吉林省长春市榆树市2019-2020学年九年级上学期数学期中试卷

试卷更新日期：2020-09-07 类型：期中考试

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一、单选题

1. 计算 $\cos^{2} 60 °$ 的值是（）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $\frac{3}{4}$

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2. 方程 $x^{2} = x$ 的根是（）

A、 $x_{1} = 0$ ， $x_{2} = - 1$ B、 $x_{1} = 0$ ， $x_{2} = 1$ C、 $x_{1} = x_{2} = 1$ D、 $x_{1} = x_{2} = 0$

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3. 下列二次根式中，与 $\sqrt{3}$ 是同类二次根式的是（）

A、 $\sqrt{9}$ B、 $\sqrt{0.3}$ C、 $\sqrt{12}$ D、 $\sqrt{30}$

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4. 用配方法解方程 $x^{2} - 4 x - 4 = 0$ 时，原方程应变形为（）

A、 ${(x - 2)}^{2} = 0$ B、 ${(x - 2)}^{2} = 8$ C、 ${(x + 2)}^{2} = 0$ D、 ${(x + 2)}^{2} = 8$

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5. 做“抛掷一枚质地均匀的硬币试验”，在大量重复试验中，对于事件“正面朝上”的频率和概率，下列说法正确的是（）

A、概率等于频率 B、频率等于 $\frac{1}{2}$ C、概率是随机的 D、频率会在某一个常数附近摆动

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6. 如图，要测量小河两岸相对的A，B两点之间的距离，可以在小河边取AB的垂线BC上的一点D，若测得BD＝60米，∠ADB＝40°，则AB等于（）

A、60tan40°米 B、60tan50°米 C、60sin40°米 D、60sin50°米

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7. 如图▱ABCD，F为BC中点，延长AD至E，使 $D E ： A D = 1 ： 3$ ，连结EF交DC于点G，则 $S_{△ D E G} ： S_{Δ C F G}$ ＝（）

A、2：3 B、3：2 C、9：4 D、4：9

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8. 据《九章算术》记载：“今有山居木西，不知其高.山去五十三里，木高九丈五尺.人立木东三里，望木末适与山峰斜平.人目高七尺.问山高几何？”译文如下：如图，今有山 $A B$ 位于树的西面.山高 $A B$ 为未知数，山与树相距53里，树高9丈5尺.人站在离树3里的地方，观察到树梢C恰好与山峰A处在同一条直线上，人眼离地7尺.则山高 $A B$ 的长为（结果保留到整数，1丈=10尺）（）

A、162丈 B、163丈 C、164丈 D、165丈

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二、填空题

9. 计算： $\sqrt{8} \times \sqrt{2} =$ .

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10. 若式子 $\sqrt{x - 10}$ 在实数范围内有意义，则 $x$ 的取值范围是.

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11. 如图为正方形网格中的一片树叶，点 $E$ 、 $F$ 、 $G$ 均在格点上，若点E的坐标为 $(- 1 ， 1)$ ，点F的坐标为 $(2 ， - 1)$ ，则点G的坐标为.

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12. 如图，四边形 $A B C D$ 与四边形 $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 关于点O成位似图形.若四边形 $A B C D$ 与四边形 $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的面积之比为 $1 ： 9$ ，则它们的位似比为.

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13. 如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点 $A (m ， 6)$ 在第一象限， $O A$ 与x轴所夹的锐角为 $α$ ，且 $\sin α = \frac{3}{5}$ ，则m的值是.

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14. 如图， $Δ A B C$ 是等腰直角三角形， $∠ A C B = 90 °$ ， $D$ 为边 $A C$ 上一点，且 $C D = 2 A D$ ，连结 $B D$ ，过点C作 $C E ⊥ B D$ 于点E，交 $A B$ 于点F.若 $B C = 6$ ，则 $B F$ 的长为.

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三、解答题

15. 计算： $\tan 60 ° \cdot \sqrt{3} - \sin^{2} 45 ° - \sqrt{{(- 2)}^{2}}$ .

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16. 解方程： $\frac{1}{2} x^{2} - x - 1 = 0$ .

