吉林省长春市南关区2019-2020学年九年级上学期数学期中试卷

试卷更新日期：2020-09-07 类型：期中考试

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一、单选题

1. 下列式子为最简二次根式的是（　　）

A、 $\sqrt{18}$ B、 $\sqrt{9}$ C、 $\sqrt{6}$ D、 $\sqrt{\frac{3}{2}}$

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2. 下列运算正确的是（）

A、 $\sqrt{2} + \sqrt{3} = \sqrt{5}$ B、 $3 \sqrt{2} - \sqrt{2} = 3$ C、 $2 \sqrt{2} \times 3 \sqrt{2} = 6 \sqrt{2}$ D、 $\sqrt{8} \div \sqrt{2} = 2$

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3. 用配方法解一元二次方程： $x^{2} - 6 x - 9 = 0$ ，下列变形正确的是（　　）

A、 ${(x + 3)}^{2} = 0$ B、 ${(x - 3)}^{2} = 0$ C、 ${(x + 3)}^{2} = 18$ D、 ${(x - 3)}^{2} = 18$

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4. 一元二次方程 $4 x^{2} - 2 x + \frac{1}{4} = 0$ 根的情况是（　　）

A、没有实数根 B、只有一个实数根 C、有两个相等的实数根 D、有两个不相等的实数根

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5. 已知关于x的方程x²+x﹣a=0的一个根为2，则另一个根是（）

A、﹣3 B、﹣2 C、3 D、6

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6. 如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，则下列结论错误的是（）

A、 $\sin B = \frac{A D}{A B}$ B、 $\sin B = \frac{A C}{B C}$ C、 $\sin B = \frac{A D}{A C}$ D、 $\sin B = \frac{C D}{A C}$

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7. 如图，直线 $a ∕ ∕ b ∕ ∕ c$ ，直线 $m 、 n$ 与这三条平行线分别交于点 $A 、 B 、 C$ 和点 $D 、 E 、 F$ ．若 $A B = 3 ， B C = 5 ， D F = 12$ ，则 $D E$ 的值为（　　）

A、 $\frac{9}{4}$ B、4 C、 $\frac{9}{2}$ D、 $\frac{15}{2}$

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8. 如图，在 $Δ A B C$ 中， $∠ A = 76 ° ， A B = 4 ， A C = 6$ ，将 $Δ A B C$ 沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（　　）

A、 B、 C、 D、

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二、填空题

9. 使二次根式 $\sqrt{1 - 2 x}$ 有意义的x的取值范围是.

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10. 计算： $\sqrt{\frac{1}{2}} \times \sqrt{6} - \tan 30 ° =$ ．

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11. 若 $\frac{a - b}{b} = \frac{2}{7}$ ，则 $\frac{a}{b} =$ ．

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12. 某市养老机构的养老床位数从2016年底的2万个增长到2018年底的2.88万个，求该市这两年（从2016年底到2018年底）拥有的养老床位数的平均年增长率．若设养老床位数的平均年增长率x，则所列方程为．

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13. 如图，有一斜坡 $A B$ ，坡顶B离地面的高度 $B C$ 为 $30 m$ ，斜坡的倾斜角是 $∠ B A C$ ，若 $\tan ∠ B A C = \frac{2}{5}$ ，则此斜坡的 $A C$ 为m．

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14. 如图，P是 $▱ A B C D$ 内一点，连结P于 $▱ A B C D$ 各顶点， $▱ E F G H$ 各顶点分别在边 $A P$ 、 $B P$ 、 $C P$ 、 $D P$ 上，且 $A E = 2 E P ， E F ∕ ∕ A B$ ．若 $▱ A B C D$ 的面积为27，则 $Δ P E F$ 与 $Δ P G H$ 的面积和为．

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三、解答题

15. 计算： $(2 + \sqrt{3}) (\sqrt{2} - \sqrt{6})$ ．

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16. 解方程： $2 x^{2} + x - 2 = 0$ （用公式法）

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17. 阅读下列解答过程，在横线上填上恰当的内容
${(\sqrt{- a})}^{2} = \sqrt{- a} \cdot \sqrt{- a} = \sqrt{(- a) \times (- a)} = \sqrt{{(- a)}^{2}} = \sqrt{a^{2}} = a$

⑴由上述过程可知a的取值范围是．

⑵上述解答过程有错误的是第步，正确结果为．

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18. 在如图所示的中面直角坐标系 $x O y$ 中，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点叫做格点， $Δ A B C$ 的顶点在正方形网格的格点上．顶点 $A 、 B 、 C$ 的坐标分别为 $(4 ， 4)$ 、 $(2 ， - 2)$ 、 $(4 ， 0)$ ．

