ $\sqrt{3}$ ﹣2．

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22. 如图，在平面直角坐标系中， $Δ A B C$ 的三个顶点都在格点上，点A的坐标为 $(2 ， 4)$ ，请解答下列问题：

①画出 $Δ A B C$ 向下平移5个单位后得到的 $Δ A_{1} B_{1} C_{1}$ （点A的对应点为A₁ ，点B的对应点为 $B_{1}$ ，点C的对应点为 $C_{1}$ ）；
②画出 $Δ A B C$ 关于 $y$ 轴对称的 $Δ A_{2} B_{2} C_{2}$ （点A的对应点为 $A_{2}$ ，点B的对应点为 $B_{2}$ ，点C的对应点为 $C_{2}$ ）；
③画出 $Δ A B C$ 绕原点O旋转 $180 °$ 后得到的 $Δ A_{3} B_{3} C_{3}$ （点A的对应点为 $A_{3}$ ，点B的对应点为 $B_{3}$ ，点C的对应点为 $C_{3}$ ）

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23. 如图，依靠一面长18米的墙，用36米长的篱笆围成一个矩形场地 $A B C D$ ，设 $A B$ 长为x米矩形 $A B C D$ 的面积为S平方米.

(1)、用含有x的代数式表示S，并直接写出x的取值范围；

(2)、当矩形场地的面积为160平方米时，求 $A B$ 的长.

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24. 已知： $B D$ 是 $Δ A B C$ 的角平分线，点 $E$ ， $F$ 分别在 $A B$ ， $B C$ 上，且 $D F / / A B$ ， $B F = A E$

(1)、如图1，求证：四边形 $A E F D$ 是平行四边形；

(2)、如图2，若 $Δ A B C$ 为等边三角形，在不添加辅助线的情况下，请你直接写出所有的全等三角形.

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25. 某灯饰商店销售一种进价为每件20元的护眼灯.销售过程中发现，每月销售量 $y$ （件）与销售单价 $x$ （元）之间的关系可近似地看作一次函数 $y = - 10 x + 500$ .物价部门规定该品牌的护眼灯售价不能超过36元.

(1)、如果该商店想要每月获得2000元的利润，那么销售单价应定为多少元？

(2)、设该商店每月获得利润为 $w$ （元），当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？最大利润为多少元？

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26. 已知四边形 $A B C D$ 内接于 $⊙ O$ ，对角线 $A C ⊥ B D$ 于E，连接 $O C$ 交 $B D$ 于点P.

(1)、如图1，求证： $∠ A C B = ∠ O C D$ ；

(2)、如图2，作 $D F ⊥ A B$ 于F，交 $A C$ 于H，连接B，求证： $B H = B C$ ；

(3)、在（2）的条件下，连接 $E F$ ，若 $B C / / A D$ ， $B E ： D E = 1 ： 3$ ， $A F = \frac{12 \sqrt{10}}{5}$ ， $E F = \frac{12 \sqrt{5}}{5}$ ，求 $O C$ 长.

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27. 已知直线 $y = x + 4$ 与x轴、y轴分别交于A、C两点，抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ 经过A、C两点，与x轴的另一个交点为B，且 $O C = 20 B$ .

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、点P在 $A O$ 上，点Q在 $O C$ 的延长线上，且 $A P = C Q$ ，连接 $P Q$ 交 $A C$ 于点G，点D为第一象限内的一点，当 $Δ P D Q$ 是以 $P Q$ 为斜边的等腰直角三角形时，连接 $O D$ ，设 $A P$ 的长度为t， $Δ P O D$ 的面积为S，请用含t的式子表示S，并写出自变量t的取值范围；

(3)、在（2）的条件下，连接 $O G$ 、 $D G$ ，将 $Δ P D K$ 沿 $P D$ 翻折到 $P D K$ 的位置（G与K对应），若 $O G = \sqrt{10}$ ，求点K的坐标.

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