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17. 有三张正面分别标有数字-2，3，4的不透明卡片，它们除数字外都相同：现将它们背面朝上，洗匀后，从三张卡片中随机地抽出一张，记下数字后将卡片放回，洗匀后，再从这三张卡片中随机抽出一张，记下数字.用列表或画树状图的方法，求两次抽取的卡片上的数字符号不同的概率.

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18. 如图，在 $4 \times 4$ 的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1，线段 $A B$ 的端点均在格点上，仅用无刻度的直尺，按下列要求完成画图，并保留作图痕迹.

(1)、在图①中画一条射线 $A C$ ，使 $\tan ∠ B A C = \frac{1}{2}$ .

(2)、在图②中画一条射线 $A D$ ，使 $\tan ∠ B A D = \frac{2}{3}$ .

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19. 如图，要设计一幅宽 $120 c m$ ，长 $180 c m$ 的矩形图案，其中有两横两竖的彩条，横、竖彩条的宽度比为 $2 ： 3$ ，如果要使所有彩条所占面积为原矩形图案面积的三分之一，求每个横彩条的宽度.

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20. 如图，在 $R t Δ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $∠ A = 60 °$ ， $A C = \sqrt{3}$ .D是边 $A B$ 中点，以点D为直角顶点向 $A B$ 上方作等腰直角三角形 $D E F$ ，边 $D E$ 经过点C， $D F$ 与 $B C$ 交于点G.

(1)、求 $C D$ 的长.

(2)、若G为 $D F$ 的中点，求 $C E$ 的长.

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21. 如图， $Δ A B C$ 和 $Δ D E F$ 是两个全等的等腰直角三角形， $∠ B A C = ∠ E D F = 90 °$ ，E为边 $B C$ 的中点，将 $Δ D E F$ 绕点E旋转，旋转过程中，边 $D E$ 与边 $A B$ 相交于点P，边 $E F$ 与边 $C A$ 延长线相交于点Q.

(1)、求证： $Δ P B E ∽ Δ E C Q$ .

(2)、若 $B P = 3$ ， $C Q = 8$ ，求 $B C$ 的长.

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22. （教材呈现）下图是华师版九年级上册数学教材第78页的部分内容.

例1 求证：三角形的一条中位线与第三边上的中线互相平分.

已知：如图，在 $Δ A B C$ 中， $A D = D B$ ， $B E = E C$ ， $A F = F C$ .

求证： $A E$ 、 $D F$ 互相平分.

证明：连结 $D E$ 、 $E F$ .

(1)、请根据教材提示，结合图①，写出完整的解题过程.

(2)、（结论应用）如图②，连结图①的 $B F$ 、 $C D$ ，分别与 $D E$ 、 $E F$ 、 $A E$ 交于点M、N、O.
若 $B C = 8$ ，求点M、N之间的距离.

(3)、若四边形 $E M O N$ 的面积为2，则 $Δ A B C$ 的面积为.

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23. 某数学兴趣小组为测量如图（①所示的一段古城墙的高度，设计用平面镜测量的示意图如图②所示，点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经过平面镜反射后刚好射到古城墙CD的顶端C处。

(1)、已知AB⊥BD、CD⊥BD，且测得AB=1.2m，BP=1.8m.PD=12m，求该城墙的高度（平面镜的原度忽略不计）：

(2)、请你设计一个测量这段古城墙高度的方案。
要求：①面出示意图（不要求写画法）；②写出方案，给出简要的计算过程：③给出的方案不能用到图②的方法。

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24. 如图，在 $R t Δ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $A C = 15$ ， $B C = 20$ .动点P以每秒5个单位长度的速度从点A出发，沿 $A \to C \to B$ 的方向向终点C运动.点P关于点C的对称点为D，过点P作 $P Q ⊥ A B$ 于点Q，以 $P D$ 、 $P Q$ 为边作 $▱ P D E Q$ ，设点P的运动时间为 $t (s)$ .

(1)、当点P在 $A C$ 上运动时，用含t的代数式表示 $P Q$ 的长.

(2)、当 $▱ P D E Q$ 为菱形时，求t的值.

(3)、设 $▱ P D E Q$ 的面积为S，求S与t之间的函数关系式.

(4)、作点E关于直线 $P Q$ 的对称点 $E^{'}$ ，当点 $E^{'}$ 落在 $Δ A B C$ 内部时，直接写出t的取值范围.

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