(1)、以点O为位似中心，在点O的异侧将 $Δ A B C$ 缩小为原来的 $\frac{1}{2}$ ，得到 $Δ A_{1} B_{1} C_{1}$ ．请画出 $Δ A_{1} B_{1} C_{1}$ ．

(2)、 $\cos ∠ C_{1} A_{1} B_{1} =$ ．

(3)、设点 $P (a ， b)$ 为 $Δ A B C$ 内一点，则依上述变换后，点P在 $Δ A_{1} B_{1} C_{1}$ 内的对应点 $P_{1}$ 的坐标是．

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19. 如图，一幅长 $8 c m$ 、宽 $6 c m$ 的矩形图案，其中有两条互相垂直的彩条，竖直彩条的宽度是水平彩条宽度的2倍，若图案中两条彩条所占面积是整个矩形图案面积的 $\frac{3}{8}$ ．求彩条的宽度．

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20. 如图，一台灯垂直于桌面的底座 $A B$ 的高为 $2 c m$ ，台灯的支架 $B C$ 的长为 $25 c m$ ，灯管 $C D$ 的长为 $20 c m$ ，支架 $B C$ 与铅垂线 $C F$ 的夹角为 $20 °$ ，灯管 $C D$ 与水平线 $C G$ 的夹角为 $32 °$ ，求灯管顶端D到桌面的距离 $D E$ ．（结果精确到 $1 c m$ ）
（参考数据： $\sin 32 ° \approx 0.53$ ， $\cos 32 ° \approx 0.85$ ， $\tan 32 ° \approx 0.62$ ， $\sin 20 ° \approx 0.34$ ， $\cos 20 ° \approx 0.94$ ， $\tan 20 ° \approx 0.36$ ）

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21. 已知关于x的方程 $x^{2} + k x + k - 2 = 0$ ．

(1)、若此方程的一个根为 $- 3$ ，求k的值．

(2)、求证：不论k取何实数，此方程都有两个不相等的实数根．

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22. 如图，在 $▱ A B C D$ 中， $G$ 是 $D C$ 的延长线上点， $A G$ 分别交 $B D$ 和 $B C$ 于点 $E 、 F$ ．若 $A B = 12 ， A E = 8 ， C G = 3$ ．

(1)、求证： $Δ G D A ∽ Δ A B F$ ；

(2)、求 $E F$ 的长．

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23. 如图①，平面内的两条直线 $l_{1} ， l_{2}$ 点 $A ， B$ 在直线 $l_{1}$ 上，点 $C 、 D$ 在直线 $l_{2}$ 上，过 $A 、 B$ 两点分别作 $l_{2}$ 的垂线，垂足分别为 $A_{1} 、 B_{1}$ ，我们把线段 $A_{1} B_{1}$ 叫做线段 $A B$ 在直线 $l_{2}$ 上的正投影，其长度可记为 $T_{(A B_{1} C D)}$ 或 $T_{(A B_{1} l_{2})}$ 特别地，线段 $A C$ 在直线 $l_{2}$ 上的正投影就是线段 $A_{1} C$ ．请依据上述定义解决如下问题：

(1)、如图①，若 $A_{1} B_{1} = 5$ ，则 $T_{(A B_{1} C D)} =$ ．

(2)、如图②，在矩形 $A B C D$ 中， $T_{(A C_{1} C D)} = 12$ ， $T_{(A C_{1} A D)} = 5$ ，则 $T_{(B C_{1} A C)} =$ ．

(3)、如图③，在矩形 $A B C D$ 中，点E在 $C D$ 边上（ $D E > C E$ ），连接 $A E$ 、 $B E$ ， $∠ A E B = 90 °$
①若 $T_{(A E_{1} A B)} = 8 ， T_{(B E_{1} A B)} = 3$ ，求矩形 $A B C D$ 的面积．

②如图④，点F在 $B A$ 延长线上，连按 $E F$ ，若 $A B = 8$ ， $T_{(B E_{1} B C)} = 2 \sqrt{3}$ ， $T_{(E F_{1} A B)} = 10$ ，求 $T_{(E F_{1} E A)}$ ．

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24. 如图，在 $R t Δ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 ° ， A C = 6 ， B C = 8$ ，动点P从点A出发沿线段 $A B$ 以每秒3个单位长的速度运动至点B，过点P作 $P Q ⊥ A B$ 射线 $A C$ 于点Q．设点P的运动时间为t秒（ $t > 0$ ）．

(1)、线段 $C Q$ 的长为（用含t的代数式表示）

(2)、当 $Δ A P Q$ 与 $Δ A B C$ 的周长的比为 $1 ： 4$ 时，求t的值．

(3)、设 $Δ A P Q$ 与 $Δ A B C$ 重叠部分图形的面积为S，求S与t之间的函数关系式．

(4)、当直线 $P Q$ 把 $Δ A B C$ 分成的两部分图形中有一个是轴对称图形时，直接写出t的值．

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